Klokkenpostulaat

 

                Portier

Naar onder

A. De tijdsnelheid van een klok in relatie tot zijn snelheid en het versnellingsveld waarin hij zich bevindt.

B. De verklaring van het klokkenpostulaat.  

Henk Dorrestijn
augustus 2018
 
september 2018

                                                                         Inhoud

Inleiding    
§1       Constante rechtlijnige versnelling                                                3
§2       Constante rechtlijnige snelheid                                                      6
§3       De cirkelvormige beweging van een draaiende schijf
            (zonder de Coriolisversnelling er in te betrekken)                     8
§4       De Coriolisversnelling op een constant draaiende schijf           12
§5        Het zwaartekrachtveld en de tijdsnelheid  van een deeltje
            in een cirkelvormige baan                                                              17
§6        Het Coulombveld en de tijdsnelheid van een geladen
           
deeltje in een cirkelvormige baan rond de centrale lading       20
§7        De tijdsnelheid van een object dat vanwege een lokale
            kracht een cirkelvormige baan beschrijft                                      23
§8       Het klokkenpostulaat: de tijdsnelheid van een klok die de
           
Lorentzversnelling ondergaat                                                        25

 

Inleiding  

In 1977 verscheen in Nature een artikel over de tijdvertraging van geladen deeltjes die tot bijna de lichtsnelheid waren versneld in de CERN Muon Storage Ring. De tijdvertraging kon worden gemeten omdat de versnelde deeltjes instabiele muonen waren die zich in rust na een gemiddelde vervaltijd van 2,19 microseconde in elektronen en neutrino's opsplitsen. Bij die hoge snelheid bleek de vervaltijd aanzienlijk te zijn vertraagd tot 64,4 µsec. Het experiment dat vernoemd is naar de eerste auteur  J. Bailey [1] toonde aan dat de tijdvertraging die de deeltjes ondergingen zeer nauwkeurig aan de Lorentzfactor γ voldeed. Dat wil zeggen dat uitsluitend de snelheid voor de vertraagde tijdsnelheid verantwoordelijk moet worden gesteld. Men had verwacht dat de middelpuntzoekende versnelling die het geladen deeltje bij het beschrijven van zijn cirkelvormige baan in het homogene magnetisch veld zou ondergaan, ook zou bijdragen aan de tijddilatatie. We gaan er van uit dat het meetresultaat van Bailey juist is.
Dit verrassende resultaat is tot op heden onverklaard gebleven.

Een tweede slecht verklaard voorbeeld waarbij een roterend stelsel een rol speelt, staat bekend als de Ehrenfestparadox. Hiervan weten we dat deze door Einstein werd beschouwd als een onopgelost probleem [2].

Deze problemen zijn bij uitstek geschikt om de theorie te testen. In eerdere artikelen hebben we al aangetoond dat de Ehrenfestparadox begrepen kan worden zonder Lorentzcontractie[3] en dat Einstein een gedachtefout[4]  heeft gemaakt toen hij de Lorentzcontractie invoerde. Daarom vormt het klokkenpostulaat een uitgelezen kans om onze ideeën te bevestigen. De conclusie is  dat het postulaat pas kan worden begrepen als de Lorentzcontractie wordt verworpen.  

We zullen onderzoeken welke tijdsnelheid aan de klok moet worden toegekend die een cirkelvormige baan beschrijft onder invloed van een krachtenveld zoals in een draaiende schijf, de zwaartekracht, de Coulombkracht of een lokale kracht zoals Lorentzkracht.

Wij zullen consequent controleren of  de bevindingen die we voor een bewegende klok constateren vanuit het stelsel-in-rust kloppen met de bevindingen die we voor de klok in het stelsel-in-rust constateren vanuit het stelsel-in-beweging. Het uitgangspunt voor relativiteit.  

De aanpak:

Ø    Alle bewegende voorwerpen bewegen zich in het vacuüm.

Ø   Voor de tijdmetingen zullen we in gedachten altijd uitgaan van een lichtklok waarbij een lichtstraal heen en weer kaatst over de afstand tussen twee parallel geplaatste spiegels.


[1] J.Bailey et al., Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in a circular orbit, Nature 268 (1977) 301305

[2] Einstein A 1993 Collected Papers of Albert Einstein Volume 3 ed M J Klein et all (Boston: Princeton  university Press) p 479480

[3] Dorrestijn HJ "De Lorentzcontractie is een Artefact", www.einsteingenootschap.nl , 2018

[4] Dorrestijn HJ "De uitglijder van Einstein", www.einsteingenootschap.nl , 2018


- 2 -

 

Ø        Voor de tijdsduur over een afstand kunnen we ons ook een lichtklok op de plaats van het beginpunt en van het eindpunt denken.

Ø  We gaan uit van de aanname van Einstein dat de lichtsnelheid voor iedere waarnemer altijd dezelfde waarde heeft.

Ø   We verwerpen het begrip Lorentzcontractie.

Ø   Voor een rechtlijnig bewegend stelsel met constante snelheid geldt dat het gedrag van de klokken in het bewegende stelsel verwisselbaar is met het gedrag van de klokken in het stelsel-in-rust.

Ø   Als relativiteitsbeginsel hanteren we: "Er bestaat slechts één fysische werkelijkheid".

Ø   Voorbeeld : Op het moment dat twee klokken uit verschillende stelsels elkaar passeren, een puntgebeurtenis, moet gelden dat een waarnemer uit het ene stelsel dezelfde tijden afleest op de twee klokken als een waarnemer uit welk ander stelsel dan ook.

Ø   Gevolg: Bij een cirkelvormige beweging constateren de waarnemers uit beide stelsels hetzelfde tijdsnelheidsverschil tussen de klokken uit beide stelsels.

Het blijkt dat voor de verklaring van de verschijnselen men ook zorgvuldig rekening moet houden met de versnellingen als gevolg van de schijnkrachten middelpuntvliedende kracht en de Corioliskracht.
Interessant is verder het tijdsverschil of het tijdsnelheidsverschil van klokken in een bewegend of versnellend stelsel die op meter van elkaar staan opgesteld in de bewegingsrichting.

Onze aandacht zal uitgaan naar verschillende kenmerken van de tijd:

1.         de tijdsnelheid 

2.         het tijdsverschil tussen klokken

3.         het tijdsnelheidsverschil tussen klokken.  

We benoemen de voorste en de achterste klok in het stelsel-in-beweging op een onderlinge afstand van meter en definiëren in het stelsel-in-rust als voorste klok en achterste klok twee klokken op eenzelfde onderlinge afstand van meter die tegelijkertijd de plaatsen van de voorste en de achterste klok in het stelsel-in-rust passeren. De voorste valt dan samen met de voorste uit het stelsel-in-rust en voor de achterste geldt hetzelfde. We noemen dit gepaarde klokken voor dat moment.  

 - 3 -

§1. Constante rechtlijnige versnelling

 
Als we willen weten hoe groot het tijdsverschil is tussen twee klokken op de afstand meter op een rechtlijnig voortbewegend voorwerp kunnen we beginnen bij de situatie toen het voorwerp nog stilstond. Het voorwerp staat dan stil in het stelsel-in-rust. Als het voorwerp beweegt, vormt het met alles wat op dezelfde wijze met het voorwerp meebeweegt het stelsel-in-beweging.  

Vanaf een tijdstip t = 0 laten we het stelsel een versnelling g m/s2  ondergaan tot de snelheid v m/s is bereikt. We observeren vanuit het stelsel-in-rust dat beide klokken dezelfde versnelling ondergaan over een even lange tijdsduur zodat er logisch geredeneerd geen verschil kan bestaan in het gedrag van de klokken. Als de snelheid v is bereikt, moéten beide klokken dezelfde tijd vertonen. Er kan  géén tijdsverschil zijn ontstaan tussen deze klokken.  

Ø   Wij slaan een logische redenering of zoals we het ook kunnen noemen   een argumentatie op filosofische gronden hoger aan dan een wiskundig bewijs.  Wiskundige bewijzen zijn in de natuurkunde pas goed als aan de onderliggende natuurkunde recht wordt gedaan.

 

- 4 -

De tijdsnelheid

a.         Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust.

