Einsteins Lorentzcontractie

 

Naar portier
Terug naar Artefact

English

De Lorentzcontractie bestaat niet

Over de misvatting van Einstein,
 die de grootste natuurkundige dwaling 
van de afgelopen eeuw tot gevolg had

Henk Dorrestijn

hjdorrestijn@outlook.com
januari 2018  herzien: september 2019 ; januari 2020  

Samenvatting  

Bij de uitwerking van zijn theorie over het gedrag van de tijd in een bewegend stelsel voerde Einstein de Lorentzcontractie in waarmee hij onbewust de aethertheorie nieuw leven inblies. De gekromde ruimte waarbij aan de ruimte natuurkundige eigenschappen worden toegekend  is namelijk als een variant op de aethertheorie te beschouwen. 
Een nauwgezette analyse van zijn afleiding van de Lorentztransformatieformule voor de tijd brengt ons op exact hetzelfde resultaat, maar in de afleiding van de transformatieformule voor de plaats langs de Xcoördinaat in het stelsel-in-beweging maakte Einstein een gedachtefout. We wijzen de fout aan en we laten zien dat de aanname van de Lorentzcontractie voor bewegende objecten niet nodig, dus fout is. Het blijkt dat alle verschijnselen die tot nu toe als een samenspel van tijdvertraging en Lorentzcontractie worden gezien, volledig kunnen worden toegeschreven aan uitsluitend de tijdvertraging.
We stellen verder een verbeterde transformatieformule voor die recht doet aan de waargenomen feiten. Het begrip  'afgelegde afstand' krijgt een belangrijke rol.  


Inhoud
 

  1. Inleiding  blz 2
  2. Filosofische uitgangspunten  blz 3
  3. De klokkentest in een bewegend stelsel  blz  5
  4. Plaats en tijd in het stelsel-in-beweging  blz  6
  5. De tijdfunctie  blz  7
  6. De berekening van de integratie constante  blz 9
  7. De gevolgen van de tragere tijdsnelheid  blz 12
  8. En Einstein creëerde de Lorentzcontractie  blz 15
  9. De tijdsnelheid in een bewegend stelsel blz18
  10. De plaatsfunctie  blz 20
  11. Het tijdlijnendiagram  blz 24
  12. Voorbeeld: Tijd en plaats in bewegende stelsels  blz 27
  13. Het additietheorema blz 29
  14. Discussie  blz 30
  15. Literatuur  blz 32

Blad 2

1.     Inleiding  

De relativiteitstheorie van Einstein staat na ruim honderd jaar nog steeds fier overeind.
Toch hoort men regelmatig bekende wetenschappers verzuchten dat onze menselijke geest tekortschiet om ons een voorstelling te maken van de vierdimensionale ruimtetijd die in de theorie zo'n belangrijke rol speelt. Aansluitend wordt de genialiteit van Einstein dusdanig  geprezen dat de wetenschapper die het 'niet begrijpt ' al lang blij is tot een normaal menstype te behoren. Einstein was een buitencategorie.  

Het probleem waar de wetenschapper mee worstelt wordt veroorzaakt door het feit dat de gevestigde wetenschap nog steeds met één been in de aethertheorie staat. Dat zit zo:
Einstein heeft aangenomen dat de lichtsnelheid voor iedere waarnemer, wat zijn bewegingstoestand ten opzichte van de lichtbron ook mag zijn, dezelfde, constante waarde heeft en hij heeft daarmee wat betreft de voortbeweging van het licht in de ruimte de aether als tussenstof overbodig gemaakt. Met de constante lichtsnelheid kon hij de resultaten van Michelson en Morley, maar ook van Fizeau en anderen, verklaren.
Dit gaf Einstein de overtuiging dat hij de aethertheorie de doodsteek had toegebracht maar onbewust heeft hij via een achterdeur de aethertheorie weer binnengehaald. Bij de uitwerking van zijn  theorie heeft hij namelijk de contractie van de 'ruimte' van een bewegend stelsel geïntroduceerd. Daarbij betreft de contractie niet alleen de ruimte maar ook ieder natuurkundig object dat zich in die bewegende ruimte bevindt. Dit wordt de  Lorentzcontractie genoemd. Deze contractie ligt aan de basis van het begrip 'gekromde ruimte'.
In eerste instantie heeft Einstein dus de uiterst ijle substantie 'aether' uit de ruimte verwijderd, om vervolgens aan de ruimte zélf fysische eigenschappen te geven. De ruimte werd door hem gevuld met een stof die kon krimpen of uitzetten.
Daarmee gaf Einstein zonder meer vorm aan een nieuwe aethertheorie.   

Deze stof heeft als eigenschap dat het een uiterst star materiaal is dat slechts bij heftige kosmische gebeurtenissen, zoals van botsende sterren, tot een meetbare trilling kan worden gebracht. Zoals een hoogleraar het Ned Tijdschrift voor Natuurkunde het omschreef  "de stijfheid van die ruimtetijd is vergelijkbaar met die van een dikke stalen plaat" (sic!).  

Hoewel uit kringen van belangstellenden in de relativiteitstheorie talloze signalen werden en worden afgegeven over de fysische onbegrijpelijkheid van de Lorentzcontractie heeft de gevestigde wetenschap ieder kritisch geluid opgevat als een laaghartige aanval op de in schoonheid onovertroffen theorie van Einstein die slechts hooghartig kon worden gepareerd door te wijzen op de voor leken niet te doorgronden wiskundige complexiteit van de theorie.

In een artikel over de Lorentzcontractie (lit 1) heb ik aangegeven dat louter op filosofische gronden de Lorentzcontractie onjuist moet zijn.
In het huidige artikel geven we daar een vervolg aan door de fouten  op te sporen  in de afleiding die Einstein in 1905 gaf toen hij de grondslag legde voor de speciale relativiteitstheorie (lit 2) . Deze fouten dwongen hem tot de aanname van de Lorentzcontractie om de theorie rond te krijgen.

Blad 3

2.     Filosofische uitgangspunten  

Einstein heeft op verschillende plaatsen zijn relativiteitstheorie een filosofische grondslag trachten te geven. De speciale relativiteitstheorie is er op gebaseerd dat de fysische wetten dezelfde zijn voor een waarnemer in een stelsel-in-rust als voor een waarnemer in het stelsel-in-beweging.  Dit is het relativiteitsbeginsel. Hij refereerde aan het causaliteitsprincipe (oorzaak en gevolg) om zijn algemene relativiteitstheorie te onderbouwen (lit 3 p.772). Toch is dat wat mager voor een theorie die ons wereldbeeld drastisch heeft veranderd. We zullen in de volgende verhandeling enkele natuurfilosofische gedachten formuleren die aan de natuurkundige theorie vooraf moeten gaan.
Te beginnen met de eis: "Er bestaat slechts één natuurkundige werkelijkheid". Ik zou dit de Grondwet voor de natuurkunde willen noemen.  
We kunnen dit definiëren als de met elkaar overeenstemmende beschrijving na correctie voor de bewegingstoestand van de waarnemer van alle onafhankelijke waarnemers van een natuurkundige gebeurtenis die ergens plaatsvindt[1].


[1] Deze omschrijving laat ruimte voor vergissingen in het waarnemen of de interpretatie er van. Daardoor kan iets als "fysische werkelijkheid" worden omschreven dat naderhand een andere interpretatie krijgt.

Bijvoorbeeld een gebeurtenis als het omvallen van een rij dominostenen waarbij de laatste een schakelaar in werking zet waardoor een glas water omvalt en er een plas water op de vloer ontstaat. Deze gebeurtenis zal door elke betrouwbare waarnemer op dezelfde wijze worden beschreven. Een passerende wandelaar, een passagier in een trein of een kermisgast in een achtbaan, kortom elke waarnemer die de gebeurtenis van begin tot eind onbelemmerd kan waarnemen, zal voor een buitenstaander dezelfde gebeurtenis kunnen beschrijven inclusief de plas water. Mocht er een waarnemer zijn die beweert dat een deel van de  gebeurtenis niet heeft plaatsgevonden zoals de anderen deze beschrijven, dan zal hem worden gevraagd te verklaren hoe de plas water dan op de grond is gekomen. Als hij de anderen niet kan overtuigen, zal hij als waarnemer niet serieus worden genomen: "Iedereen ziet toch dat er water op de grond ligt!" 

Het is essentieel voor de fysica dat verschillende waarnemers van een natuurkundige gebeurtenis rekening houdend met hun bewegingstoestand eenzelfde beschrijving geven.
Deze overeenstemming heeft echter ook zijn keerzijde. Wanneer de gevestigde wetenschap  beweert 'waar te nemen' dat de aarde plat is, zal een waarnemer die het anders ziet, worden weggehoond. Hij staat voor de taak andere waarnemers voor zijn visie te winnen. Hij zal hen de feiten voor ogen moeten houden en hen met argumenten moeten bestoken. Alleen wie dat tot een goed einde brengt, levert een bijdrage aan de ontwikkeling van de wetenschap.
Zo deed Einstein begin vorige eeuw in zijn "Dialoog" alle mogelijke moeite (lit 4) om de "Criticasters" zoals hij ze noemde - tegenover de "Relativisten" - er van te overtuigen dat de 'Tweelingparadox' een verklaarbare consequentie was van de relativiteitstheorie..  

In het voorliggende artikel zullen we met evenveel verve de "Relativisten" ervan trachten te overtuigen dat op basis van de natuurkundige werkelijkheid een kleine verbetering van de relativiteitstheorie noodzakelijk is. De kleine verbetering het verwerpen van de Lorentzcontractie heeft echter grote gevolgen voor ons tijd en ruimtelijke wereldbeeld.  

