Einsteins Uitglijder

 Naar index

Een uitglijder van Einstein die de grootste natuurwetenschappelijke dwaling van
de afgelopen eeuw inluidde

 

Henk Dorrestijn
januari 2018
  

 

Samenvatting  

Bij de uitwerking van zijn theorie voerde Einstein de Lorentzcontractie in waarmee hij onbewust de aethertheorie nieuw leven inblies. De gekromde ruimte is namelijk zonder meer als een variant op de aethertheorie te beschouwen. Een nauwgezette herhaling van zijn afleiding van de Lorentztransformatieformule voor de tijd brengt ons op hetzelfde resultaat, maar in de afleiding van de transformatieformule voor de Xcoördinaat maakte Einstein een gedachtefout. We wijzen de fouten aan die Einstein maakte en we laten zien dat de Lorentzcontractie voor bewegende objecten daardoor onnodig is. Het blijkt dat alle verschijnselen die tot nu toe als een samenspel van tijdvertraging en Lorentzcontractie worden gezien, volledig kunnen worden toegeschreven aan de tijdvertraging.
De interpretatie van de Lorentztransformatie
formules dient te worden herzien, waarbij het begrip  'afgelegde afstand' een belangrijke rol moet krijgen. Alle resultaten ten aanzien van de dynamica die Einstein ons met zijn algemene relativiteitstheorie kon voorleggen, blijken probleemloos met de hier gepresenteerde aangepaste speciale relativiteitstheorie te kunnen worden verkregen.  

 

Inhoud  

  1. Inleiding  blz. 2
  2. Filosofische uitgangspunten  blz. 3
  3. De klokkentest in een bewegend stelsel  blz. 5
  4. Plaats en tijd in het stelsel-in-beweging  blz. 6
  5. De tijdfunctie  blz. 7
  6. De berekening van de integratie constante  blz. 9
  7. De gevolgen van de tragere tijdsnelheid  blz. 11
  8. En Einstein creëerde de Lorentzcontractie  blz. 14
  9. De plaatsfunctie  blz. 16
  10. Het tijdlijnendiagram  blz.17
  11. De tijd en de plaats in het stelsel-in-beweging  blz. 20
  12. Discussie  blz. 21
  13. Literatuur  blz. 23

 

Blad 2

1.     Inleiding  

De relativiteitstheorie van Einstein staat na ruim honderd jaar nog steeds fier overeind.
Toch hoort men regelmatig bekende wetenschappers verzuchten dat onze menselijke geest tekortschiet om ons een voorstelling te maken van de vierdimensionale ruimtetijd die in de theorie zo'n belangrijke rol speelt. Aansluitend wordt de genialiteit van Einstein de hemel in geprezen zodat deze wetenschapper die het 'niet begrijpt ' zich gelukkig mag prijzen tot de normale mensen te behoren. Einstein was een buitencategorie.  

Het probleem waar de wetenschapper mee worstelt wordt veroorzaakt door het feit dat de gevestigde wetenschap nog steeds met één been in de aethertheorie staat. Dat zit zo:
Einstein heeft aangenomen dat de lichtsnelheid voor iedere waarnemer, wat zijn bewegingstoestand ten opzichte van de lichtbron ook mag zijn, dezelfde, constante waarde heeft en hij heeft daarmee wat betreft de voortbeweging van het licht in de ruimte de aether als tussenstof overbodig gemaakt. Met de constante lichtsnelheid kon hij de resultaten van Michelson en Morley, maar ook van Fizeau en anderen, verklaren.
Dit gaf Einstein de overtuiging dat hij de aethertheorie de doodsteek had toegebracht maar onbewust heeft hij via een achterdeur de aethertheorie weer binnengehaald. Bij de uitwerking van zijn  theorie heeft hij namelijk de contractie van de 'ruimte' van een bewegend stelsel geïntroduceerd. Daarbij betreft de contractie niet alleen de ruimte maar ook ieder natuurkundig object dat zich in die bewegende ruimte bevindt. Dit wordt de  Lorentzcontractie genoemd. Deze contractie ligt aan de basis van het begrip 'gekromde ruimte'.
In eerste instantie heeft Einstein dus de uiterst ijle substantie 'aether' uit de ruimte verwijderd, om vervolgens aan de ruimte zélf fysische eigenschappen te geven. De ruimte werd door hem gevuld met een stof die kon krimpen of uitzetten.
Dit is zonder meer een nieuwe vorm van de aethertheorie.  

Deze stof heeft als eigenschap dat het een uiterst star materiaal is dat slechts bij heftige kosmische gebeurtenissen, zoals van botsende sterren, tot een meetbare trilling kan worden gebracht. Zoals een hoogleraar (lit 1)  het omschreef  "de stijfheid van die ruimtetijd is vergelijkbaar met die van een dikke stalen plaat" (sic!).  