We gaan er van uit dat alle klokken in het stelsel-in-rust even snel lopen.
Wanneer de afstand meter de afstand is tussen de spiegels in een lichtklok kunnen we de tijdsnelheid van de versnellende klokken en de klokken in het stelsel-in-rust met elkaar vergelijken.
Zolang de versnelling nog niet is gestart, is de retourtijd van de lichtstraal over  meter gelijk aan 2ℓ/c sec. Zodra de versnelling inzet, kunnen we de tijdsduur volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust bepalen voor een lichtstraal die van bijvoorbeeld   de achterste spiegel naar de voorste beweegt, daar wordt teruggekaatst en terugkomt bij de achterste spiegel. Dan speelt mee dat het stelsel door de versnelling op het moment van de weerkaatsing een snelheid v = g.ℓ/c heeft ontwikkeld. Daardoor vermindert de af te leggen afstand op de terugreis nog eens extra met v.t = g.(ℓ/c)2  meter.

Als de lichtstraal start bij de achterste ten opzichte van de richting van de versnelling klok krijgen we dus voor de retourtijd:

We zien dat voor een lichtstraal die veelvuldig over een korte afstand heen en weer kaatst, de langere retourtijd wordt gecompenseerd door de kortere retourtijd. Gemiddeld komt de retourtijd weer uit op 2ℓ/c  sec. De klokken in het stelsel-in-rust en het stelsel-in-beweging hebben dus dezelfde tijdsnelheid volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust .
Conclusie 1: Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust zal uitsluitend als gevolg van de versnelling de tijdsnelheid van de klokken in het versnellende stelsel niet kunnen veranderen vergeleken met die van de klokken in het stelsel-in-rust.

Uit deze conclusie volgt tevens dat er volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust geen tijdsnelheidsverschil door de versnelling kan ontstaan tussen twee klokken in het versnellend stelsel die zich op een willekeurige afstand van elkaar bevinden.
Conclusie 2
: Volgens de waarnemers in het stelsel in rust veroorzaakt de versnelling geen tijdsnelheidsverschil tussen de voorste en de achterste klok in het stelsel-in-beweging.  

           

          - 5 -

b.         Volgens de waarnemers in het stelsel-in-beweging.

De meebewegende waarnemers hebben een andere kijk op het geheel. We zullen zien dat zij constateren dat de tijdsnelheid van hun eigen klokken niet overal gelijk is, maar dat hun voorste klok een grotere tijdsnelheid heeft dan hun achterste klok.
Toch blijken de klokken uit het versnellende stelsel en het stelsel-in-rust die zich op dezelfde plaats bevinden op het moment dat de versnelling is gestart, dezelfde tijdsnelheid te hebben. Vanuit het versnellende stelsel bekeken, vertoont het 'stelsel-in-rust' namelijk een versnelling van g m/s (de andere kant op). Een waarnemer in het versnellende stelsel zal precies dezelfde beschouwing kunnen houden over de tijdsduur van een lichtstraal die in 'de rustende klok' heen en weer beweegt, zodat de tijdsduur volgens deze waarnemer precies even groot is als voor de lichtstraal in de eigen klok. 

We drukken dat zo uit: Gepaarde klokken hebben dezelfde tijdsnelheid.

Conclusie 3
: Volgens de versnellende waarnemers is voor gepaarde klokken de tijdsnelheid in het stelsel-in-rust gelijk  aan de tijdsnelheid in het versnellende stelsel, zolang de snelheid van het versnellende  stelsel te verwaarlozen is.  

NB 2: Wanneer het versnellende stelsel al snelheid heeft, heeft het stelsel-in-rust dezelfde relatieve snelheid in tegengestelde richting. Volgens de waarnemers in het stelsel-in-beweging zal de retourreis in het stelsel-in-rust dan korter duren, de klok in het stelsel-in-rust is dan trager. Maar uitsluitend de versnelling veroorzaakt géén nieuwe tijdsnelheidsverschillen tussen de gepaarde klokken.

 

Het tijdsnelheidsverschil

Zoals hierboven gesteld is, blijven volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust de klokken in het stelsel-in-beweging onderling dezelfde tijdsnelheid behouden.
We herhalen: Conclusie 2: Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust veroorzaakt de versnelling  geen tijdsnelheidsverschil tussen de voorste en de achterste klok in het versnellende stelsel.

                       

- 6 -

        

Zij kunnen het tijdsverschil slechts toeschrijven aan een hogere tijdsnelheid van de voorste klok ten opzichte van de achterste klok als gevolg van de versnelling die zij ervaren.  

NB 3 . Hoe het mogelijk is dat twee identieke klokken in het versnellende stelsel toch een verschillende tijdsnelheid ontwikkelen, vindt zijn oorzaak in het feit dat de twee klokken aan verschillende omstandigheden bloot zijn gesteld: als de klokken op een spiegelglad oppervlak zouden staan zou de voorste klok naar de achterste klok schuiven. De achterste klok zal echter niet naar de voorste klok schuiven. De omstandigheden zijn dus niet gelijk.  

Uit het tijdsduurverschil volgt dat volgens de waarnemers in het stelsel-in-beweging de 

          

- 7 -

           

- 8 -

                

                      

- 9 -

  

Conclusie 8: Het áchterlopen van de voorste klok ten opzichte van de achterste klok in een met constante, rechtlijnig snelheid bewegend stelsel volgens de tijdformule van Einstein vindt pas zijn beslag als iemand de klokken in het stelsel-in-beweging gelijk heeft gezet.
 

§3. De cirkelvormige beweging van een voorwerp op een draaiende schijf (zonder de Coriolisversnelling erin te betrekken)  

Het gedrag van de tijd op een draaiende schijf vormt een complex probleem.  Naast de snelheid speelt ook de versnelling een rol. Het blijkt dat voor de tijdmeting met behulp van een lichtstraal de versnelling twee gezichten kan hebben: de middelpuntvliedende versnelling en de Coriolisversnelling.

We kunnen op basis van een symmetrieoverweging echter direct stellen dat de klokken op de rand van de schijf gelijk moeten lopen als ze gelijkliepen toen de schijf nog stilstond. Dit geldt voor de meebewegende waarnemers zowel als voor de waarnemers in het stelsel-in-rust. Maar dat is de gemakkelijke weg. Onze uidaging bestaat er uit dat we willen bewijzen dat op grond van de versnellingen die een klok ondergaat en de snelheid die hij krijgt de klokken inderdaad gelijklopen.

 De tijdsnelheid

 We zullen eerst het effect van de middelpuntvliedende versnelling op de tijdsnelheid van een punt op een schijf die met de hoeksnelheid ω rad/sec ronddraait, onderzoeken.
Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust ondergaat een object dat met de snelheid v een cirkelvormige baan met straal r beschrijft een centripetale versnelling van v2/r  m/s2 . Hij mag  aannemen dat er een kracht is die deze versnelling veroorzaakt. Hij constateert een naar het middelpunt gericht versnellingsveld dat een grootte heeft die afhangt van de afstand tot het middelpunt.

Voor de meebewegende waarnemer op de schijf is de middelpuntzoekende versnelling een gevolg van een reële kracht op het object die de waarnemer zelf ook ondervindt. Het object ondervindt een naar het centrum gerichte kracht die hem in zijn cirkelbaan rond het centrum houdt. Het object ervaart een soort zwaartekracht want ieder voorwerp ondergaat dezelfde versnelling.  

Ø         Het versnellingsveld van de draaiende schijf wijkt af van de rechtlijnige versnelling van een object. Bij de rechtlijnige versnelling (§1) hadden we geconstateerd dat de klokken op het voorwerp gelijkliepen met de klokken in het stelsel-in-rust zolang de snelheid te verwaarlozen was. Op de draaiende schijf is de snelheid in de richting van de versnelling nul. Je zou verwachten dat de klokken dan allemaal gelijklopen als je afziet van de tijdvertraging door de snelheid, maar de meebewegende waarnemers constateren dat de klok die zich dichter bij het centrum bevindt een grotere tijdsnelheid heeft dan de klok op de rand van de schijf. Na één omloop kunnen alle waarnemers de klokken met elkaar vergelijken. Wie krijgt er gelijk? Zonder hier al te diep op in te willen gaan, kunnen we zeggen dat de constateringen van de meebewegende  waarnemers hun waarde behouden omdat in hun stelsel de versnelling nog steeds rechtlijnig is, terwijl de waarnemers in het stelsel-in-rust een gewijzigde situatie voor zich zien in de vorm van een versnelling die voortdurend van richting verandert. Voor de tijdsnelheid van de klokken op de draaiende schijf moeten de waarnemers in het stelsel-in-rust zich verlaten op de bevindingen van de meebewegende waarnemers.