We zullen in dat verband een natuurkundige gebeurtenis definiëren als een verandering gedurende een zekere tijdsduur van een herkenbare toestand naar een nieuwe herkenbare toestand van een verzameling materiële objecten. De 'herkenbaarheid' bestaat er uit dat alle in aanmerking komende waarnemers dezelfde markante elementen van een toestand kunnen waarnemen.

Blad 4

Onder een stelsel verstaan we alle materiële punten die zich ten opzichte van elkaar niet bewegen en evenmin onderling een verschillende versnelling ondervinden.
Onder een stelsel-in-rust verstaan we een stelsel dat geen versnellingen ondervindt en van waaruit een bewegend stelsel wordt waargenomen.
Een stelsel-in-beweging is een stelsel dat ten opzichte van het stelsel-in-rust een zekere snelheid heeft of versnelling ondervindt.

Uit symmetrie overwegingen mogen we stellen dat de grootte van de snelheid over en weer gelijk is tussen het stelsel-in-rust en het stelsel-in-beweging.  

De constante lichtsnelheid heeft tot gevolg dat een klok in een bewegend stelsel afhankelijk van de snelheid waarmee het stelsel beweegt langzamer loopt dan de klokken van de waarnemers die het bewegende stelsel waarnemen. Het fascinerende hiervan is dat de achterlopende klok juist sneller blijkt te lopen dan de klokken van de genoemde waarnemers als we ons naast die klok opstellen. Dan zijn we van stelsel gewisseld. We komen daar uitgebreid op terug.  

We zullen altijd met identieke klokken werken, dat zijn klokken die als ze naast elkaar worden geplaatst even snel lopen.
Omdat de (identieke) klokken in het stelsel-in-beweging langzamer lopen, verlopen de gebeurtenissen in het stelsel-in-beweging met een tragere tijdsnelheid.  Hieraan wordt de Lorentzfactor γ  gekoppeld: de tijd in het stelsel-in-beweging gaat γ sec/sec keer zo traag als in het stelsel-in-rust. Wij beperken ons tot v << c zodat γ weinig van één verschilt. 
Er geldt  γ ≥ 1 

De fysische gebeurtenis zoals het eenmaal rondgaan van de lange wijzer over de wijzerplaat van een klok zal voor verschillende waarnemers met verschillende snelheden ten opzichte van die klok volgens hun eigen klok meer tijd in beslag nemen. Het is weliswaar een vergelijkbare gebeurtenis maar op het moment dat volgens een waarnemer de lange wijzer van zijn eigen klok éénmaal de wijzerplaat heeft doorlopen, is de lange wijzer van de waargenomen, bewegende klok nog niet zover. Een gebeurtenis in het andere, met constante snelheid bewegende stelsel vindt met een tragere tijdsnelheid plaats.

Een verhelderend begrip is de puntgebeurtenis. Dit is een gebeurtenis op één plaats op één tijdstip. Een botsing of een lichtflits. Voor de ene waarnemer zal een puntgebeurtenis volgens zijn stelsel op een ander tijdstip en op een andere plaats plaatsvinden dan volgens de andere waarnemer.  

Wanneer een waarnemer een voorwerp met een snelheid van v m/s op het tijdstip t = 0 een bepaald punt ziet passeren, dan heeft er na t sec een gebeurtenis plaatsgevonden die bestaat uit de afgelegde afstand van v.t meter in zijn stelsel. De tijdsduur t leest hij af op de klokken in zijn stelsel. De klok op het bewegende voorwerp laat echter een kortere tijdsduur zien van t* = t/γ sec . Dan is de afgelegde afstand volgens de waarnemers in het stelsel-in-beweging gelijk aan v.t* = v.t/γ meter. Ogenschijnlijk is dat minder dan volgens de eerste waarnemer, maar beide waarnemers zien toch op dezelfde momenten het voorwerp de genoemde punten passeren met dezelfde snelheid. De tijd en de afstand moeten kennelijk op een verschillende manier worden bekeken in de twee stelsels.  

 

Blad 5

Welke identieke gebeurtenis moet de (mee bewegende) waarnemer die zich bij het voorwerp bevindt, hieraan toekennen? Deze bevindt zich in stilstand ten opzichte van het voorwerp. Het voorwerp legt een afstand af ten opzichte van het andere stelsel, maar de tijdsduur t* is minder.  
Omdat t en t* van elkaar verschillen (t* = t/γ), hebben de waarnemers met verschillende gebeurtenissen te maken. Pas als t* de waarde  t bereikt, kan de bewegende waarnemer over dezelfde gebeurtenis spreken als de waarnemer in het stelsel-in-rust. Dit betekent dat het stelsel-in-beweging tot het tijdstip γ.t* sec moet voortbewegen voordat de waarnemer in dat stelsel de identieke gebeurtenis ervaart.

Voor een identieke gebeurtenis moet de tijdsduur volgens de eigen klok even lang zijn.  We zullen nog zien dat de afgelegde afstand  in het stelsel-in-rust voor een identieke gebeurtenis van  het stelsel-in-beweging γ2 keer groter moet zijn dan de afgelegde afstand die volgens het stelsel-in-rust is afgelegd. Dit verrassende resultaat wordt in  § 7 afgeleid.
 

3.     De klokkentest in een bewegend stelsel  

Einstein wees in het begin van zijn artikel over de speciale relativiteitstheorie  (lit 2 p.894) op het belang van gelijklopende, identieke klokken. Hij deed ons een methode aan de hand om te testen of twee klokken A en B in een stelsel op een vaste afstand AB van elkaar, gelijklopen.

Het tijdstip tB ligt dus voor gelijklopende klokken precies halverwege de tijden van vertrek en aankomst in A. 
Dit lijkt een vanzelfsprekendheid, deze klokkentest, maar voor het begrijpen van de speciale relativiteitstheorie  is deze van eminent belang. Einstein bewees hiermee (lit 2, p 902) dat onder de aanname van de constante lichtsnelheid een klok op een bewegend voorwerp langzamer moet lopen.
Einsteins wijze van theorievorming die ten grondslag ligt aan de relativiteitstheorie wordt veelal uitbundig geprezen. Vanuit de aanname van de constante lichtsnelheid leidde hij wiskundig de coördinatentransformaties af. Hij voerde de klokkentest als gedachteexperiment uit op twee met de constante snelheid v m/s voortbewegende klokken. We denken daarbij vaak aan twee klokken in een rijdende trein (fig 1).

Blad 6



De tijdsduur wordt door zowel waarnemers in de trein als waarnemers op de grond met behulp van de klokken uit hun eigen stelsel bepaald. Voor de waarnemers op de grond  die het experiment in het bewegende stelsel gadeslaan, beweegt de lichtpuls ook met de snelheid c van A naar B en terug, maar zij zien dat het punt B zich intussen met de snelheid v verplaatst. De afstand die de puls op de heenweg moet overbruggen is dan groter dan AB . We kunnen uitrekenen op welke plaats B zich bevindt als de puls hem inhaalt, maar voor de berekening komt het op hetzelfde neer om voor de snelheid van de puls ten opzichte van de punten A en B de waarde (c - v)  m/s te nemen. 
Op de terugweg is de afstand die de puls moet overbruggen juist kleiner dan AB. Voor de snelheid op de terugweg kunnen we om dezelfde rekenkundige redenen de uitdrukking
(c + v) m/s gebruiken.
De analyse in de volgende paragrafen laat zien dat de tijdsduur voor de heen en weergaande beweging op de klokken van de waarnemers op de grond groter is dan de tijdsduur op de klokken van de waarnemers in de trein! De klokken van de grondwaarnemers moeten dus sneller hebben gelopen dan de klokken van de waarnemers in de trein.
De waargenomen gebeurtenis vraagt meer tijd [1]  volgens de klokken van de grondploeg dan volgens de klokken van de ploeg in de trein. Je zou dat kunnen billijken want voor de grondploeg is het meer dan één gebeurtenis: de heen en weergaande lichtstraal en ook nog de verplaatsing van de trein.
De tijd speelt hier overigens een ondoorgrondelijke rol want beide 'klokploegen' ervaren niets van een snellere of langzamere tijd, voor hen is het gewoon de tijd voor de gebeurtenis.

4.     Plaats en tijd in het stelsel-in-beweging

De relatie tussen de tijd en de plaats van de eigen klok in het stelsel-in-rust en de tijd en plaats van de passerende klok in het stelsel-in-beweging werd door Einstein als volgt gevonden. Hij voerde twee coördinatenstelsels in:
Ø        
het coördinatenstelsel in het stelsel-in-rust met de coördinaten (x ,y, z, t), en
Ø        
het coördinatenstelsel in het stelsel-in-beweging met de coördinaten (ξ, η, ζ, τ).
Ieder punt in de ruimte bevindt zich altijd in beide stelsels tegelijk en ook een bewegend object houdt zich altijd in beide stelsels tegelijk op . Iedere plaats waar het object zich op zeker tijdstip bevindt, krijgt daarom in de twee verschillende stelsels een verschillend viertal  coördinaten mee.

[1] De waarnemers in een stelsel kunnen de klokken in het andere stelsel gewoon aflezen en 
het langzamer lopen van de klokken controleren.
_____________________________________________________________________________________

 

Blad 7

Het is nu de kunst om de formules te vinden die het mogelijk maken uit de set coördinaten    (x,y,z,t)     het viertal coördinaten  (ξ,η,ζ,τ)   te vinden.
Dit wordt een coördinatentransformatie genoemd.  

