§3.
Het ruimte–tijd–continuüm. De eis van algemene
covariantie voor de
vergelijkingen die de algemene natuurwetten uitdrukken.
In
de klassieke mechanica zowel als in de speciale relativiteitstheorie
hebben de coördinaten van de ruimte
en de tijd een directe natuurkundige betekenis. Zo heeft de
waarde x1 van een puntgebeurtenis langs de X1
– coördinaat een betekenis die we als volgt kunnen omschrijven: je bepaalt eerst met behulp van onbuigzame rechte staven,
volgens de regels van de euclidische meetkunde (de
gewone meetkunde)
de
projectie van de puntgebeurtenis op de X1 –as en vervolgens moet vanuit het beginpunt van het coördinatenstelsel
een bepaalde meetlat, de eenheidsmeetlat, x1
–maal op de (positieve) X1–as worden afgepast om het projectiepunt te bereiken.
Zo kan de natuurkundige betekenis van een punt x4 = t
langs de X4 – coördinaat worden omschreven als:
je bepaalt op een ten opzichte van het coördinatenstelsel in rust
opgestelde, met de puntgebeurtenis (praktisch) ruimtelijk
samenvallende eenheidsklok, die in overeenstemming met bepaalde
voorschriften correct loopt, het aantal
omlooptijden x4
= t dat is afgelegd op het moment dat de puntgebeurtenis zich
voordoet.
Opmerking van Einstein: "We nemen aan dat het geen probleem is de "gelijktijdigheid"
voor ruimtelijk dicht naast elkaar optredende gebeurtenissen, of
– nauwkeuriger
gezegd – voor dicht naast
elkaar optredende gebeurtenissen (coïncidentie)
in de ruimte–tijd , vast te stellen, zonder voor dit basisbegrip een
definitie te geven"
Deze
opvatting over
ruimte en tijd stond natuurkundigen altijd – meestal
onbewust – voor de geest, wat duidelijk blijkt uit de rol die deze
begrippen in de experimentele natuurkunde spelen; deze opvatting zal
de lezer ook in gedachten hebben om het tweede voorbeeld
van de voorgaande paragraaf te begrijpen.
Wij zullen nu echter aantonen dat men niet langer aan deze opvatting
kan vasthouden als men het
beginsel van de algemene relativiteit wil laten gelden en dat deze
denkwijze dan door een meer algemene moet worden vervangen, waarbij de speciale relativiteitstheorie zijn geldigheid
uitsluitend behoudt als limietgeval in de afwezigheid van een
zwaartekrachtveld.
We
gaan uit van een ruimte die vrij is van zwaartekrachtvelden en nemen
daarbinnen een Galileïsch referentiestelsel
K(x,y,z,t) aan en bovendien een ten opzichte van K
eenparig roterend coördinatenstelsel K'(x', y',z', t').
De oorsprong van beide stelsels zowel als hun Z– assen
laten we voortdurend samenvallen . Wij zullen aantonen dat
ingeval van een ruimte–tijd meting in het stelsel K'
de eerdergenoemde opvatting
over de natuurkundige betekenis van lengte en tijd niet staande kan
worden gehouden. Uit symmetrie–overwegingen
is duidelijk dat een cirkel rond de oorsprong in het X–Y–vlak
van K tegelijkertijd als een cirkel in het X'–Y'–vlak
van K' kan worden opgevat. We stellen ons voor dat de omtrek en
de diameter van deze cirkel met een ( ten opzichte van de straal oneindig
kleine) eenheidsmeetlat
opgemeten wordt en we bepalen het quotiënt uit beide meetresultaten.
Zou men deze meting met een meetlat uitvoeren die ten opzichte
van het Galileïsche stelsel
K
in rust is
dan zal men als quotiënt het getal π
verkrijgen. Het resultaat van dezelfde bepaling aan de hand van
metingen die zouden zijn uitgevoerd met een ten opzichte van het
roterende stelsel K' in rust verkerende meetlat
zou een getal opleveren dat groter
is dan π.
Dat is
goed te begrijpen als je het gehele meetproces vanuit het
stelsel–in–rust K beschouwt en er rekening mee houdt dat als de meetlat langs
de omtrek wordt gelegd deze een Lorentzcontractie ondergaat, maar als
de meetlat in radiale richting wordt gelegd deze contractie niet
optreedt. De euclidische meetkunde
geldt dus niet met betrekking tot K'; de eerder
vastgestelde opvatting over de directe natuurkundige betekenis van de
coördinaten, die uitgaat van de geldigheid van de euclidische
meetkunde, schiet dus
tekort met betrekking tot het stelsel K'. Evenmin
kan men in K' een tijd invoeren die aan de natuurkundige wensen
voldoet met identieke klokken die ten opzichte van K'
in rust zijn. Om dit in te zien, moet men zich zowel in de coördinatenoorsprong
als bij de omtrek van de cirkel één van twee identieke
klokken opgesteld denken die vanuit het stelsel–in–rust
worden beschouwd. Volgens een bekend resultaat uit de speciale
relativiteitstheorie loopt – bekeken vanuit K –
de op de omtrek geplaatste klok langzamer dan de klok die in de
oorsprong staat, omdat de eerste klok snelheid heeft en de andere klok
niet. Een waarnemer die zich in de gemeenschappelijke oorsprong
bevindt en die de mogelijkheid zou hebben om met behulp van licht
de klok waar te nemen die zich bij de omtrek bevindt,
zou dus de aan de omtrek opgestelde klok langzamer
zien lopen dan de
naast hem opgestelde klok. Omdat hij niet mag
aannemen dat de lichtsnelheid langs de beschouwde weg expliciet
van de tijd afhankelijk is, moet hij de waarneming zo
interpreteren dat de klok bij de omtrek "werkelijk"
langzamer loopt dan de klok die
in de oorsprong staat. Hij zal er niet omheen kunnen de tijd zo te
definiëren dat de
loopsnelheid van een klok afhankelijk is van zijn plaats.