- 10 -

                 

Omdat beide waarnemers in rust of meebewegend eenzelfde effect op de tijdsnelheid op de klokken na één omloop waarnemen, zal de tijdvertraging door de middelpuntvliedende versnelling een gelijk resultaat opleveren.  Als een waarnemer in rust constateert dat de tijdsnelheid van een meebewegende waarnemer op de schijf  is afgenomen, zal de laatste waarnemer het daarmee eens zijn. Hij zal waarnemen dat de tijdsnelheid van de waarnemer in rust is toegenomen.
Dit pakt dus anders uit dan de waarneming van elkaars klokken bij een constante rechtlijnige snelheid (§2) waarbij de waarnemers elkaars klokken over en weer langzamer zien lopen.

 a.         Volgens de meebewegende(!) waarnemers.

 Bij de rechtlijnige versnelling hebben we gezien dat volgens de meebewegende waarnemers de vóórste klok op een afstand dx van de achterste klok sneller liep met  g.dx/c2  sec/sec .

Omdat het versnellingsveld op de draaiende schijf naar het centrum is gericht, moeten we een klok die zich dichter bij het centrum van de draaiende schijf bevindt als de vóórste klok beschouwen ten opzichte van een klok die dr meter verder van het centrum vandaan staat. De voorste klok loopt vóór. In het middelpunt van het draaiende stelsel bevindt zich een klok die deel uitmaakt van het stelsel-in-rust.  

Hoe groot wordt volgens de meebewegende waarnemers als gevolg van de middelpuntzoekende versnelling de tijdsnelheid van een klok die op de rand van de draaiende schijf met straal R is geplaatst en daar de snelheid v m/s heeft? Dit berekenen we als volgt: op de afstand r van het centrum is de snelheid van de schijf vr  en een object op die plek ondervindt een middelpuntzoekende versnelling van  gr = (vr)2 /r m/s2 .

Omdat de rand van de schijf willekeurig is gekozen, geldt dit resultaat voor iedere plek op de schijf waarbij γ bepaald wordt door de snelheid ter plekke.  

Conclusie 1: Voor een meebewegende waarnemer heeft een klok op de draaiende schijf vanwege de middelpuntvliedende versnelling een γ keer tragere tijdsnelheid dan een klok in het stelsel-in-rust.  

De meebewegend waarnemer constateert echter niet alleen dat zijn klok vanwege het versnellingsveld γ keer langzamer loopt dan de klok in het centrum, maar ook dat de klok in het centrum een relatieve snelheid v bezit en daarom zou de meebewegende waarnemer mogen veronderstellen dat de centrumklok vanwege deze snelheid ook γ keer zo langzaam moet lopen als zijn klok waardoor die klok bij elkaar even snel zou moeten lopen.

Verkeerde veronderstelling 1: Op grond van deze overwegingen zou de klok in het centrum dus een even grote tijdsnelheid moeten hebben als zijn klok.  

Ø         In §4 zal blijken dat de conclusie op basis van deze veronderstelling onjuist is omdat daarbij geen rekening is gehouden met de Coriolisversnelling.

- 11 -

b.         Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust(!).

Wat zullen de waarnemers in het stelsel-in-rust constateren?
Omdat het om een draaiende schijf gaat, zal het achterlopen van de klok op de rand vergeleken met de klok in het stelsel-in-rust door de middelpuntvliedende versnelling ook voor de waarnemers in het stelsel-in-rust moeten gelden. De klokken komen elkaar na iedere omloop weer tegen en de waarnemingen op dat moment vanuit beide stelsel moeten gelijk zijn, dus het effect van de middelpuntvliedende versnelling moet gelijk zijn.  

Conclusie 2: Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust zal de tijdsnelheid van de klok op de rand van de draaiende schijf vanwege de middelpuntvliedende versnelling ook  γ keer zo langzaam zijn als van de klok in het centrum die deel uitmaakt van het stelsel-in-rust.  

We mogen dit veralgemeniseren omdat de passage van de twee klokken een puntgebeurtenis is waar elke waarnemer hetzelfde waarneemt. Volgens elke waarnemer is de tijdsnelheid van de klok op de rand van de schijf met een factor γ  afgenomen als gevolg van de middelpuntvliedende versnelling ten opzichte van een klok in het stelsel-in-rust. We laten het effect van de snelheid even buiten beschouwing.

Opmerking 3: Volgens elke waarnemer zal de tijdsnelheid van de klok op de rand van een draaiende schijf vanwege de middelpuntvliedende versnelling γ keer zo langzaam zijn als de tijdsnelheid van de klok in het stelsel-in-rust.  

Ø    Dit betekent voor twee klokken waarvan er één een baan beschrijft en weer terugkomt bij de andere klok dat als we voor de waarnemer in het stelsel-in-rust hebben aangetoond dat de klok van de waarnemer in het bewegende stelsel in zekere mate trager is dan zijn klok dat de waarnemer in het bewegende stelsel moet constateren dat de klok van de waarnemer in het stelsel-in-rust in dezelfde mate sneller is dan zijn klok. Een gevolg hiervan is dat als we eenmaal voor de ene waarnemer hebben aangetoond dat door een bepaald effect zijn klok sneller of langzamer is dan die van de ander, we dit niet voor de andere waarnemer hoeven aan te tonen als het om hetzelfde effect gaat. De versnellingsvelden van een draaiende schijf, de zwaartekracht en de  Coulombkracht geven voor beide stelsels hetzelfde effect.
We zullen in dit artikel echter consequent het gedrag van de klok vanuit het standpunt van beide waarnemers analyseren omdat met name het effect van de Coriolisversnelling niet voor beide stelsels optreedt.
 

Naast de kleinere tijdsnelheid van de klok op de rand van de draaiende schijf als gevolg van de middelpuntvliedende versnelling loopt de klok op de rand volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust ook nog eens langzamer met de factor γ vanwege zijn snelheid.

Conclusie 4: Vanwege de relatieve snelheid heeft de klok op de rand van het draaiende stelsel  een γ keer kleinere tijdsnelheid dan de klok in het stelsel-in-rust. 

Als we de twee effecten samennemen volgt hieruit:

- 12 -

Conclusie 5: Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust is de tijdsnelheid van een klok op de rand van een draaiende schijf door de snelheid en de middelpuntvliedende versnelling samen γ2  keer zo langzaam als van een klok in het stelsel-in-rust.  

We hebben dus in de "verkeerde veronderstelling 1" gevonden dat volgens de waarnemers in het bewegende stelsel de klok in het stelsel-in-rust dezelfde tijdsnelheid heeft als hun eigen klok terwijl de waarnemers in het stelsel-in-rust in conclusie 5 constateren dat de klok van de bewegende waarnemer een γ2 keer kleinere tijdsnelheid heeft dan hun eigen klok.

Ø         Deze strijdigheid druist in tegen de fysische realiteit want de waarnemers uit de verschillende stelsels zullen hetzelfde moeten waarnemen als de klokken elkaar passeren. We zullen de verklaring kloppend maken met de Coriolisversnelling  (zie §4).

Het tijdsverschil

 Eerst onderzoeken we het tijdsverschil tussen twee klokken die zich op een onderlinge afstand van meter op de rand van de schijf bevinden als gevolg van de snelheid en de middelpuntvliedende versnelling.  

a.         Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust.

De invloed van de middelpuntvliedende versnelling bestaat uit een tragere tijd met de factor γ. Vanuit het stelsel-in-rust is de snelheid van beide klokken op ieder moment altijd gelijk, dus ook de middelpuntzoekende versnelling is op ieder moment gelijk, waaruit volgt dat er géén tijdsverschil tussen de twee klokken kan zijn ontstaan tijdens het versnellen van de schijf.

Conclusie 6:Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust is er geen tijdsverschil als gevolg van de snelheid en de middelpuntvliedende versnelling tussen de klokken op de rand van de schijf.

b.         Volgens de waarnemers in het stelsel-in-beweging.

Vanuit de meebewegende waarnemers gezien loopt vanwege de snelheid de voorste klok vóór met vℓ/c2  sec . Uit symmetrieoverwegingen kan de middelpuntvliedende versnelling geen bijdrage aan het tijdsverschil leveren.