Omdat de constante beweging langs de Xas plaatsvindt, nemen we samen met Einstein [1] zonder bewijs aan dat de waarden van de coördinaten in de Yrichting en de Zrichting niet veranderen,   dus η = y  en  ζ = z . 

Om de plaats ξ en de tijd τ in het met de snelheid v bewegende stelsel te vinden als de tijd t en de plaats x in het stelsel-in-rust bekend zijn, paste Einstein de klokkentest toe op twee klokken A en B in het stelsel-in-beweging. We zullen zijn berekening exact volgen en controleren.
Op het moment dat A de oorsprong O van het stelsel-in-rust passeert (fig.1)  vertrekt uit A een lichtpuls naar het punt B. Voor dat moment gelden de beginvoorwaarden in het stelsel-in-rust x = 0 en t = 0 en in het stelsel-in-beweging ξ = 0 en τ = 0 . Het punt A vormt de oorsprong van het bewegende stelsel. Voor het punt B geldt in dit stelsel ξB = AB = ℓ meter. 
We zullen het stelsel-in-rust ook wel stelsel O en het stelsel-in-beweging stelsel A noemen.  

In het stelsel A zal de lichtpuls het punt B bereiken na τB  = ℓ/c sec .
Op welk tijdstip tB  bereikt de puls volgens een waarnemer in het stelsel-in-rust het punt B? Einstein ging er van uit dat de (bewegende) afstand AB voor de waarnemer in het stelsel-in-rust mogelijk niet de lengte heeft. Hij noemt deze lengte x'.  Op het tijdstip t = 0 geldt dus xB = x' meter.
Er geldt dan na tB  sec voor de plaats van B in het stelsel-in-rust xB = x' + v.tB .
We kunnen ook schrijven x' = xB v.tB  meter.

[1] Hierbij sluiten we dus op voorhand iedere vorm van Lorentzcontractie in die richtingen uit. Voor een
bewijs dat Lorentzcontractie in de dwarsrichting niet bestaat, zie (lit 5, p.29) .
______________________________________________________________________________________

 

 5.     De tijdfunctie

 

In het bewegende stelsel A geldt de formule (1) voor gelijklopende klokken uitgedrukt in de tijd τ  van het stelsel A:   

                                               ½(τA'+τA) = τB                                                           (1A)

 In deze formule worden de tijdstippen van drie puntgebeurtenissen gebruikt: het beginpunt, het punt waar de puls wordt weerkaatst en het punt waar de puls weer terugkomt.
De tijd τ  in het stelsel A is een functie van de coördinaten (x,y,z,t) van het stelsel O . Logisch want we willen de tijd op een plaats in stelsel A weten als we de coördinaten inclusief de tijd van die plaats in stelsel O kennen.

Om de transformatieformule – verder 'tijdfunctie' genoemd –  af te leiden, moeten we de tijd en de plaats van de drie puntgebeurtenissen in het stelsel-in-rust gebruiken. We vinden de volgende drie tijdstippen:

Blad 8

Invullen in (3) geeft: 


Blad 9

            6.     De berekening van de integratieconstante.

 De berekening van a doen we net als Einstein via een beschouwing over het gedrag van de tijd in de Yrichting. We zullen hem opnieuw  berekenen wegens onze gewijzigde aanpak.
We gebruiken de klokkentest, maar nu voor klokken langs de Yas:  
  
                                  ½(τA' + τA) = τB               
                                                (1A)

We laten een lichtpuls langs de Yas bewegen vanuit punt A naar een punt B dat zich op de afstand y0 bevindt en terug. Volgens de waarnemers in beide stelsels is de afstand tussen A en B gelijk aan y0 meter. Voor de waarnemers in het stelsel-in-beweging vliegt de puls rechtstandig op en neer. Voor de waarnemers in het stelsel-in-rust beschrijft de lichtpuls een driehoekige weg (fig.2).  

Blad 10

Blad 11

Dit is de bekende Lorentztransformatie–formule voor de tijd τ in het stelsel-in-beweging die Einstein in zijn artikel over de speciale relativiteitstheorie (lit 2 p 902) presenteerde.

De  betekenis ervan is dat als op de plaats x in het stelsel-in-rust de tijd t op de klokken staat een klok uit het stelsel-in-beweging die op dat moment deze plaats passeert, de genoemde tijd τ  moet vertonen mits aan de beginvoorwaarden is voldaan.

Een willekeurige klok uit het stelsel-in-beweging die op het tijdstip t = 0 sec gelijk wordt gezet met de klokken uit het stelsel-in-rust en dus de tijd τ = 0 vertoont, zal op het tijdstip t de plaats x = v.t bereiken, waardoor zijn tijd een waarde heeft van:

 

Blad 12

                  7.     De gevolgen van de tragere tijdsnelheid  


Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust is de tijdsnelheid in het stelsel-in-beweging langzamer met de factor gamma   dan in hun eigen stelsel.

Wat is de betekenis hiervan?  
Het gaat er om dat een gebeurtenis in het bewegende stelsel die op de klok in het bewegende stelsel T sec duurt in het stelsel-in-rust  γT  sec duurt. De klok in het stelsel-in-rust lijkt dus sneller te lopen. Dat is lastig te begrijpen. We moeten echter bedenken dat deze metingen altijd gepaard gaan met een verplaatsing. Het bewegende stelsel staat niet stil! Dankzij deze verplaatsing wordt het mogelijk dat de waarnemers in het stelsel-in-beweging constateren dat net omgekeerd de klokken in het stelsel-in-rust juist de langzamer lopende klokken zijn. We zullen dat in de volgende paragrafen verder verhelderen.

Wanneer een punt A van een stelsel-in-beweging, bijvoorbeeld een trein, na t sec een afstand = v.t meter heeft afgelegd van de oorsprong O tot een punt P in het stelsel-in-rust, staat op de klokken in het stelsel-in-rust uiteraard de tijd t sec, maar op de klok van A staat dan de tijd t/γ , want die klok loopt langzamer. In het stelsel-in-rust komt de tijdsduur t sec bijvoorbeeld overeen met een balletje dat omhoog wordt gegooid en weer terugkomt. Wanneer men gelijktijdig in het stelsel A ook zo'n balletje had opgegooid, is dat balletje nog niet terug op het moment dat A het punt P passeert. Het balletje is pas terug als op de klok in A ook de tijd t staat. Het balletje heeft er dan γ keer zo lang over gedaan. Het punt A heeft zich dan verplaatst tot γℓ meter in het stelsel-in-rust.
Uit symmetrieoverwegingen staat onomstotelijk vast dat de snelheid van het ene stelsel ten opzichte van het andere over en weer gelijk is. De afgelegde afstand als de klok t sec aangeeft, lijkt echter te verschillen.  
Dit verschil wordt veroorzaakt door het 'definiëren' van het stelsel-in-rust. Daarmee krijgt het stelsel-in-rust een andere plaats in het verhaal dan het stelsel-in-beweging. Een zogenaamde bevoorrechte positie. De klokken in het stelsel-in-rust lopen dan sneller dan de klokken in het stelsel-in-beweging. Daarmee lijkt een asymmetrie te worden ingevoerd want de afgelegde afstand  van het stelsel-in-beweging in het stelsel-in-rust na t sec op de klok in het stelsel-in-rust verschilt immers van de afgelegde afstand  van het stelsel-in-beweging in het stelsel-in-rust na t sec op de klok in het stelsel-in-beweging. Deze beschouwing is echter niet symmetrisch.
We krijgen de symmetrie terug door te kijken naar de afgelegde afstand  die het stelsel-in-rust na t sec op de klokken in het bewegende stelsel heeft afgelegd in dat stelsel.  Die is precies even groot als de afgelegde afstand  van het stelsel-in-beweging in het stelsel-in-rust na t sec op de klok in het stelsel-in-rust.
Het is als het kijken door een vergroot glas: als je van de ene kant kijkt is de andere kant vergroot maar als je van de andere kant kijkt, is deze kant vergroot.

Hoe kunnen we dit voor de bewegende stelsels omschrijven?
De oplossing zit er in dat vanuit het stelsel-in-rust gezien, de eenheid van tijd  in het stelsel-in-beweging een factor γ keer groter is dan in het stelsel-in-rust. Daarom geeft een klok minder seconden aan voor dezelfde tijd. We maken gebruik van een tijdeenheid die γ keer groter is dan de seconde. Deze eenheid geldt alleen voor een stelsel dat daadwerkelijk beweegt, dat wil zeggen dat het de tijdeenheid is die men in het stelsel-in-rust moet gebruiken om de natuurkundige gebeurtenissen in het stelsel-in-beweging te beschrijven.
Wanneer we de tijd daarin uitdrukken, wil ik over de Lorentztijd spreken. 
De bijbehorende  eenheid kan dan de 'Lorentzseconde' , 
afgekort tot lorentzsec of lorsec,  worden genoemd.
Er geldt:  1 lorsec = γ  sec .

Blad 13

De tijdsnelheid in het stelsel-in-beweging is afgenomen. Dit uit zich er in dat vanuit het stelsel-in-rust gezien een gebeurtenis in het bewegende stelsel langer duurt, maar ook dat als zich een gebeurtenis in beide stelsels herhaaldelijk voordoet bijvoorbeeld vanuit het stelsel-in-rust wordt er ieder uur een kopje koffie aan een bepaalde passagier in de trein overhandigd dan is de frequentie in het stelsel-in-beweging hoger dan in het stelsel-in-rust omdat het in het bewegende stelsel minder dan een uur duurt voor het volgende kopje wordt aangeboden.  
Maar ondanks de tragere tijdsnelheid blijft de snelheid  
gewoon v m/s.