We
komen zo tot de conclusie dat het in de algemene relativiteitstheorie
niet mogelijk is de ruimte– en tijdgrootheden zo te definiëren
dat ruimtelijke coördinatenverschillen rechtstreeks met de
eenheidsmeetlat en coördinatenverschillen
in de tijd rechtstreeks met een standaardklok kunnen worden
gemeten.
De
tot nu toe gebruikte methode om in het tijd–ruimte–continuüm
op een bepaalde wijze coördinaten aan te brengen, schiet dus
tekort, en
het lijkt ook niet mogelijk een of ander bijzonder coördinatenstelsel
voor de vierdimensionale wereld te vinden dat bij toepassing daarvan
tot een simpele formulering van de natuurwetten zal leiden. We kunnen
dan ook tot geen andere conclusie komen dan dat alle denkbare coördinatenstelsels als principieel gelijkwaardig moeten worden
beschouwd voor de beschrijving van de natuurkundige wereld.
Opmerking van
Einstein:
"Op de beperkingen, die
de eisen van eenduidigheid
en continuïteit met zich meebrengen, gaan we hier niet in"
Dit komt neer op de eis:
De
algemene natuurwetten moeten in vergelijkingen worden
uitgedrukt die in alle coördinatenstelsels geldig zijn. Dat een
vergelijking bij een coördinatentransformatie naar een ander coördinatenstelsel
geldig blijft, heeft de naam covariantie. Met andere woorden:
de natuurwetten dienen algemeen covariant te
zijn.
Het is duidelijk dat de
natuurkunde die aan dit beginsel voldoet, ook recht doet aan het
beginsel van de algemene relativiteitstheorie,
want onder alle coördinatentransformaties vallen uiteraard ook die
transformaties, die overeenkomen met alle mogelijke relatieve bewegingen van de (driedimensionale) coördinatenstelsels.
Dat deze eis van algemene covariantie , die aan de ruimte en de tijd
het laatste restje natuurkundige aanschouwelijkheid ontneemt,
een eis is die de natuurkunde zelf stelt, is gebaseerd op de volgende
overweging. Alles wat we vaststellen aangaande ruimte en tijd komt
altijd neer op het bepalen van het samenvallen van iets in ruimte en
tijd. Als bijvoorbeeld alles wat om ons heen gebeurt slechts zou
bestaan uit de beweging van stoffelijke punten dan zou men, op de keper
beschouwd , niets
anders kunnen waarnemen dan de ontmoeting van twee of meer van
deze punten. Ook de
resultaten van onze metingen zijn niets anders dan het vaststellen van
een dergelijke ontmoeting van stoffelijke punten van een meetlat met
een ander stoffelijk punt, respectievelijk het samenvallen van de
wijzers van een klok en de punten
op de wijzerplaat of – als we met het oog iets waarnemen – op
dezelfde plaats en tegelijkertijd plaatsvindende puntgebeurtenissen.
Het
gebruik van een referentiestelsel heeft geen ander doel dan het op een
eenvoudige wijze kunnen beschrijven van wat zich allemaal voordoet aan
zulke coïncidenties. Men
deelt de wereld in aan de hand van vier ruimte–tijd variabelen x1,
x2, x3, x4 , zodanig dat iedere
puntgebeurtenis met een stel waarden van de variabelen x1……x4
kan worden aangeduid. De coïncidentie van twee puntgebeurtenissen
herkennen we uit het feit dat
voor elk van de puntgebeurtenissen hetzelfde stel waarden
van de variabelen x1……x4 geldt; dat
wil zeggen dat het samenvallen in tijd en plaats wordt
gekenmerkt door het overeenkomen van de coördinaten. Als men in
plaats van de variabelen x1……x4 in
een nieuw coördinatenstelsel de variabelen x1',
x2', x3', x4' invoert, die
willekeurige functies zijn van het eerste stel variabelen, en waarbij
een stel waarden in het ene stelsel eenduidig bij een stel
waarden van het andere stelsel hoort, dan geeft het gelijk zijn van
alle vier de coördinaten van twee puntgebeurtenissen in het nieuwe
stelsel opnieuw uitdrukking aan het in ruimte en tijd samenvallen van
de twee puntgebeurtenissen. Aangezien al onze natuurkundige ervaringen
ten slotte terug te voeren zijn op dergelijke coïncidenties , is er
geen enkele reden het ene coördinatenstelsel ten opzichte van het
andere te bevoorrechten. Zo komen we eveneens op dezelfde eis van
algemene covariantie uit.
Terug