Verkeerde veronderstelling 2: Volgens de meebewegende waarnemers loopt de voorste klok  voor op de achterste als gevolg van de snelheid. De middelpuntvliedende versnelling speelt geen rol.  

Ø         We stuiten opnieuw op een strijdigheid met de fysische realiteit. Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust en ook volgens een symmetrie beschouwing lopen alle klokken op de rand van een schijf gelijk. Volgens de meebewegende waarnemers  loopt de voorste klok voor. Door de Coriolisversnelling er in te betrekken (zie §4) wordt dit probleem opgelost.

 

§4.  De Coriolisversnelling op een constant draaiende schijf

De Coriolisversnelling leidt in het algemeen een teruggetrokken bestaan. Hij ontleent enige bekendheid aan de draairichting van lage drukgebieden in ons weersysteem maar wordt verder zelden genoemd. In deze analyse speelt hij echter de hoofdrol.

We zullen uitgebreid aandacht besteden aan het wezen van de Coriolisversnelling en aan de invloed die hij heeft op de tijdsnelheid in draaiende stelsels.

- 13 -  

De tijdsnelheid

 Wanneer vanuit het stelsel-in-rust gezien een punt of een object met een in grootte en richting  constante snelheid u over een draaiende schijf in het vlak van de schijf beweegt, beschrijft het een rechte lijn. Het ondergaat geen versnellingen.

Ten opzichte van een coördinatenstelsel dat met de schijf meedraait, dus volgens de meebewegende waarnemers, zal het een Coriolisversnelling ondergaan die het punt in dit draaiende coördinatenstelsel een gebogen weg laat bewandelen.  

a.         Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust.

De Coriolisversnelling wordt door de waarnemers in het stelsel-in-rust een schijnversnelling genoemd omdat de versnelling enkel dient om de beschrijving van de gebogen baan ten opzichte van het meebewegende coördinatenstelsel kloppend te krijgen.

Conclusie 1: Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust speelt de Coriolisversnelling voor hen geen rol in de beschrijving van de baan van het voorwerp en dus evenmin voor het tijdsnelheidsverschil van een klok op de draaiende schijf met hun klokken.  

Daarmee komen we snel tot een tweede resultaat:

Conclusie 2: Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust is door de snelheid en de middelpuntvliedende versnelling en de (ontbrekende) Coriolisversnelling samen de tijdsnelheid van een klok op de rand van de draaiende schijf γ2 keer kleiner dan hun tijdsnelheid.  

b.         Volgens de waarnemers in het stelsel-in-beweging.  

Uit de vorige paragraaf nemen we mee: 

Verkeerde veronderstelling 1: Op grond van deze overwegingen zou de klok in het centrum dus dezelfde tijdsnelheid bezitten als zijn eigen klok.

Dit leidt echter tot de strijdigheid dat volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust de bewegende klok een γ2 keer kleinere tijdsnelheid heeft dan van een klok in het stelsel-in-rust terwijl volgens de meebewegende waarnemers die tijdsnelheden juist gelijk zijn. Dat kan dus niet.

We zoeken daarom naar het gezamenlijke effect van snelheid, middelpuntvliedende versnelling en Coriolisversnelling dat ervoor zorgt dat vanuit het draaiende stelsel gezien een klok in het stelsel-in-rust toch een γ2 keer grotere tijdsnelheid heeft dan de eigen klok.  

Voor de waarnemers in het stelsel-in-beweging is de Coriolisversnelling een reële versnelling die als kracht wordt ervaren als zij zich over de draaiende schijf bewegen. Dit wordt dagelijks geïllustreerd door kinderen die in een speeltuin over een platte draaischijf proberen te lopen.    

De grootte van de versnelling die we hier niet zullen afleiden  is  gcor = 2.ω.u m/s2. Hierin is ω de hoeksnelheid in rad/sec waarmee de schijf draait en u de snelheid van een voorwerp ten opzichte van het stelsel-in-rust. Bij een constante snelheid u  hangt de versnelling op de schijf dus niet af van de afstand r tot het centrum. De Corioliskracht is van dezelfde grootteorde als de middelpuntvliedende kracht.

Voor de richting geldt dat deze volgens de kurkentrekkerregel loodrecht staat op het vlak dat door de draaias van de schijf en de bewegingsrichting van het voorwerp wordt gevormd.

- 14 -

We kunnen deze schijnkracht iets beter begrijpen als we een materieel punt in gedachten nemen dat zich in dit stelsel op de rand van de schijf bevindt en met de snelheid v  meedraait met de schijf. Dit voorwerp ondervindt volgens de meebewegende waarnemers een Coriolisversnelling in de richting van het centrum van  gcor = 2.ω.v m/s2. Dit is gelijk aan 2v2/R m/s2, het dubbele van de middelpuntvliedende versnelling. Hoe komt dit?

Als volgt: omdat het materiële punt zich volgens de meebewegende waarnemers in hun stelsel niet verplaatst, moet de resulterende kracht in hun stelsel gelijk aan nul zijn. Op de rand van de schijf ondervindt het punt een kracht in de richting van het centrum, de middelpuntzoekende kracht. Deze wordt ook ervaren door de waarnemers op de rand, anders vlogen ze ervan af. De grootte van deze kracht is mv2/R newton. Maar omdat ze er niet afvliegen, moet deze kracht in evenwicht worden gehouden door een naar buitengerichte kracht met de grootte mv2/R newton.

Wanneer het materiële punt met een versnelling van v2/R m/s2 van de schijf afvliegt, is dat volgens de meebewegende waarnemers in hun stelsel waar in ieder punt een middelpuntzoekende versnelling heerst van vr2/r m/s2 slechts mogelijk indien er op dat moment een kracht van 2mv2/R newton optreedt die deze versnelling veroorzaakt en tegengesteld gericht is aan de middelpuntzoekende versnelling. Dit is de Corioliskracht voor deze situatie en verklaart de factor 2.  

Ø         Vergelijk een raket met massa m die met de zwaartekracht versnelling g opstijgt en daarvoor een kracht van 2mg moet inzetten.

Als het voorwerp in dezelfde richting beweegt als de draaibeweging ondervindt het volgens de meebewegende waarnemers een versnelling naar buiten waardoor het een zekere afstand over de schijf beweegt voor het er afvliegt.  Als het voorwerp tegen de draaibeweging in beweegt zal het volgens deze waarnemers in dezelfde tijd over een langere afstand over de schijf bewegen voor het er afvliegt. Het ondervindt dan volgens deze waarnemers een versnelling in de richting van het centrum.  

Op het moment dat het voorwerp loodrecht de straal van de schijf passeert, is de versnelling  langs de straal gericht.

De Coriolisversnelling is niet afhankelijk van de aard van wat zich over de schijf beweegt. Het kan een massapunt zijn of een virtueel punt. Zelfs een lichtstraal doet aan deze versnelling mee. Dat is voor ons onderzoek van groot belang omdat wij de tijdsnelheden meten met een lichtstraal in een lichtklok die eventueel meedraait op de schijf.
Een lichtstraal met snelheid c m/s ondervindt dus een Coriolisversnelling: gcor = 2.ω.c m/s2.

De Coriolisversnelling die een lichtstraal tussen twee spiegels aan de uiteinden van een lichtklok ondervindt als de klok in de bewegingsrichting staat opgesteld, leidt voor een meebewegende lichtstraal in het draaiende coördinatenstelsel  tot een constante versnelling ter grootte  gCor = 2.ω.c m/s2  radiëel naar buiten gericht. De tijdsnelheid in de richting van het centrum over een afstand dr neemt dan met gcor .dr/c2  sec/sec toe.

Als de lichtstraal in de lichtklok echter tegen de draaibeweging in beweegt, is de versnelling naar het centrum gericht. Daaruit mogen de waarnemers besluiten dat de tijdsnelheid in de richting van het centrum over een afstand dr met gcor .dr/c2  sec/sec juist afneemt.

We zullen dezelfde aanpak gebruiken die ons in §1 inzicht bracht in het tijdsnelheidsverschil tussen een stelsel-in-rust en een rechtlijnig constant versnellend stelsel. Daarbij hebben we ontdekt dat in een versnellend stelsel volgens de meeversnellende waarnemers de voorste klok met gℓ/c2  sec/sec sneller loopt dan de achterste klok. Maar, de versnelling van een draaiend stelsel is natuurlijk iets anders dan een rechtlijnige versnelling.