Als we echter de snelheid (= afstand gedeeld door tijd) met de Lorentztijd weergegeven dan moet ook de lengteeenheid γ keer zo groot worden. Het gaat hierbij om een lengteeenheid die voor de afgelegde afstand  in de bewegingsrichting moet worden gebruikt. Een afgelegde afstand in die eenheid leidt in het stelsel-in-rust tot een γ keer grotere lengte van de afstand, de 'Lorentz-afstand'.

De grotere lengteeenheid zouden we de 'Lorentzmeter' - afgekort tot  lormeter - kunnen noemen. Er geldt:  1 lormeter = γ  meter.

Dan volgt er uit voor de snelheid:  v lormeter/lorsec = v m/s zodat de snelheid inderdaad over en weer gelijk blijft.
De afgelegde afstand door het bewegende stelsel wordt dan: 
v
  x t (lormeter/lorsec).lorsec = v.t lormeter.  

Er geldt: v.t lormeter = γ.vt meter.
Daarmee vinden we op het tijdstip t/γ lorsec voor de afgelegde afstand van het stelsel-in-beweging in het stelsel-in-rust toch gewoon v.t meter.

Daarmee wordt recht gedaan aan onze natuurkundige ervaring: op het tijdstip t heeft het object de afstand v.t afgelegd, maar op zijn klok staat t/γ

Ø         Deze nieuwe eenheden moeten dus door de waarnemer in het stelsel-in-rust worden toegepast als hij iets wil berekenen dat zich in het stelsel-in-beweging afspeelt

Het is voor ons onderzoek van groot belang de identieke gebeurtenis van een afgelegde afstand in beide stelsels te bepalen. Voor deze identieke gebeurtenis geldt dat de tijdsduur in het stelsel-in-beweging uitgedrukt in Lorentzseconden even groot is als de tijdsduur in het stelsel-in-rust in gewone seconden. 
Omdat zowel de Lorentzsec als de Lorentzmeter γ keer zo groot zijn als de seconde en de meter, wordt de identiek afgelegde afstand (=  snelheid x tijd)  na t lorsec

  een γ2 keer grotere afgelegde afstand  

van het stelsel-in-beweging in het stelsel-in-rust dan de afgelegde afstand volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust na t sec is.

Blad 14

 

Wanneer we nu voor γ2 schrijven  , wat geldig is voor v << c , dan zien we dat A  voor de identieke gebeurtenis een afstand moet afleggen in het stelsel-in-rust  die    meter langer  is dan de afstand die volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust op het tijdstip t is afgelegd [1].  

Samenvattend zijn dit drie belangrijke bevindingen

Ø         De tijdsduur van een gebeurtenis in ons stelsel is op onze klokken precies even groot als voor de identieke gebeurtenis in het stelsel-in-beweging op de klokken van het

Ø         De tijdsduur van een gebeurtenis op een vast punt in het stelsel-in-beweging is op onze klokken altijd γ keer zo groot als op de klokken in het bewegende stelsel zelf

Ø         Het stelsel-in-beweging moet een γ2 keer grotere afstand afleggen in het stelsel-in-rust om de identiek afstand af te leggen die volgens het stelsel-in-rust is afgelegd.

 Verhelderend: Iemand kan over 10 minuten thuis zijn maar dan moet hij nu vertrekken. Hij treuzelt waardoor hij nog maar 9 minuten over heeft. Hij besluit snellere stappen te nemen om op tijd thuis te zijn. Met een factor 10/9 past hij het ritme van zijn stappen aan waardoor hij precies op hetzelfde tijdstip thuiskomt als wanneer hij op tijd zou zijn vertrokken. Door zijn grotere snelheid worden zijn stappen echter ook 10/9 keer zo groot. Daardoor legt hij in die 9 minuten niet de afstand af die nodig is, maar hij schiet zijn doel voorbij. Hij heeft na die 9 minuten een 10/9 keer zo grote afstand afgelegd. Terwijl hij normaal in 9 minuten 9/10 deel van de afstand tot zijn huis zou hebben afgelegd, heeft hij nu 10/9 keer die afstand afgelegd. De afstand is daarmee (10/9)2 keer zo groot geworden. Een kwadratische toename.

Opmerking: Zoals de langzamere Lorentztijd voor het gehele bewegende stelsel geldt, zo is de Lorentzafstand ook een eigenschap van het bewegende stelsel als totaliteit. Het gaat om de door het gehele stelsel afgelegde afstand die in lormeters wordt uitgedrukt. Het stelsel zelf blijft hierbij onvervormd, zoals we in de volgende paragraaf zullen aantonen, en kan worden beschouwd als een star object waarvan de afmetingen in meters worden uitgedrukt.

In het kritische artikel (lit 6)  over de Lorentzcontractie wordt "de γ2 keer grotere afstand" bij constant bewegende stelsels als uitgangspunt genomen samen met de invloed van de versnelling van een stelsel op de tijdsnelheid. Dit leidt tot een transparante verklaring van de:

Ø       Ehrenfestparadox met zijn centrifugale versnelling 

Ø       de klokkenparadox van het CERN in Geneve

Ø       afleiding van de periheliumprecessie van Mercurius door zijn snelheid in het zwaartekrachtveld van de zon.

De laatste twee voorbeelden werden door Einstein gebruikt als ondersteunend bewijs voor  de algemene relativiteitstheorie. In het genoemde artikel laten we zien dat de relativiteitstheorie zonder Lorentzcontractie  sneller tot dezelfde of zelfs betere resultaten leidt.

[1] Dit principe geldt ook wanneer de tijdsnelheid is veranderd als gevolg van een versnellingsveld.
_____________________________________________________________________________________

Blad 15

 

      8.     En Einstein creëerde de Lorentzcontractie  

Nu we de tijd met de tijdformule (6) in het stelsel-in-beweging kunnen bepalen uit de tijd en de plaats in het stelsel-in-rust (of omgekeerd) vragen we ons af of we ook kunnen begrijpen waarom Einstein de Lorentzcontractie heeft ingevoerd voor een bewegend voorwerp.
We bekijken daartoe een stelsel-in-beweging met oorsprong A dat met constante snelheid v langs de Xas in het stelsel-in-rust (met oorsprong O) beweegt en waarin in de Xrichting zowel als in de Yrichting een even lange staaf met de lengte is opgesteld.

Op t = 0 vallen de oorsprongen van beide stelsels samen. Er worden op dat moment in het stelsel-in-beweging in beide richtingen lichtpulsen verzonden langs de staven. Ze worden in de punten y = C en ξ = B van het stelsel-in-beweging weerkaatst (zie fig 3) en ze komen volgens de waarnemers in het stelsel-in-beweging na τA = 2ℓ/c  lorsec terug in de oorsprong A. De oorsprong A bevindt zich op dat moment in een punt A'' in het stelsel-in-rust.
Hun gezamenlijke terugkomst en de bijbehorende flits moeten door de waarnemers uit beide stelsels kunnen worden waargenomen.
Volgens de snellere klokken in het stelsel-in-rust moet de gebeurtenis  2γℓ/c  sec hebben geduurd. Op de klok bij A'' moet dus op dat moment de tijd tA'' = 2γℓ/c    sec staan.    

 De waarde van tA'' kan op twee directe manieren worden bepaald, namelijk met de lichtweg van de puls langs de Yas en via de lichtweg langs de Xas. 

Blad  16

Langs de Xas is de tijd tA'' bij terugkomst lastiger te berekenen.  


Ø         Wij kunnen echter laten zien dat tijdens de versnelling om de snelheid v te verkrijgen de lengte van het object niet kan veranderen (zie Intermezzo), dus moet deze conclusie op een verkeerde gedachtegang berusten.

Welke fout maakte Einstein bij deze aanpak?
Ø         De volgende uitleg doet een sterk beroep op uw voorstellingsvermogen. Geef het niet te snel op!  

Hij laat de punten A, B' en A'' met de snelheid v voortbewegen in het stelsel-in-rust. De punten vormen dus een bewegend stelsel. Dan stelt hij dat de lichtpuls met de snelheid (cv) van het punt A naar het punt B' beweegt in het stelsel in rust. Dat lijkt een goede constatering, maar wanneer je dit nog eens rustig overdenkt, kom je tot de conclusie dat de lichtpuls met de snelheid (cv) in een bewégend stelsel de afstand x' van A naar B' aflegt. Van A is het duidelijk dat het tot het bewegende stelsel behoort. Voor het punt B' geldt dat het de projectie van het punt B in het stelsel in rust is. B behoort  tot het stelsel-in-beweging dus ook B' is een bewegend punt in het stelsel-in-rust. De punten A en B' behoren tot het stelsel-in-beweging.
Einstein gebruikte dus de tijd van een stilstaand punt waar hij de tijd van het bewegende punt B' had moeten gebruiken. 

We werken dit verder uit:
De lichtpuls beweegt dus met de snelheid (c–v) m/s van het ene bewegende punt naar het andere bewegende punt. De tijd in de bewegende punten is γ keer trager dan van de punten op dezelfde plaats in het stelsel-in-rust .  

Conclusie: De Lorentzcontractie is een onjuiste aanname.

