Paragraaf 4 ART

Naar Paragraaf 5 ART  
Naar Paragraaf 3 ART 
Naar Vertaling Inhoud ART
Naar Bovenzaal 



ž 4       De relatie tussen de vier co÷rdinaten die we verkrijgen uit

                                 ruimte en tijdmetingen. 
              Een analytische uitdrukking voor het zwaartekrachtveld.

             Het is in deze verhandeling niet mijn bedoeling de algemene relativiteitstheorie zo formeel mogelijk met een minimum aan axioma's te presenteren. Het is juist mijn streven de theorie zo uit de doeken te doen dat de lezer zelf ervaart hoe van zelfsprekend en natuurlijk de ingeslagen weg is en dat de vˇˇronderstellingen  die het fundament er van vormen in hoge mate aansluiten bij wat we al weten. 
In die zin voer ik de volgende twee vˇˇronderstelling in:

 *   
Voor een oneindig klein vierdimensionaal gebied is de speciale relativiteitstheorie  bij een geschikte co÷rdinatenkeuze altijd geldig.        

De toestand van versnelling van het oneindig kleine ("lokale") co÷rdinatenstelsel  moet hierbij zo worden gekozen, dat er geen zwaartekrachtveld optreedt; dat is voor een oneindig klein gebied altijd mogelijk. De ruimtelijke co÷rdinaten zijn X1 , X2 , X3 en de bijbehorende, met een geschikte klok gemeten, tijdco÷rdinaat is X4.  

     Opmerking van Einstein: 
     "De eenheid van  tijd moet zo worden gekozen dat de lichtsnelheid in vacuŘm  ľ       gemeten in het "lokale" co÷rdinatenstelsel ľ gelijk wordt aan 1"

Deze co÷rdinaten hebben, indien we ons daarbij in gedachten ook een onbuigzaam en recht staafje als eenheidsmeetlat voorstellen, bij een gegeven oriŰntering van het co÷rdinatenstelsel een directe natuurkundige betekenis in de zin van de speciale relativiteitstheorie. Namelijk: de uitdrukking

(1)      ds 2   = ľ dX1 2 ľ dX2 2 ľ dX3 2 + dX4

heeft dan volgens de speciale relativiteitstheorie  een door ruimteľ en tijdmetingen verkregen waarde die onafhankelijk is van hoe het lokale co÷rdinatenstelsel wordt georiŰnteerd.  We noemen ds de grootte van het "lijnelement" tussen twee oneindig  dicht bijeen staande punten in de vierdimensionale ruimte. Als de bij het element (dX1 ů.. dX4) behorende ds 2 positief is, dan noemen we in navolging van Minkowski ds 2 tijdachtig en in het tegenovergestelde geval ruimteachtig. 

            Bij het beschouwde "lijnelement", of bij de twee oneindig dicht bij elkaar staande puntgebeurtenissen, behoren ook zekere differentialen    dx1ůůdx4 van de vierdimensionale  co÷rdinaten van een gekozen referentiestelsel. Als deze differentialen, evenals een eerder genoemd "lokaal" stelsel, voor de beschouwde plaats zijn gegeven,  dan kunnen de dXν  door zekere lineaire, homogene uitdrukkingen van de differentialen dxσ worden voorgesteld:

(2)                  

(3)                  
waarbij de elementen gστ functies van de xσ zullen zijn, die niet meer van de oriŰntatie en de bewegingstoestand van het "lokale" co÷rdinatenstelsel kunnen afhangen.  Immers, de waarde ds 2 , die behoort bij de beschouwde,  in de ruimteľtijd oneindig dicht bijeen liggende puntgebeurtenissen, heeft een grootte die te vinden is met meetlatten en klokken, die niet afhangt van  welke specifieke co÷rdinatenkeuze dan ook. We nemen aan dat voor de gστ  geldt dat gστ = gτσ . De sommatie strekt zich uit over alle waarden van σ en τ, zodat de totale som uit 4 x 4 sommaties bestaat, waarvan er 12 paarsgewijs gelijk zijn.

            Uit deze beschouwingswijze vinden we de speciale relativiteitstheorie terug als het , op grond van  de specifieke eigenschappen van de gστ  in een eindig gebied ,  mogelijk is het referentiesysteem voor dit gebied zo kiezen dat de gστ  de volgende constante waarden aannemen. 

(4)                  


We zullen later zien dat voor eindige gebieden de keuze van een dergelijke co÷rdinatenstelsel in het algemeen niet  mogelijk is.

            Uit de beschouwingen van ž 2 en ž 3 blijkt dat de grootheden gστ vanuit natuurkundig standpunt als die grootheden moeten worden beschouwd die het zwaartekrachtveld met betrekking tot het gekozen referentiesysteem beschrijven. Als we namelijk om te beginnen eens  aannemen dat voor een zeker vierdimensionaal gebied bij de keuze van geschikte co÷rdinaten de speciale relativiteitstheorie geldig is, dan hebben de gστ de in (4) gegeven waarden. Een geheel aan zichzelf overgelaten stoffelijk punt beweegt zich dan met betrekking tot dit stelsel eenparig en rechtlijnig.   Wanneer men nu door een willekeurige substitutie overgaat op nieuwe ruimteľtijdľco÷rdinaten   x1 ů.. x4 , dan zullen in dit nieuwe stelsel de  gμτ geen constanten, maar functies van ruimte en tijd  zijn. Tegelijkertijd zal de beweging van het vrije massapunt in dit nieuwe co÷rdinatenstelsel in het algemeen kromlijnige en niet eenparige zijn, waarbij de wet waaraan de beweging moet voldoen onafhankelijk is van de stoffelijke samenstelling van het bewegende massapunt. We zullen deze beweging dus moeten uitleggen als een beweging onder invloed van een zwaartekrachtveld. Samenhangend met een ruimteľtijd afhankelijkheid van de gστ nemen we dus het optreden van een zwaartekrachtveld waar. Ook in het algemene geval waarbij we de geldigheid van de speciale relativiteitstheorie niet in een eindig gebied door een passende keuze van het co÷rdinatenstelsel  kunnen bewerkstelligen, zullen we moeten  blijven vasthouden aan het uitgangspunt dat de gστ het zwaartekrachtveld beschrijven.
           
De zwaartekracht neemt dus volgens de algemene relativiteitstheorie een uitzonderlijke rol in naast de overige krachten, in het bijzonder de elektromagnetische krachten, aangezien de 10 functies gστ die het zwaartekrachtveld beschrijven tegelijkertijd de metrische eigenschappen van de vierdimensionale  meetbare ruimte bepalen.

Terug