De vraag is hoe we het tijdsnelheidsverschil tussen het centrum en de rand kunnen vinden voor  de Coriolisversnelling. We zullen dit moeten onderzoeken door zeer nauwkeurig na te gaan hoeveel tijd de lichtstraal volgens de meebewegende waarnemers nodig heeft om van de rand het centrum te bereiken en terug. We moeten bedenken dat er in dit geval twee resultaten zullen verschijnen omdat de lichtstraal een valversnelling naar buiten zal ervaren als hij met de draaibeweging meegaat en een valversnelling naar het centrum als hij tegen de draaibeweging in beweegt.

- 15 -

                   

                 

- 16 -

                 

Conclusie 3: Volgens de meebewegende waarnemers wordt door de gezamenlijke werking van de Coriolisversnelling en  de snelheid de tijdsnelheid van de klokken in het stelsel-in-rust γ keer gróter dan de tijdsnelheid van een klok met de snelheid v .  

Daar komt de middelpuntvliedende versnelling nog bij met een factor γ zodat de klok in het centrum γ2 keer sneller is dan op de rand.

Conclusie 4: Volgens de waarnemers in het draaiende stelsel bij een klok die met een snelheid v een cirkel beschrijft, wordt door de Coriolisversnelling,  de snelheid en de middelpuntvliedende versnelling de tijdsnelheid van de klokken in het stelsel-in-rust γ2 keer gróter dan hun tijdsnelheid.

De Coriolisversnelling heeft het tijdsnelheidsverschil dat tussen de waarnemingen van het stelsel-in-rust en het stelsel-in-beweging lijkt te ontstaan, vereffend.  

Ø         Laten we dit de Coriolisvereffening voor het tijdsnelheidsverschil  noemen

 Hiermee is de tegenstrijdigheid zoals verwoord in "verkeerde veronderstelling 1" van de vorige paragraaf weggenomen.  

Het tijdsverschil

Hoe zit het nu met het tijdsverschil tussen voorste en achterste klok?
We moeten duidelijk stellen dat zowel in het stelsel-in-rust als in het draaiende stelsel de klokken op de rand van een draaiende schijf volgens de waarnemers in beide stelsels uit symmetrie overwegingen dus op filosofische gronden gelijk moeten lopen.
Hoe kunnen we dat uit het gedrag van de klokken verklaren?

a.         Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust.

Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust lopen de klokken op de rand van de schijf als gevolg van de snelheid gelijk, zoals we in §1 en 2 hebben gezien.
Door symmetrische middelpuntvliedende kracht kan er evenmin een tijdsverschil ontstaan tussen de twee klokken.
Voor de waarnemers in het stelsel-in-rust speelt de Coriolisversnelling geen rol dus is volgens hen het gelijklopen van de klokken een voldongen feit.  

Conclusie 5: Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust lopen de klokken op de rand van de draaiende schijf gelijk.

 b.         Volgens de waarnemers in het stelsel-in-beweging.

In §2 hebben we geconcludeerd dat in het bewegende stelsel de voorste klok met vℓ/c2 sec voorloopt op de achterste klok van twee klokken op een onderlinge afstand van meter in de bewegingsrichting. Daar betreft het echter een rechtlijnige beweging.

Twee achter elkaar geplaatste klokken die een cirkel beschrijven op een draaiende schijf hebben echter ook te maken met de middelpuntzoekende versnelling en de Coriolisversnelling.
Over de middelpuntzoekende versnelling  hoeven we ons niet druk te maken, die is volledig centrumsymmetrisch.

- 17 -

De Coriolisversnelling bleek echter ook effect te hebben op de tijdsnelheid van een klok met een zekere snelheid. Wat betreft het voor en achterlopen van de klokken kunnen we nu gebruik maken van de tijdsduur over de heenweg in de centrumklok en over de terugweg in de klok zoals één bladzijde terug is afgeleid en de tijdsduur ℓ/c sec van de randklok daarmee vergelijken. Volgens de meebewegende waarnemers is de tijdsduur in de centrumklok:

Eén blik op deze uitdrukkingen maakt duidelijk dat de tijdsduur over de heenweg of de terugweg over een afstand geen verschil vertoont, dus evenmin over een afstand tussen twee klokken op de rand. De klokken op de rand lopen in dezelfde mate namelijk met 1/γ keer langzamer ten opzichte van de centrum klok en lopen dus gelijk. De Coriolisversnelling heeft het tijdsverschil dat tussen de waarnemingen van het stelsel-in-rust en het stelsel-in-beweging lijkt te ontstaan, vereffend.

 Ø  Laten we dit de Coriolisvereffening voor het tijdsverschil noemen.

Conclusie 6: Volgens de meebewegende waarnemers wordt het voorlopen van de voorste klok  op de rand van de draaiende schijf als gevolg van de snelheid teniet gedaan door de Coriolisvereffening voor het tijdsverschil.

 Ø  Einstein suggereerde naar aanleiding van dit door Ehrenfest aangedragen probleem, dat we de oplossing moesten zoeken in de 'gekromde ruimte'. Uit deze analyse blijkt echter dat het probleem als een moeilijk op te lossen maar uiteindelijk begrijpelijk deel van de klassieke  mechanica kan worden beschouwd.

    §5.  Het zwaartekrachtveld en de tijdsnelheid van een deeltje in een cirkelvormige baan.

Een zwaartekrachtveld dat zich om een massa bevindt, is géén draaiend stelsel. Het stelsel hoeft niet te draaien om de zwaartekrachtversnelling  op te wekken in tegenstelling tot de middelpuntzoekende kracht of de Corioliskracht op een draaiende schijf. Ook een stilstaand deeltje ondervindt in een zwaartekrachtveld een versnelling in de richting van de massa. Door dit krachtenveld kan een deeltje een cirkelvormige baan beschrijven rond een massa. Vanuit het stelsel-in-rust gezien, gaat  deze baan gepaard met een middelpuntzoekende versnelling maar het is de zwaartekracht die  de versnelling veroorzaakt.  

In het zwaartekrachtveld is het centrum geen deel van het stelsel-in-rust. De tijdsnelheid die bij het stelsel-in-rust hoort, bevindt zich op oneindig grote afstand van de massa. Dat de tijdsnelheid van het stelsel-in-rust en van het stelsel-in-beweging hoe dan ook ergens samenvallen is er de grondoorzaak van dat elke waarnemer hetzelfde tijdsnelheidsverschil op zekere plaats tussen de klokken uit het zwaartekrachtveld en het stelsel-in-rust zal waarnemen.

Dit geldt bijvoorbeeld niet voor een rechtlijnig versnellend stelsel waarvoor geen enkel punt is aan te wijzen waar een klok van beide stelsels tegelijk deel uitmaakt.

- 18 -

- 19 -

Hierin is v de snelheid die een object op de afstand r van de massa M heeft als het vanwege de zwaartekracht een cirkelbaan rond de massa beschrijft.

Conclusie 1: Volgens de waarnemer in het stelsel-in-rust geldt dat de tijdsnelheid van een klok op de afstand r van een massa M  door de zwaartekracht een factor γ2 keer zo langzaam is als in het stelsel-in-rust op r = . Hierin wordt γ bepaald door de omloopsnelheid van het voorwerp op de afstand r waarop zich de klok bevindt.

Ø    Wanneer naast een klok in het zwaartekrachtveld een klok wordt geplaatst die we kunstmatig de tijd van het stelsel-in-rust laten aanwijzen, zal iedere waarnemer, wat zijn bewegingstoestand ook is, dezelfde tijden op de twee klokken waarnemen. Daaruit volgt dat iedere waarnemer zal constateren dat de tijdsnelheid op de afstand r van de massa M  een factor γ2 keer trager is dan de tijdsnelheid van het stelsel-in-rust.

Het voorwerp dat vanwege de zwaartekracht een cirkelvormige omloop rond een massa beschrijft, bezit echter volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust ook nog snelheid waardoor de tijdsnelheid van diens klok nogmaals langzamer is met de factor γ. Als we de effecten van de zwaartekracht en de snelheid samennemen, krijgen we:  

Conclusie 2: Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust is de tijdsnelheid van de klok op een voorwerp dat vanwege de zwaartekracht met een snelheid v een cirkelvormige omloop rond  een massa beschrijft door de gezamenlijke werking van de zwaartekracht en de snelheid  γ3 keer trager dan van een klok in het stelsel-in-rust.