Blad 17 

 

Intermezzo:

We weten dat tijdens het versnellen van het voorwerp (een staaf) volgens de meebewegende waarnemers de voorste klok een grotere tijdsnelheid heeft (zie lit 5, 6 of 7) . Na enige tijd loopt de voorste klok vóór op de achterste klok (precies zoveel als past bij die snelheid volgens de tijdformule) .

Volgens de waarnemers in het stelsel in rust echter lopen de voorste en de achterste klok tijdens het versnellen precies even snel. Omdat ze oorspronkelijk gelijkliepen, zullen ze gelijk blijven lopen zolang er niets verandert aan de situatie. De voorste en achterste klok ondergaan volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust ook dezelfde versnelling dus zullen ze op zeker moment dezelfde afstand hebben afgelegd (in het stelsel-in-rust) en dezelfde snelheid bezitten. Hun onderlinge afstand is gelijk gebleven.  

  Het voorwerp is dus niet gekrompen volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust.

 Let op: de klokken in het stelsel-in-beweging lopen volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust vanwege de (toenemende) snelheid wel langzamer dan in het stelsel-in-rust, maar allemaal in dezelfde mate zodat ze onderling  wél gelijklopen.

Wanneer het bewegende stelsel niet langer versnelt en dus een constante snelheid heeft verkregen, hebben de klokken in dat stelsel alle dezelfde tijdsnelheid. Hun voorste klok loopt volgens hen echter voor. Omdat de meebewegende (natuurkundig geschoolde) waarnemers in hun stelsel ook gelijklopende klokken eisen, zetten ze hun voorste klok een stukje terug zodat hij gelijk loopt met hun achterste klok. 
Hierdoor zien de waarnemers in het stelsel-in-rust plotseling in plaats van twee gelijklopende klokken een áchterlopende voorste klok in het bewegende stelsel.

Zo kunnen we ons voorstellen waarom er volgens de tijdformule van Einstein een tijdsverschil bestaat tussen een voorste en een achterste klok in een met constante snelheid bewegend stelsel. Het is het gevolg van onze aanname dat in een constant, rechtlijnig bewegend stelsel  alle klokken dezelfde tijd aangeven.

Een passerende staaf met snelheid v en lengte heeft dus nadat de voorste klok een stukje is teruggezet een volgens de tijdformule  met  Δτ = ℓv/c2 sec áchterlopende voorste klok ten opzichte van de achterste klok, gezien vanuit het stelsel-in-rust. In het constant bewegende stelsel lopen de klokken dan volgens de meebewegende waarnemers even snel en gelijk (= synchroon).

Blad 18

Ø         Een probleem dat zich vaak voordoet bij de beschouwingen over tijd en plaats van een bewegend voorwerp is dat we in het stelsel-in-rust geneigd zijn aan te nemen dat het voorste punt B zich minder ver heeft voortbewogen vanwege zijn tijdachterstand dan het achterste punt A. Het lijkt dan of de lengte van de staaf tussen voorzijde en achterzijde (zie fig 4) korter is geworden. Daarmee lijkt de Lorentzcontractie te worden bevestigd.  Dit is echter een verkeerde conclusie die snel wordt getrokken als men nog te weinig greep op het onderwerp heeft.

Einstein  en zijn volgelingen de Relativisten zijn er van overtuigd dat de lengte van het bewegende voorwerp daadwerkelijk gekrompen is. Deze belangrijke misvatting uit de speciale relativiteitstheorie heeft een aantal paradoxen rond de Lorentzcontractie opgeleverd zoals de tunnel en treinparadox en de ladder en schuurparadox die door de gevestigde wetenschap nooit overtuigend zijn weerlegd. 
De paradoxen bewijzen echter dat de Lorentzcontractie niet bestaat. In plaats van dat de wetenschap zich afvraagt of er misschien iets mis is met de relativiteitstheorie schrijven zij de tegenstrijdige uitkomsten van de paradoxen toe aan het 'gebrekkige voorstellingsvermogen' van het menselijk brein waarmee ze uw (!) brein bedoelen! 
Het lijkt mij echter eerder een gebrek aan het vermogen van de gevestigde wetenschap om de eigen theorie eens kritisch te onderzoeken.  

 

9.    De tijdsnelheid in een bewegend stelsel

In de vorige paragraaf hebben we aangegeven waar Einstein een fout heeft gemaakt. We zullen nu laten zien hoe Einstein zijn berekening had moeten uitvoeren met gebruikmaking van de tijdformule die hij net had afgeleid. Hij zou de aanname van de Lorentzcontractie dan niet hebben hoeven doen.

Eerst bepalen we (zie fig 5) het tijdstip in het punt B'  als de lichtpuls punt B bereikt. In het bewegende stelsel bereikt de lichtpuls het punt B op het tijdstip  τB = ℓ/c lorsec. De plaats van B is ξ = ℓ  lormeter in het stelsel-in-beweging. Plaats en tijd op dat moment zijn dus bekend van het punt B in het stelsel-in-beweging.

Blad 19


Met de tijdformule (6) berekenen we nu de tijd van hetzelfde punt in het stelsel-in-rust: het punt B'. Omdat de heenreis op het tijdstip t = 0  was begonnen, heeft dit tijdstip tevens de betekenis van de tijdsduur ΔtB' die de lichtpuls in het stelsel-in-rust nodig had om vanuit O het punt B' te bereiken.

We moeten bedenken dat we met de tijdformule in dit geval terugtransformeren van het stelsel-in-beweging naar het stelsel-in-rust. Dan is de snelheid van stelsel O negatief ten opzichte van stelsel A, dus v m/s.

We vinden voor de tijdsduur in het stelsel in rust:

ΔtB'= tB'=== sec

Ø         In fig 5 staan ook de punten A''  en B'' aangegeven. Dat betreft de bewegende plaatsen in het stelsel in rust van de punten A en B op  het moment dat de lichtpuls weer terug is in A .


Om de tijdsduur te vinden voor de terugweg van B' naar A'' in het stelsel-in-rust bekijken we de situatie vanuit het stelsel-in-beweging. Op het moment dat B de oorsprong O van het stelsel-in-rust passeerde (zie fig 6)  geven we daaraan de beginvoorwaarden t = τ = 0. Het punt B wordt dus als oorsprong van het bewegende stelsel genomen. Voor het berekenen van de tijdsduur mag dit.
In het stelsel-in-beweging bereikt de lichtpuls dan het punt A op de plaats –ℓ op het 
tijdstip τ = ℓ/c. We kunnen nu met de tijd en de plaats van punt A de tijdsduur ΔtA''  in het stelsel-in-rust berekenen voor de terugreis:  

= sec 

Blad 20

 

Uit de som van de tijdsduur van de heenweg en de terugweg van O naar B' naar A''  volgt de totale tijdsduur van de gebeurtenis volgens de waarnemers  in het stelsel-in-rust  :


Dit is dezelfde tijdsduur die de puls ook nodig heeft om in de Yrichting dezelfde verticale afstand af te leggen volgens het stelsel-in-rust. De pulsen bereiken gelijktijdig A" waardoor de lichtflits ontstaat. 
Daarmee wordt voldaan aan onze 'grondwet': waarnemers in beide stelsels nemen de lichtflits waar.  Het gebruik van een gekrompen lengte van het bewegende stelsel in het stelsel-in-rust zou tot onjuiste resultaten hebben geleid.

 

Ø         Opnieuw zien we: "De Lorentzcontractie bestaat niet!"

Blad 21

 

10.     De plaatsfunctie 

Met de Lorentztransformatieformule voor de tijd wordt de tijd τ  berekend 
van een klok in het met de constante snelheid v m/s bewegende stelsel die net op het tijdstip t  de plaats x in het stelsel-in-rust passeert. De berekening levert exact de tijd op die de waarnemers in het stelsel-in-beweging daadwerkelijk op het moment van passage op hun klok waarnemen. Maar ook de waarnemers in het stelsel-in-rust nemen deze tijd waar op de bewegende klok als deze het punt x passeert. De waarnemers van beide stelsels zijn het over deze waarnemingen eens.   

De tijd τ in het stelsel-in-beweging loopt trager dan de tijd t in het stelsel-in-rust, zoals de waarnemers in het stelsel-in-rust het zien. Volgens de waarnemers in het stelsel-in-beweging is het net andersom. Hierover zijn ze het oneens. Hoe snel de klokken lopen hangt dus af van welk stelsel als uitgangspunt wordt gekozen.

Uit ons onderzoek blijkt dat de transformatieformule voor de tijd boven elke twijfel is verheven. Maar omdat we hebben aangetoond dat de Lorentzcontractie niet bestaat, is het onwaarschijnlijk dat de transformatieformule voor de plaats wel juist is.

Uit ons onderzoek blijkt dat de transformatieformule voor de tijd   de tijdformule boven elke twijfel is verheven. Maar omdat we hebben aangetoond dat de Lorentzcontractie niet bestaat, is het onwaarschijnlijk dat de transformatieformule voor de plaats wel juist is.

 Einstein leidde de volgende transformatieformule voor de plaats af:  ξ = γ(x vt) meter. 
De plaats ξ in het stelsel-in-beweging zou hiermee worden gevonden voor een punt dat zich op het tijdstip t op de plaats x in het stelsel-in-rust bevindt. Alles speelt zich af langs de Xas waarlangs de beweging plaatsvindt.
Bijvoorbeeld voor de oorsprong van het bewegende stelsel A geldt x = v.t  en dus is ξA = 0 volgens de formule. 
Hier klopt de formule: de oorsprong blijft de oorsprong, maar dat is dan ook het enige dat klopt! 
Deze formule leidt namelijk tot een andere waarde voor de lengte van een voorwerp dan de waarnemers in het stelsel-in-beweging zelf opmeten. Een stok met een lengte van Δx = ℓ meter die zich op t = 0 uitstrekt tussen x1 = 0 en x2 = ℓ meter krijgt in het bewegende stelsel volgens de transformatieformule de lengte ξ = γ(x2 vt) γ(x1 vt) =  γ(x2 x1) = γ(0) = γℓ meter. De stok wordt dus langer met een factor γ.  
Dit is echter niet wat de waarnemers in het stelsel-in-beweging waarnemen. Volgens hen is de lengte gewoon meter. Dit komt, zeggen de Relativisten, omdat alles en dus ook de meetstok met de factor γ groter is geworden. Ze kunnen er dus als ze op zichzelf zijn aangewezen niet achter komen of de stok wél of niet afwijkt van de stok in het stelsel-in-rust!  

Uitsluitend door in volle snelheid v te vergelijken met een identieke stok in een stelsel-in-rust kunnen ze uitsluitsel verkrijgen of deze ervan afwijkt.  

Als de stok wordt teruggebracht naar het stelsel-in-rust, krimpt de stok weer tot zijn oude lengte van meter. 
Dat komt niet overeen met het gedrag van een klok. Die loopt weliswaar ook weer even snel als hij wordt teruggebracht naar het stelsel-in-rust, maar we weten dat een tragere klok steeds meer achter gaat lopen op een klok in het stelsel-in-rust (denk aan de tweelingparadox).
Die achterstand wordt niet goedgemaakt als de klok in het stelsel-in-rust wordt teruggebracht. We zien iets dergelijks in de lengte van de stok niet terug, de klok is niet van lengte veranderd als hij enige tijd met grote snelheid heeft rondgezworven.

Blad 22

Er zit hier duidelijk een asymmetrie in de theorie: de bewegende waarnemers zijn het met de rustende waarnemers eens over de tijden op de klokken, maar niet over de lengte van de stokken.

Uit het voorgaande blijkt dat het hoog tijd is om onze visie op de Lorentzcontractie te wijzigen. Er is namelijk wel degelijk sprake van krimp, maar niet van de lengte in een bewegend stelsel, maar van de afgelegde afstand door het stelsel-in-beweging.    

Een lengte is een fysische eigenschap van een voorwerp. Een afgelegde afstand daarentegen product van snelheid en tijd is een fysische gebeurtenis, een reis, nauw verwant aan de tijdsduur. Een afgelegde afstand tussen twee punten is met de klokken van het stelsel-in-rust gemeten altijd groter dan gemeten met de klokken in een bewegend stelsel omdat de eerste klokken een grotere tijdsnelheid hebben. Over de aard van de gebeurtenis zijn alle waarnemers het met elkaar eens en ook de tijdaanwijzing op de klokken op het moment dat het voorwerp de punten passeerde wordt door alle waarnemers bevestigd, maar de tijdsduur op de klokken van de bewegende waarnemers is minder dan op de klokken van de waarnemers in het stelsel-in-rust. Volgens de waarnemers in het stelsel-in-beweging is de grootte van de gebeurtenis, de afgelegde afstand, kleiner dan volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust. De afgelegde afstand van de bewegende waarnemers is dus minder terwijl de lengte tussen de punten hetzelfde is.   

In §7  hebben we laten zien hoe we voor de afgelegde afstand tot de lorentzmeter als lengteeenheid met een lengte van γ meter zijn gekomen. In het stelsel-in-beweging moet met een langere eenheid voor de tijd, namelijk de lorentzsec , worden gewerkt anders zou er op de klokken van het bewegende stelsel geen kortere tijdsduur worden opgemeten voor eenzelfde gebeurtenis. Daaruit volgt dat ook de eenheid voor de afgelegde afstand groter moet zijn dan een meter, namelijk γ meter, omdat het bewegende stelsel in minder tijd een afstand met dezelfde lengte aflegt als het stelsel-in-rust.

Hoe kunnen we hier verder helderheid in krijgen?

We kunnen onderzoeken hoe we  een lengte als een afgelegde afstand kunnen schrijven. Wanneer we twee punten x1 en x2  in het stelsel-in-rust hebben, kunnen we hun onderlinge afstand Δx = x2 x1 in de Xrichting als producten van snelheid en tijdsduur op de volgende wijze omschrijven als het verschil in afgelegde afstand:  

 Δx = x2 x1 = v.t2 v. t1 meter.  

Hierin zijn t2 en t1 de tijden die nodig zijn om met de snelheid v vanuit de oorsprong van het stelsel-in-rust de punten x2 en x1  te bereiken.
Nu kunnen we de afgelegde afstand Δx transformeren naar het bewegende stelsel waarbij de transformatie neerkomt op een transformatie van de tijd met de tijdformule

Blad 23


Ø         Deze formule vervangt de Lorentztransformatieformule voor de plaats waarbij we goed moeten beseffen dat de waarnemers in het stelsel-in-rust de Lorentz eenheden moeten gebruiken in het stelsel-in-beweging.

Dit gaat even gemakkelijk als met de Lorentztransformatieformule, we moeten echter rekening houden met de eenheid. In het algemeen berekenen de waarnemers in het stelsel-in-rust een in getalswaarde kleinere afgelegde afstand door een object, maar omdat de eenheid groter is, moeten ze concluderen dat de lengte van de afgelegde afstand even groot is (bij een kortere tijdsduur). Ook de lengte van het object blijft even groot.

Het lijkt er dus op dat er weinig verandert, maar het subtiele verschil zit erin dat het bewegende stelsel een afstand in minder tijd heeft afgelegd. Voor de meebewegende waarnemers is het een minder grote afgelegde afstand en zij zullen dus een grotere afstand moeten afleggen om over een identieke gebeurtenis te kunnen spreken. Bij cirkelvormige bewegingen zal het bewegende voorwerp langer door moeten gaan voor de gebeurtenis de cirkel is afgerond. Dat speelt bij de Ehrenfestparadox en de perihelium precessie van Mercurius (zie lit 6).  

Hiermee is de Lorentzcontractie definitief  naar de prullenbak verwezen.

 

Blad 24

 Wij stellen daar tegenover:  

Het zijn de afgelegde afstanden die door de tijdsnelheid worden beïnvloed, 
niet de afmetingen van de objecten noch de afstanden tussen objecten 
of hemellichamen.
 

Ø         We zien dat de tijd bij deze transformaties de hoofdrol speelt en de ruimte geen enkele. De ruimte is een abstract begrip en heeft dientengevolge geen fysische eigenschappen. We kunnen nooit stellen dat een voorwerp een afstand in de ruimte heeft afgelegd omdat er nu eenmaal in de ruimte geen merktekens te vinden zijn. Een afgelegde afstand is een fysische grootheid die net als de tijdsnelheid  alleen betekenis krijgt in een stelsel: het voorwerp legt een bepaalde afstand af ten opzichte van de materiële objecten in dat stelsel. Wanneer het voorwerp een extreem grote snelheid heeft, zoals kosmische deeltjes, wordt vanwege de extreem trage tijdsnelheid de afgelegde afstand tussen sterrenstelsels 'zeer klein'. De afgelegde afstand is dus een relatief begrip omdat de grootte van afgelegde afstand afhangt van de snelheid ten opzichte van het stelsel waarin de afstand wordt afgelegd.

Ø         In bepaalde opzichten is het hier besproken probleem vergelijkbaar met de lengte van de afstand tussen Brussel en Londen die in kilometers gerekend een grotere waarde heeft dan in Engelse Mijl maar toch eenzelfde afstand vertegenwoordigt. Maar als er een hardloopwedstrijd in Brussel over 1 km wordt gehouden, is de tijdsduur aanzienlijk korter dan van de 1 mijl die in Londen op het programma staat. Als er een uurloop wordt gehouden dan zal men in Londen veel minder mijlen afleggen dan in Brussel aan kilometers.

 

11.     Het tijdlijnendiagram  

Zonder Lorentzcontractie  krijgen we een beter beeld  van het gedrag van de tijd in een bewegend stelsel. We zullen ons hier voor een verdere toelichting beperken tot een bewegend stelsel dat een constante rechtlijnige beweging uitvoert.
Wanneer de oorsprong A van het stelsel-in-beweging de oorsprong O van het stelsel-in-rust passeert onder de bekende beginvoorwaarden, zal A zich op het tijdstip t  op de plaats x = v.t meter bevinden. Plaats en tijd van het  punt A zijn op dat moment bekend in het stelsel-in-rust, dus kan de tijd op dat moment van de bewegende klok A worden berekend met de tijdformule (6):

             Lsec.