Ø    Dit resultaat hebben we gebruikt in het artikel "De Lorentzcontractie is een Artefact" [1] om de afbuiging van het licht door een massa en de perihelium precessie van de planeet Mercurius te bepalen.

b.         Volgens de waarnemers in het bewegende stelsel.

Onder de waarnemers in het bewegende stelsel worden de waarnemers verstaan die meebewegen met een vrij bewegend voorwerp dat op de afstand r van de massa M een cirkelbaan met de snelheid v als gevolg van de zwaartekracht rond deze massa beschrijft.

Zoals we hiervoor opmerkten is vanuit het bewegende stelsel  gezien, de klok in het stelsel-in-rust ook γ2 keer zo snel als de eigen klok in het zwaartekrachtversnellingsveld op de afstand r van de massa. Dat de klok door het veld beweegt doet op basis van symmetrie overwegingen aan de tijdsnelheid niets af mits de afstand r constant blijft.

Conclusie 3:  Volgens de meebewegende waarnemers is de tijdsnelheid in het zwaartekrachtveld  op de afstand r van een massa M  is γ2 keer zo langzaam als in het stelsel-in-rust.

 Daarnaast heeft volgens de waarnemers in het stelsel-in-beweging juist de klok in het stelsel-in-rust de snelheid v waardoor de tijdsnelheid in het stelsel-in-rust γ keer trager wordt. Bij elkaar is de tijdsnelheid in het stelsel-in-rust dan nog maar γ keer groter. Als we het op deze manier beschouwen, vinden we dat volgens de meebewegende waarnemers de tijdsnelheid in het stelsel-in-rust door de gezamenlijke werking van het zwaartekrachtversnellingsveld en de snelheid γ  keer sneller is. Maar dat is in strijd met het feit dat de waarnemers in het stelsel-in-rust constateerden dat de klok in het stelsel-in-beweging γ3 keer trager was dan hun klok want dan moeten de waarnemers in het stelsel-in-beweging namelijk op hun beurt constateren dat een klok in het stelsel-in-rust γ3 keer sneller loopt.

We moeten voor de meebewegende waarnemers de Coriolisversnelling er weer bijhalen. In de vorige paragraaf hebben we aangetoond (§4 conclusie 3) dat de klok in het centrum van de cirkelvormige baan vanwege de Coriolisversnelling en de relatieve snelheid volgens de waarnemers bij de klok die de cirkelvormige baan doorliep γ keer sneller liep dan de klok van de meebewegende waarnemers. De klok in het centrum bevond zich in het stelsel-in-rust en heeft dus dezelfde tijdsnelheid als een klok die zich oneindig ver weg bevindt.


[1] H.J.Dorrestijn "De Lorentzcontractie is een Artefact in de Relativiteitstheorie" 2018, www.einsteingenootschap.nl

 

- 20 -

Een klok in het zwaartekrachtveld is γ2 keer trager dan een klok in het stelsel-in-rust. Als we daar direct het resultaat van de vorige paragraaf, de Coriolisvereffening voor het tijdsnelheidsverschil  aan toevoegen, vinden we dat volgens de meebewegende waarnemers hun klok γ3 keer trager is dan de klok uit het stelsel-in-rust, of met andere woorden dat de klok in het stelsel-in-rust een γ3 keer grotere tijdsnelheid heeft dan hun eigen klok.
In de vorige paragraaf is gebleken dat we de tijdvertraging door de relatieve snelheid niet apart hoeven op te voeren omdat het effect van deze vertraging voor de meebewegende waarnemers al zit verweven in de berekening met de Coriolisversnelling:

Conclusie 4: De tijdsnelheid van de klokken in het stelsel-in-rust is volgens een meebewegende waarnemer op een voorwerp dat vanwege de zwaartekracht een cirkelbaan rond een massa beschrijft als gevolg van het gezamenlijke effect van de zwaartekracht, de  Coriolisversnelling en de relatieve snelheid  γ3 keer sneller dan van zijn eigen klok.  

Het tijdsverschil

 Dat op basis van symmetrie overwegingen voor de waarnemers in het stelsel-in-rust zowel als in het stelsel-in-beweging de klokken op gelijke afstand r van de massa M  gelijk moeten lopen, staat buiten kijf.  

a.         Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust.

Voor de waarnemers in het stelsel-in-rust is dit evident: door de snelheid ontstaat er geen tijdsverschil tussen twee klokken op een afstand in de bewegingsrichting (zie §1 en 2).  Het zwaartekrachtveld is symmetrisch rond het centrum en voor hen speelt de Coriolisversnelling geen rol dus lopen de klokken die zich in dezelfde cirkelbaan bevinden, gelijk.  

Conclusie 5: Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust is er geen enkel mechanisme dat een tijdsverschil kan doen ontstaan tussen de twee klokken in eenzelfde cirkelbaan.

 b.         Volgens de meebewegende waarnemers.

Het tijdsverschil tussen de voorste en de achterste klok in de bewegingsrichting op een voorwerp dat in een cirkelbaan rond de centrale massa beweegt, zou vanwege de snelheid volgens de meebewegende waarnemers de waarde vℓ/c2 sec moeten hebben indien het om een rechtlijnige snelheid gaat. De voorste zou dan voor moeten lopen. Maar zoals we ook in de vorige paragraaf hebben gezien: deze stelling gaat niet op . We zullen het gezamenlijke effect van de Coriolisversnelling en de snelheid moeten bekijken.
De redenering gaat op dezelfde wijze als in de vorige paragraaf  (§4 conclusie 6) en leidt dus tot:

Conclusie 6: Volgens de waarnemers op een bewegend  voorwerp dat een cirkelbaan beschrijft rond een stilstaande massa is er géén tijdsverschil tussen de voorste en de achterste klok op het voorwerp dankzij de Coriolisvereffening.

- 21 -

- 22 -

 

Verder geldt:

Conclusie 2: Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust is de tijdsnelheid van het bewegende deeltje door zijn snelheid een factor γ kleiner dan van de klokken in het stelsel-in-rust.

Hieruit volgt:

Conclusie 3: Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust is de tijdsnelheid van een klok op een geladen deeltje in een cirkelbaan rond een centrale lading door de snelheid en de versnelling in het Coulombveld tezamen een factor γ3  sec/sec trager dan in het stelsel-in-rust.

 b.         Volgens de meebewegende waarnemers.

Zoals betoogd is in §5 zal volgens een meebewegende waarnemer op een dergelijk geladen deeltje dat op de afstand r in het Coulombveld stilstaat of beweegt, de tijdsnelheid van het stelsel-in-rust als gevolg van dat Coulombveld ook γ2 keer zo groot is. De waarde van γ wordt bepaald door de snelheid die het geladen deeltje op de afstand r in het Coulombveld heeft.

Conclusie 4: De tijdsnelheid van een geladen deeltje in het Coulombveld op een afstand r  van de lading is volgens de meebewegende waarnemers γ2 keer trager dan de tijdsnelheid in het stelsel-in-rust.

 Voor de waarnemer op het geladen deeltje echter zal de waarnemer in het stelsel-in-rust ook met de relatieve snelheid v bewegen. Daardoor zal volgens deze waarnemer de tijdsnelheid in het stelsel-in-rust weer een factor γ afnemen. Op deze manier beschouwd zal volgens de waarnemer op een geladen deeltje in een Coulombveld dat met de snelheid v als gevolg van het veld in een cirkel rond de centrale lading draait, de tijdsnelheid van een klok in het stelsel-in-rust door de gezamenlijke werking van het veld en de snelheid met γ sec/sec groter zijn dan zijn eigen tijdsnelheid. Maar dat levert een tegenstrijdigheid op . Dat zagen we ook bij het zwaartekrachtveld.

Het ligt voor de hand om het effect van de Coriolisversnelling voor de meebewegende waarnemers op dezelfde manier als bij de zwaartekracht in de vorige paragraaf opnieuw te gebruiken. Dan vinden we uiteraard dat ook volgens de waarnemers op het bewegende  deeltje de tijdsnelheid van de klok in het stelsel-in-rust een factor γ3 groter is dan van de eigen klok.