Omdat γ >1 is de tijd τ  kleiner dan de tijd t . De klok in het stelsel-in-beweging loopt langzamer dan de klok in het stelsel-in-rust. Tegelijk moet de klok in het stelsel-in-rust ook langzamer lopen dan de klok in het stelsel-in-beweging. Dit tart ons voorstellingsvermogen. De grafieken die in de literatuur worden gebruikt om dit te verduidelijken, gaan voorbij aan het basisprobleem, namelijk: "hoe kunnen klokken ten opzichte van elkaar langzamer lopen?"
Omdat dit een probleem is voor leken om het te begrijpen en voor geleerden om het uit te leggen, zullen we een nieuwe manier van visualisatie laten zien die hierbij behulpzaam kan zijn. Daarvoor gebruiken we een tijdlijnendiagram (fig 7) gebaseerd op de tijdformule:     



Blad 25

 

We maken gebruik van de verplaatsing die de klokken ondergaan. De  stelsels O en A hebben een snelheid v ten opzichte van elkaar. De beweging van de stelsels vindt plaats langs de Xas. Vanuit het stelsel O gezien, beweegt het stelsel A zich in de positieve Xrichting. 
Dankzij het feit dat we geen rekening hoeven te houden met de Lorentzcontractie liggen de objecten (bijvoorbeeld treinen) over hun volle lengte langs de Xas.
We zetten de achterstand van de tijd van het ene stelsel op zekere plaats uit tegen de tijd van het andere stelsel. In een bepaald punt snijden de tijdlijnen elkaar, dat is het nulpunt op de X as.

De tijdlijn van het bewegende stelsel heeft, omdat de voorste klok achterloopt op de achterste klok, een schuin naar beneden lopende helling in de richting van de positieve X–as. Zie de lijn BA.
De tijdlijn van het stelsel-in-rust heeft vanuit het bewegende stelsel gezien een tijdlijn met een positieve richtingscoëfficiënt. Zie de tijdlijn  van stelsel O . 
De tijd van het bewegende stelsel wordt zo uitgezet tegen van de tijd van het stelsel in rust dat op de plaats x het verschil in y–coördinaat overeenkomt met het achterlopen van de klok in het stelsel-in-beweging op die plaats, namelijk vx/c2 sec .  

We zetten op deze manier de tijd van ons stelsel in hetzelfde diagram uit tegen de tijd van het andere stelsel. Zo krijgen we twee schuine lijnen symmetrisch ten opzichte van de Xas.

 

 Een schuine lijn vertegenwoordigt de tijd op de gelijklopende klokken van een stelsel op zeker tijdstip. We noemen het de tijdlijn van het stelsel voor dat tijdstip. De tijdlijn van het stelsel O loopt van linksonder tot rechtsboven. De tijdlijn van het stelsel A loopt van linksboven tot rechtsonder. Het stuk BA stelt de tijdlijn voor van de rijdende trein B*A (waarin alle klokken gelijklopen) .

Het stelsel O en ook het stelsel A bevinden en bewegen zich op de Xas . De tijdlijnen zijn dus puur de grafische voorstellingen van de tijd ter plekken op de Xas van een klok uit één van de stelsels.
In de figuur passeert punt A het punt O en de klokken zijn in die punten op de 
beginwaarden t = τ  = 0 gezet.


Blad 26


Stelsel O zou de tijdlijn van een spoorbaan kunnen voorstellen, een stelsel-in-rust, maar kan ook de tijdlijn van een andere trein, een bewegend stelsel, voorstellen die met gelijke maar tegengestelde snelheid langs de Xas beweegt als de eerste trein. De onderlinge snelheid van de twee stelsels bepaalt de hoek tussen de tijdlijnen.

De verticale afstand tussen de tijdlijnen geeft het tijdsverschil weer dat op de klokken is af te lezen van klokken die zich op dezelfde plaats x bevinden maar deel uitmaken van verschillende stelsels. Als men vanuit het ene stelsel op die plaats de klok in het andere stelsel ziet voorlopen  dan ligt de tijdlijn ter plekke hoger dan moet men vanuit het andere stelsel op die plaats de klok van het eerste stelsel zien achterlopen (dan bevindt die lijn ter plekke zich onder de eerste).

Ø         De relativiteitstheorie is een concrete theorie. Waarnemers uit verschillende stelsels zullen allen op zekere plaats dezelfde tijdstippen op de bij die plaats behorend al of niet bewegende klokken  aflezen.

In fig 7 wordt de situatie weergegeven op het moment dat de oorsprong A van stelsel A de oorsprong O van stelsel O passeert. Ten opzichte van stelsel O verplaatst stelsel A zich naar rechts.

Het tijdlijnendiagram is een dynamisch diagram. We kunnen in gedachten het punt A namelijk van O naar een punt P in het stelsel O laten bewegen. Dan krijgen we fig 8. Hierin geven we de tijdlijn weer op het moment dat A het punt P passeert. Merk op dat A niet van de Xas is afgeweken.
De tijd van A ligt nu onder de tijdlijn ter plekke van P terwijl zijn tijd eerst (fig 5) nog gelijk was met de tijdlijn van stelsel O in het punt O. Maar evenzo ligt de tijd van punt O nu aanmerkelijk beneden de tijdlijn van het stelsel A ter plaatse van het punt Q . We kunnen zien dat beide klokken A en O achter zijn gaan lopen ten opzichte van het andere stelsel.
Zo is te begrijpen dat beide klokken langzamer lopen ten opzichte van elkaar!

 

Het gemak van het tijdlijnendiagram is dat je in gedachten de tijdlijnen kunt verschuiven om de tijdverschillen te begrijpen. Met wat meetkunde kunnen de tijdverschillen in eenvoudige situaties direct worden vastgesteld.

Opmerking:  In een punt x is het afgelezen tijdverschil Δt of Δτ . In het stelsel-in-rust komt het verschil Δt echter met γ keer zoveel seconden overeen als de Δτ  gezien vanuit het stelsel-in-beweging in lorentzsec .  

Blad 27


1
2.     Voorbeeld Tijd en plaats in bewegende stelsels

Twee even lange treinen lengte   met de tijdlijnen OP en AB passeren elkaar met een onderlinge snelheid van v m/s. Op t0 = tA = 0  passeren de voorpunten O en A elkaar. In het tijdlijnendiagram (fig 9) is de beginsituatie van de treinen als streepjeslijnen aangegeven.  
Omdat in beide treinen de klokken synchroon lopen, zullen alle waarnemers op hun eigen klok de tijd t = 0 zien staan op dat moment. Wanneer ze de klokken in de andere trein waarnemen, zien ze een tijdverloop in die trein volgens de tijdlijnen.

Ø       Omdat beide stelsels bewegen en we dus geen onderscheid kunnen maken tussen een stelsel met 'snelle' klokken en één met 'trage' klokken, geven we de tijd alleen nog maar met het symbool t aan.

Na  tP = ℓ/v sec zal de waarnemer P die zich achterin de trein OP op de plaats +  meter bevindt de waarnemer A passeren.
De waarnemer bij klok P kan de waarnemer bij klok A een high five geven. Dit is een belangrijk gegeven want daarmee wordt duidelijk dat de ontmoeting een fysische realiteit is, een puntgebeurtenis. Naast het feit dat iedere waarnemer het fysische feit van de handen die tegen elkaar slaan, kunnen waarnemen, zullen zij ook het tijdstip op de klokken van zowel P als van A kunnen waarnemen. Daarmee is de gebeurtenis voor iedereen dezelfde puntgebeurtenis. . 
De klok van P laat de tijd tP = ℓ/v  sec zien omdat A op het tijdstip t = 0 het punt O passeerde met de snelheid v . De klok van A moet dan de kleinere tijd tA = tP/γ  lorentzsec vertonen. 
In het tijdlijnendiagram is duidelijk te zien dat de tijd op dat moment van A onder de tijd van P ligt terwijl deze op t =0  nog gelijk waren.


Op grond van symmetrie overwegingen mogen we stellen dat volgens een neutrale waarnemer de punten B en O aan de linker eindpunten van de treinen elkaar op dat moment ook passeren op een plaats die meter van het ontmoetingspunt van A en P afligt en dat de klokken in B en O  dezelfde tijden vertonen als de klokken in A en P . 

Ø         De neutrale waarnemer beweegt zodanig dat hij de treinen even snel,  
        praktisch ½v m/s,
in   tegengestelde richtingen ziet passeren. 
Ø         Ga vooral niet twijfelen over de lengte meter van de treinen want we hebben al  aangetoond dat er geen Lorentzcontractie bestaat. 


Blad 28

 

Waarnemers O en B zullen elkaar volgens de neutrale waarnemer gelijktijdig met de waarnemers A en P een high five geven. Uit onze 'grondwet' volgt dat de neutrale waarnemer op de klokken van P en A ook de tijden tP = ℓ/v sec en tA = tP/γ  sec moet aflezen.  
Uit de symmetrie volgt nu dat op de klok B de tijd tB = ℓ/v sec en op de klok O de tijd t0 = tB/γ  sec moet zijn af te lezen.

De neutrale waarnemer constateert dus op dat moment de volgende tijden op de klokken [1]:

Ø         op de klokken van P en A respectievelijk tP= ℓ/v sec én   lorentzsec

Ø         op de klokken van B en O respectievelijk tB = ℓ/v  sec én   lorentzsec

In stelsel O vinden we de tijden  sec en tP = ℓ/v  sec en in stelsel A de tijden  sec  en tB = ℓ/v sec op een moment dat voor de neutrale waarnemer gelijktijdig is.  

De vraag is wat we daarmee moeten: twee verschillende tijdstippen in één stelsel.
De betekenis daarvan is dat we de voorpunt en de achterpunt van de bewegende trein niet op hetzelfde moment waarnemen in hun stelsel. Als we naar de achterpunt kijken, bevindt de trein in zijn geheel zich al iets verder dan wanneer we naar de voorpunt kijken. Daardoor lijkt het alsof de trein korter is geworden maar dat is schijn (zie ook §8).

Uit de tijden blijkt ook dat men in stelsel A vindt dat de ontmoetingen bij A respectievelijk B niet gelijktijdig [II] plaatsvinden en in stelsel O geldt dit voor de punten O en P . 
In stelsel A vindt men dat de ontmoeting bij B later plaatsvindt dan bij A, namelijk met een verschil van tB tA = ℓ/v –(1/γ).ℓ/v ≈ ½(v2/c2).ℓ/v sec . In die tijd zal B zich over een afstand van ½(v2/c2).ℓ meter hebben verplaatst in de richting van A .  
Vanuit P vindt men dat de ontmoeting bij O eerder plaatsvond dan bij P met hetzelfde tijdsverschil. Daarmee vindt men dat O zich toen ook op een afstand van  ½(v2/c2).ℓ meter dichter bij P bevond. 
Op die manier konden B en O elkaar toen toch een high five te geven.

De conclusie is dat we dit probleem helder en overtuigend met de tijdlijnendiagrammen kunnen beschrijven.


[1] Misschien aardig om te weten: de tijd in het punt S halverwege is TS =  sec  

[II1] Einstein wees met zijn beroemde voorbeeld van de 'gelijktijdige' blikseminslag in de voor  en achterpunt van een rijdende trein  eveneens op deze relativiteit van de gelijktijdigheid 

____________________________________________________________________________________

 

 Blad 29

 13.            Het additietheorema

We zullen een tweede voorbeeld geven van het gebruik van het tijdlijnendiagram. Met dit diagram kunnen we namelijk vrij gemakkelijk het  "additietheorema" afleiden.
Onder de naam "het additietheorema" leidde Einstein (lit 2) de somformule voor twee snelheden af .De vraag daarbij is welke snelheid ten opzichte van ons een voorwerp heeft dat een snelheid w  heeft ten opzichte van een object dat zelf weer een snelheid v heeft ten opzichte van ons.
Anders gezegd: het gaat om de snelheid van een voorwerp dat zich met een zekere snelheid w m/s beweegt in een stelsel-in-beweging dat zich met een snelheid van v m/s beweegt.

We weten dat vanuit het stelsel-in-rust gezien er een tijdsafname bestaat in het stelsel-in-beweging naar het voorste punt toe van v.ℓ/c2 sec over een afstand meter. De voorste klok loopt achter.
Voor een gewoon object dat zich met de snelheid w beweegt in het stelsel-in-beweging levert dit een kortere tijdsduur op, immers over een lengte vindt volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust door het verloop van de tijd (de voorste klok loopt achter) een tijdsafname plaats van vℓ/c2 lorsec  en het voorwerp legt de afstand af in ℓ/w lorsec dus is er een tijdsnelheidsvertraging als gevolg van de verplaatsing gelijk aan het quotiënt vw/c2 sec/sec .

 Blad 30

 

14.     Discussie

 

Uit de hier gepresenteerde aanscherping van de speciale relativiteitstheorie blijkt dat de theorie een weeffout vertoont die we er na honderd jaar eindelijk uithalen. Symptomen van de fout zijn de bekende paradoxen zoals de ladder-en-schuurparadox. Het moet gezegd dat het probleem diep zat verstopt in een stukje natuurkunde dat door velen wordt gezien als het deel van de relativiteitstheorie waar het menselijk voorstellingsvermogen tekort schiet.

Toch hebben we het boven water kunnen krijgen door de afleiding die Einstein in zijn artikel van 1905 gaf nog eens nauwgezet over te doen. We vonden een belangrijke fout in zijn afleiding die grote gevolgen heeft voor ons fysische wereldbeeld .
Op zijn beschouwingen over de tijd - die uitmondden in de tijdformule - en de conclusie dat de tijd vertraagd kan zijn, is niets aan te merken, echter bij zijn overwegingen omtrent de lengte van een bewegend voorwerp liet hij steken vallen.
We ontdekten dat Einstein voor de tijdsduur die een lichtstraal nodig heeft om zich tussen twee punten in het stelsel-in-beweging te verplaatsen abusievelijk de tijden op de klokken van het stelsel in rust gebruikte waar hij de tijden van de klokken in het stelsel-in-beweging had moeten gebruiken. 
Door deze vergissing moest hij de Lorentzcontractie voor de lengte van een object in het stelsel-in-beweging te hulp roepen om zijn theorie sluitend te krijgen.

Door echter uit te zoeken welke rol de tijd speelt bij het bepalen van de lengte van een object in een bewegend stelsel hebben we kunnen aantonen dat de Lorentzcontractie overbodig is om tot het juiste resultaat te komen.
We hebben laten zien dat de transformatie van de plaats naar het stelsel-in-beweging niet een transformatie van de lengte betreft maar de transformatie van een afgelegde afstand. Daarbij blijven de afmetingen van de elementen die samen het stelsel-in-beweging vormen buiten schot.
We geven ook via een formule aan die de Lorentztransformatie van de plaats vervangt   hoe de plaats van een punt in het stelsel-in-beweging wordt gevonden. Hierbij moet de eenheid van lengte in het stelsel-in-beweging in dezelfde mate als de eenheid van tijd groter worden genomen als in het stelsel-in-rust. Dit hebben we de lorentzmeter en de lorentzsec genoemd.
De  uitkomst die met de formule wordt gevonden, is dezelfde als de plaats die de waarnemers in het stelsel-in-beweging zelf waarnemen. Hiermee wordt een gelijkwaardigheid bereikt tussen de transformatie van de plaats en de transformatie van de tijd.

 

Blad 31



Voor de praktijk is het interessant dat een identieke gebeurtenis van een afgelegde afstand door het bewegende stelsel leidt tot een γ2 keer grotere afstand in het stelsel-in-rust voordat dezelfde gebeurtenis is volbracht. Hierbij mag γ ook worden gezien als de factor waarmee de tijd door een versnellingsveld trager is dan in het stelsel-in-rust. Het resultaat is eenvoudig toe te passen voor de berekening van de perihelium precessie van Mercurius.
Met de theorie van Einstein kunnen weliswaar dezelfde resultaten worden verkregen als in onze verbeterde theorie omdat de vertraging van de tijd met de factor γ  tezamen met de verkorting van de lengte van een afstand met de factor γ ook tot een γ2 keer grotere afgelegde identieke afstand leidt , maar natuurkundig gezien, is Einsteins theorie hier onjuist.

Het verwerpen van de Lorentzcontractie vormt een belangrijke stap voor de natuurkunde want de aethertheorie kan nu definitief aan de kant worden gezet. Einstein toonde weliswaar aan dat er geen eigenschappen van de ruimte in de vorm van een zeer ijl gas, de aether, waarmee deze gevuld zou zijn nodig waren om het gedrag van licht in de ruimte te verklaren maar hij pakte de aethertheorie er direct weer bij voor zijn afleiding van de afbuiging van licht en het gedrag van Mercurius. Hij noemde het ditmaal geen aether maar 'gekromde ruimte'. Het zal duidelijk zijn dat het toekennen van eigenschappen aan de ruimte een nieuwe variant van de aethertheorie is . 
De recent opgemeten zwaartekrachtgolven worden dan ook onterecht als 'rimpelingen van de ruimte' omschreven: het zijn echter rimpelingen in de tijdsnelheid.

Onze nieuwe inzichten hebben gevolgen voor onze kijk op het universum. Er is rond het vermeende verschijnsel van de Lorentzcontractie een fantasierijk wereldbeeld ontstaan waarbij de baan die een lichtstraal of een object in het universum volgt, wordt gestuurd door de kromming van de ruimte zelf. Uiteindelijk is zelfs de oerknal het resultaat van de Lorentzcontractie. Wiskundig gezien is het ruimte/tijd model met Lorentzcontractie succesvol, natuurkundig gezien, snijdt het geen hout.  

Nu we hebben aangetoond dat de Lorentzcontractie op een gedachtefout van Einstein (en zijn vele volgers) berust, valt de bodem weg onder het begrip 'gekromde ruimte'.
Men kan de ontstane leemte in de kosmologische theorieën echter opvullen door het dynamische gedrag van objecten en velden in de ruimte op te vatten als een gevolg van de gradiënt in de tijdsnelheid ter plekke. Het verschil in tijdsnelheid kan dan als de natuurkundige oorzaak van de bewegingen in de ruimte worden beschouwd. 
Wat als oorzaak kan worden gezien van deze verschillen in tijdsnelheid is de nieuwe uitdaging voor de natuurkundigen die samenvalt met de vraag: "Wat is zwaartekracht?"

 

Blad 32

15.   Literatuur  

1                    Dorrestijn H J 2016  "Een Kritische Blik op Einsteins Relativiteitstheorie",  Filosofie  2, p.44; Antwerpen Garant Uitgevers

2                     Einstein A 1905 "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik 17, p.891          (zie de vertaling op www.einsteingenootschap.nl).

3                     Einstein A 1916 "Die Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie",  Die Annalen der Physik 49, p. 822 (gedeeltelijk vertaald zie website "Einsteingenootschap").

4                    Einstein A 1918 "Dialog über Einwände gegen die Relativitätstheorie", Die Naturwissenschaften 48, p.697 (zie vertaling als "De tweelingparadox" op de website "Einsteingenootschap")

5                    Dorrestijn H J 2015 Op het Spoor van de Tijd  (Den Haag ISBN 9789087595289)

6             Dorrestijn H J 2018 "De Lorentzcontractie is een Artefact in de relativiteitstheorie" (zie de website "Einsteingenootschap")  

7             Dorrestijn H J 2018 "Het Klokkenpostulaat", (zie de website "Einsteingenootschap") 

 

                Naar het begin