 Conclusie 5: Door Coulombveld, de snelheid en de Coriolisversnelling tezamen loopt volgens de waarnemers op het geladen deeltje in het veld rond een centrale lading de klok in het stelsel-in-rust γ3 keer zo snel als de eigen klok.  

Het tijdsverschil  

a.         Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust.

Op basis van symmetrie overwegingen geldt voor de waarnemers in het stelsel-in-rust zowel als voor deze in het stelsel-in-beweging dat de tijdsnelheid voor identieke, geladen deeltjes op dezelfde afstand van de lading Q  dezelfde waarde moet hebben. Wanneer twee identieke deeltjes op dezelfde afstand van Q maar met een vaste onderlinge afstand een cirkel beschrijven, zal hiervoor gelden dat op grond van symmetrieoverwegingen er geen tijdsverschil kan zijn ontstaan tussen de tijden van de twee deeltjes mits deze gelijk waren gezet toen ze zich nog in rust bevonden en vervolgens op identieke wijze in hun baan terechtkwamen.  

- 23 -

Voor de waarnemers in het stelsel-in-rust is dit evident: door de versnelling is er geen tijdsverschil ontstaan (zie §1), het Coulombveld geeft beide klokken dezelfde vertraging van de tijdsnelheid en er is geen invloed van de Coriolisversnelling dus lopen de klokken gelijk.  

Conclusie 6: Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust is er geen enkel mechanisme dat een tijdsverschil kan doen ontstaan tussen een voorste en een achterste klok op identieke deeltjes die dezelfde cirkelbaan beschrijven in een Coulombveld.  

b.         Volgens de waarnemers in het stelsel-in-beweging.

Voor de waarnemers die meebewegen met de twee klokken, die vanuit een toestand van rust waarbij ze gelijkliepen, zijn versneld zal er echter een tijdsverschil ontstaan door het versnellen waarbij de voorste klok vóórloopt als het om een rechtlijnige versnelling gaat. Dit is een identieke situatie als in het zwaartekrachtveld. Het bleek dat door de Coriolisversnelling in samenhang met de snelheid het tijdsverschil wordt vereffent waardoor volgens de meebewegende  waarnemers de klokken gelijklopen.  

Conclusie 7: Volgens de waarnemers die meebewegen met identieke geladen deeltjes die door een Coulombkracht een cirkelbaan beschrijven rond een stilstaande lading is er dankzij de Coriolisvereffening géén tijdsverschil tussen een voorste en een achterste klok.

 

§ 7.  De tijdsnelheid van een object dat vanwege een lokale kracht een cirkelvormige baan beschrijft.

 Voor het begrijpen van het klokkenpostulaat dat we in §8 behandelen, is het van belang inzicht te verkrijgen in het effect op de tijdsnelheid van een voorwerp dat door een mechanische kracht wordt gedwongen een cirkel te beschrijven. We hebben al eerder de draaiende schijf geanalyseerd, maar we kunnen ook denken aan een voorwerp dat aan een touw wordt rondgeslingerd, een haltervormig object dat in één vlak rond zijn middelpunt draait, of een  bol die rond zijn as draait. Ook een trein of een auto die een cirkel beschrijft, behoort tot die categorie. Dit zijn allemaal varianten op de draaiende schijf.

Voor het probleem van §8 moeten we ons echter verdiepen in objecten die zelfstandig door een lokale kracht  in een cirkelvormige baan wordt gedwongen. We kunnen denken aan een ruimtevaartuig dat door een raketmotor een (deel van) een cirkelvormige baan beschrijft, een vliegtuig dat in de lucht een cirkel beschrijft of een schip dat een rondje vaart. Deze voorbeelden hebben gemeen dat er geen centrale kracht is die meehelpt om de cirkelbaan te beschrijven. Ook de cirkelvormige baan die een geladen deeltje in een magnetisch veld als gevolg van de Lorentzkracht beschrijft behoort tot dat type.
In al deze gevallen zal de lokale kracht voortdurend loodrecht staan op de bewegingsrichting van het voorwerp.

Een object dat een cirkel beschrijft, ervaart een middelpuntzoekende versnelling. Er moet altijd de relatie bestaan v2/R m/s2 tussen de snelheid en de straal van de cirkel.

Ø    Als de snelheid groter is dan de snelheid die bij de cirkel hoort, beschrijft het object in een zwaartekrachtveld  een ellips, een parabool of een hyperbool. Daarbij neemt de kracht op het deeltje af bij grotere afstand tot het centrum. Als de lokale kracht echter constant is, kan het object alleen maar een grotere cirkel gaan beschrijven als de kracht toeneemt.

- 24 -

In het geval van een lokale kracht is er geen centrale kracht nodig om het voorwerp een cirkelvormige baan te laten beschrijven. Wanneer het object op een geheel andere plek wordt neergezet met dezelfde snelheid waarbij dezelfde lokale kracht op het object inwerkt, zal het opnieuw een cirkel beschrijven maar met een ander middelpunt.

Dergelijke objecten die eenzelfde cirkel beschrijven, kunnen niet star met elkaar worden verbonden en toch dezelfde beweging blijven uitvoeren. Dit in tegenstelling tot de draaiende schijf.

Zelfs als we een grote hoeveelheid objecten via raketmotortjes precies de snelheid rond een middelpunt zouden geven die bij een draaiende schijf behoort, zodat vanuit de verte gezien het geheel de indruk zal maken van een draaiende schijf, zal toch de klok in de buitenste ring geen gewijzigde tijdsnelheid ten opzichte van het middelpunt hebben als gevolg van de middelpuntvliedende versnelling omdat er in dit geval geen krachtenpatroon bestaat tussen het middelpunt en de rand. Het zijn losse objecten.

Omdat er evenmin sprake is van een snelheidsveld zal de tijdsnelheid van het object niet afhankelijk zijn van de plaats.
De tijdsnelheid ten opzichte van elkaar van verschillende objecten die een cirkelvormige baan beschrijven door een lokale kracht wordt dus volledig bepaald door de momentane onderlinge relatieve snelheid.

 

De Tijdsnelheid

a.                   Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust.

 In §2 is aangetoond dat de tijdsnelheid van een versnellende klok géén tijdsnelheidsverschil vertoont met de klokken in het stelsel-in-rust zolang de snelheid die door de versnelling is ontwikkeld te verwaarlozen is. In dit geval ontwikkelt de versnelling ten opzichte van het stelsel-in-rust helemaal geen snelheid in de richting van de versnelling, dus is de tijdsnelheid van de klok tengevolge van een lokale, radiëel gerichte kracht even groot als van de klok uit het stelsel-in-rust.
De tijdsnelheid van een klok op een voorwerp dat een cirkel beschrijft, is echter door zijn snelheid volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust γ keer zo langzaam.

Door de versnelling en de snelheid samen zal de tijdsnelheid van de klok in het bewegende stelsel dus γ keer langzamer zijn dan van de klok in het stelsel-in-rust.

Conclusie 1: Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust is de tijdsnelheid van een klok die als gevolg van een lokale kracht een cirkel beschrijft γ keer trager dan van de klokken in het stelsel-in-rust.

 b.                   Volgens de meebewegende waarnemers

 Volgens de meebewegende waarnemers is er niets te bespeuren van een centrale kracht. Door de lokale kracht die op het voorwerp werkt, worden ze weliswaar rond één punt geduwd, maar van dit punt  gaat geen kracht uit die een rol speelt in de beweging van het voorwerp. Het is een willekeurig punt. Verder zullen de meebewegende waarnemers geen plaatsafhankelijkheid van de tijdsnelheid van verschillende bewegende klokken waarnemen. Er kan geen tijdsnelheidsverschil tussen de klokken in het bewegende stelsel en de het stelsel-in-rust bestaan door een versnellingsveld omdat er geen versnellingsveld bestaat.

Omdat volgens de meebewegende waarnemers de klokken in het stelsel-in-rust een relatieve snelheid van v m/s hebben, zouden de klokken in het stelsel-in-rust γ keer trager moeten zijn dan de tijdsnelheid van hun eigen klokken. Dat leidt tot de tegenstrijdigheid die we in de vorige paragrafen ook tegenkwamen.
We zullen de Coriolisversnelling er in moeten betrekken.

- 25 -

De meebewegende waarnemer bevindt zich bij een klok die door een lokale kracht een cirkel beschrijft. De lichtstraal in de klok waarmee de tijdsduur wordt bepaald voor de heenweg, de terugweg en de retourreis ondervindt daarbij een Coriolisversnelling. De tijden worden vergeleken met de tijdsduur in de klok die we ons in het centrum van de cirkel kunnen denken en die tot het stelsel-in-rust behoort.

Het resultaat (zie §4) is dat  volgens de meebewegende waarnemers de tijdsnelheid van de klokken in het stelsel-in-rust inderdaad γ keer zo groot is.

Conclusie 2: Volgens de meebewegende waarnemers is de tijdsnelheid van de klokken in het stelsel-in-rust door de gezamenlijk werking op de tijdsnelheid van de snelheid en de Coriolisversnelling γ keer groter dan van hun eigen klokken.

 

§8.  Het klokkenpostulaat: de tijdsnelheid van een klok die de Lorentzversnelling ondergaat.

 De versnelling waar een bewegend elektrisch geladen deeltje in een homogeen magnetisch veld mee te maken krijgt door de Lorentzkracht is het gevolg van een constante lokale kracht. Het deeltje is hierdoor gedwongen een cirkel te beschrijven. Alle bevindingen van de vorige paragraaf kunnen direct worden toegepast op deze situatie.  

Voor de Lorentzkracht geldt dat een deeltje met de elektrische lading q en de massa m dat met een loodrechte snelheid v door een homogeen magnetisch veld B beweegt, een constante kracht ondervindt, die loodrecht op de bewegingsrichting zowel als het magnetisch veld staat, ter grootte: FLor = q.v.B.

- 26 -


Welke snelheid het geladen deeltje ook heeft, het zal altijd een cirkel beschrijven met een straal die evenredig is met de snelheid.
Identieke deeltjes met een gelijke lading, een gelijke massa en met eenzelfde absolute snelheid zullen alle een cirkel beschrijven met eenzelfde straal.  

De tijdsnelheid

 a.         Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust.

De bevindingen van de vorige paragraaf voor de waarnemers in het stelsel-in-rust zijn geheel toepasbaar voor de Lorentzversnelling. Daarom stellen we vast dat vanwege het feit dat het deeltje geen snelheid ontwikkeld in de richting van de Lorentzversnelling volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust alle klokken op de geladen deeltjes die een cirkelbaan beschrijven  in een homogeen  magnetisch veld als we uitsluitend het effect van de Lorentzversnelling bekijken   dezelfde tijdsnelheid behouden.  
Aangezien de deeltjes volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust ook nog een snelheid v hebben die loodrecht staat op de Lorentzversnelling, zullen de klokken op de bewegende deeltjes vanwege deze snelheid een tijdsnelheid hebben die een factor γ kleiner is.

Conclusie 1: Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust is de tijdsnelheid van de geladen deeltjes die door de Lorentzkracht een cirkel beschrijven in een homogeen magnetisch veld   ten gevolge  van de snelheid een factor γ trager.

Conclusie 2: Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust is de tijdsnelheid van een klok op een geladen deeltje dat zich in een cirkelbaan door een homogeen magnetisch veld beweegt door gezamenlijke werking van snelheid en Lorentzversnelling met een factor γ kleiner ten opzichte van de tijdsnelheid van hun klokken in het stelsel-in-rust.  

Vaststelling: De waarnemingen vanuit het stelsel-in-rust komen overeen met de experimenten van Bailey.  

  1. Volgens de meebewegende waarnemers.

Uit conclusie 2 volgt dat volgens de meebewegende waarnemers de tijdsnelheid van de klokken van het stelsel-in-rust een factor γ sneller zal moeten zijn dan van hun eigen klokken.

Er bestaat geen versnellingsveld dat een tijdsnelheidsverschil tussen de klokken uit het stelsel-in-rust en het stelsel-in-beweging kan veroorzaken. Het sneller lopen moet dus komen van de Coriolisversnelling en de snelheid. De bewijsvoering gaat zoals in de vorige paragraaf is gegeven:

Conclusie 3: Volgens de meebewegende waarnemers is de tijdsnelheid door de gezamenlijk werking van de Coriolisversnelling en de relatieve snelheid van de klokken in het stelsel-in-rust γ keer groter dan van hun eigen klokken.

 Het resultaat is dat de waarnemers uit beide stelsels het met elkaar eens zijn: de tijdsnelheid van de klokken op een geladen deeltje dat als gevolg van de Lorentzversnelling in een homogeen magnetisch veld een cirkel beschrijft, is een factor γ kleiner dan de tijdsnelheid van de klokken in het stelsel-in-rust.
Op deze wijze kan het resultaat van het experiment van Bailey worden begrepen en kan het klokkenpostulaat als een begrijpelijk aspect van de relativiteitstheorie worden gezien.

 

Hiermee is het klokkenpostulaat verlost van zijn aureool van onbegrijpelijkheid. Het is gewoon een fysisch verklaarbaar feit! De sleutel ligt in het verwerpen van de Lorentzcontractie.

- 27 -

Het tijdsverschil

 

Het tijdsverschil tussen twee achter elkaar bewegende voorste en achterste klokken.
Ook hier geldt dat volgens de waarnemers in beide stelsels de klokken gelijk moeten lopen.
Hoe kunnen we dat uit het gedrag van de klokken verklaren?

 a.         Volgens de waarnemer in het stelsel-in-rust

We hebben gezien dat volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust er géén tijdsnelheidsverschil bestaat tussen de voorste en de achterste klok zolang de snelheid in de richting van de versnelling te verwaarlozen is. Aan die voorwaarde is hier zeker voldaan. Verder hebben  we in §2 gezien dat er volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust geen tijdsnelheidsverschil noch een tijdsverschil is tussen de voorste en de achterste klok als gevolg van de versnelling om de snelheid v  te bereiken.  

Twee van meet af aan gelijklopende klokken op twee identieke, geladen deeltjes die gelijktijdig op enige afstand van elkaar in dezelfde cirkelbaan in het homogene magnetische veld terechtkomen, kunnen dus uit symmetrieoverwegingen onmogelijk een tijdsverschil laten zien omdat ze op geen enkel moment een tijdsnelheidsverschil hebben.

Conclusie 4: Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust is er geen tijdsverschil tussen twee achter elkaar in dezelfde baan bewegende identieke deeltjes.

 b. Volgens de meebewegende waarnemers.

Door de snelheid zal de voorste klok volgens de meebewegende waarnemers met  vℓ/c2 sec voorlopen op de achterste bij een  onderlinge afstand van meter indien er sprake is van een rechtlijnige verplaatsing. We mogen dit niet toepassen op het geval van een cirkelvormige baanbeweging want dan moeten de klokken gelijklopen uit symmetrieoverwegingen.  

We kunnen onverkort gebruik maken van de redenering in §4 waar we de tijdsduur van twee klokken die in een cirkel bewegen onder de invloed van de Lorentzkracht vergeleken met de tijdsduur in de centrumklok. Daar hebben we gezien dat het tijdsverschil door de snelheid vervalt indien we de gezamenlijke werking van de Coriolisversnelling en de snelheid bekijken. We vonden:

Eén blik op deze uitdrukkingen maakt duidelijk dat de tijdsduur over de heenweg of de terugweg over een afstand geen verschil vertoont, dus evenmin over een afstand tussen twee klokken die dezelfde cirkel beschrijven vanwege de Lorentzkracht. De klokken op de rand lopen in dezelfde mate langzamer ten opzichte van de centrum klok en lopen dus gelijk.
Ook in dit geval wordt het tijdsverschil door de Coriolisversnelling vereffend.  

Conclusie 5: Volgens de meebewegende waarnemers wordt het voorlopen van de voorste klok  op de rand van de draaiende schijf als gevolg van de snelheid teniet gedaan door de Coriolisvereffening.

Conclusie 6: Volgens de waarnemers in het stelsel-in-beweging is er geen tijdsnelheidsverschil  noch een tijdsverschil tussen twee onder invloed van de Lorentzkracht achter elkaar bewegende identieke deeltjes in een homogeen magnetisch veld.  

De verklaring van het klokkenpostulaat vormt een krachtige ondersteuning voor het bewijs in het artikel "De uitglijder van Einstein" dat de Lorentzcontractie op een fout in zijn uitwerking van de tijdvertraging berust.

___________________________________________________

Terug