Hoewel uit kringen van belangstellenden in de relativiteitstheorie talloze signalen werden en worden afgegeven over de fysische onbegrijpelijkheid van de Lorentzcontractie heeft de gevestigde wetenschap ieder kritisch geluid opgevat als een laaghartige aanval op de geniale theorie van Einstein die slechts hooghartig kon worden gepareerd door te wijzen op de wiskundige complexiteit van de theorie.
In een artikel over de Lorentzcontractie (lit 2) heb ik op filosofische gronden aangegeven waarom de Lorentzcontractie onjuist moet zijn. Uit wetenschappelijke kring wordt daarop niet gereageerd, er heerst een volstrekt stilzwijgen als tegenover de afvallige van een sekte.  

In de volgende paragrafen zullen we de fouten aanwijzen in het artikel van Einstein (lit 3) waarin de grondslag werd gelegd voor de speciale relativiteitstheorie en waarin hij door deze fouten gedwongen was de Lorentzcontractie er bij te slepen om de theorie rond te krijgen.

Blad 3

2.     Filosofische uitgangspunten  

Einstein heeft op verschillende plaatsen zijn relativiteitstheorie een filosofische grondslag trachten te geven. Hij refereerde met name aan het causaliteitsprincipe (oorzaak en gevolg) om zijn algemene relativiteitstheorie te onderbouwen (lit 4 p.772). Toch is dat wat mager voor een theorie die ons wereldbeeld drastisch heeft veranderd. We zullen in de volgende verhandeling enkele natuurfilosofische gedachten formuleren die aan de natuurkundige theorie vooraf moeten gaan.
Te beginnen met het uitgangspunt dat er een natuurkundige werkelijkheid bestaat. We kunnen deze  definiëren als de met elkaar overeenstemmende beschrijving van alle waarnemers onafhankelijk van de bewegingstoestand waarin zij verkeren van een natuurkundige gebeurtenis die ergens plaatsvindt.
Bijvoorbeeld een gebeurtenis als het omvallen van een rij dominostenen waarbij de laatste een schakelaar in werking zet waardoor een glas water omvalt en er een plas water op de vloer ontstaat, zal door elke waarnemer op dezelfde wijze worden beschreven. Een passerende wandelaar, een passagier in een trein of een kermisgast in een achtbaan, kortom elke waarnemer die de gebeurtenis van begin tot eind onbelemmerd kan waarnemen, zal voor een buitenstaander dezelfde gebeurtenis beschrijven inclusief de plas water. Mocht er een waarnemer zijn die beweert dat een deel van de  gebeurtenis niet heeft plaatsgevonden zoals de anderen deze beschrijven, dan zal hem worden gevraagd te verklaren hoe de plas water dan op de grond is gekomen. Als hij zelfs ontkent dat er water op de grond ligt, zal hij als waarnemer niet serieus worden genomen: "Iedereen ziet toch dat er water op de grond ligt!" Het is essentieel voor de fysica dat verschillende waarnemers van een natuurkundige gebeurtenis eenzelfde beschrijving geven.
Deze overeenstemming heeft echter ook zijn keerzijde. Wanneer de gevestigde wetenschap  beweert 'waar te nemen' dat de aarde plat is, zal een waarnemer die het anders ziet, worden weggehoond. Hij staat voor de taak andere waarnemers voor zijn visie te winnen. Hij zal hen de feiten voor ogen moeten houden en hen met argumenten moeten bestoken. Alleen wie dat tot een goed einde brengt, levert een bijdrage aan de ontwikkeling van de wetenschap.
Zo deed Einstein begin vorige eeuw in zijn "Dialoog" alle mogelijke moeite (lit 5) om de "Criticasters" zoals hij ze noemde  van zijn relativiteitstheorie te overtuigen.  

In het voorliggende artikel zullen we met evenveel verve de "Ontkenners" ervan trachten te overtuigen dat op basis van de natuurkundige werkelijkheid een kleine verbetering van de relativiteitstheorie noodzakelijk is. De kleine verbetering het verwerpen van de Lorentzcontractie heeft echter grote gevolgen voor ons wereldbeeld van 'ruimtetijd'.  

We zullen een natuurkundige gebeurtenis definiëren als een verandering gedurende een zekere tijdsduur van een herkenbare toestand naar een nieuwe herkenbare toestand van een verzameling materiële[1] objecten. De 'herkenbaarheid' bestaat er uit dat alle in aanmerking komende waarnemers dezelfde markante elementen van een toestand kunnen waarnemen.  

Een bijzondere natuurkundige gebeurtenis is de 'tijdsduur' zelf die op een object verloopt. Deze gebeurtenis kan worden waargenomen op een af te lezen klok op het object. Omdat de tijdsduur een natuurkundige gebeurtenis is, moet de aanwezigheid van een voorwerp in samenhang met de tijdsduur op zichzelf ook een natuurkundige gebeurtenis zijn. Een steen die in alle rust in het landschap ligt, vertegenwoordigt dus een natuurkundige gebeurtenis zolang je hem waarneemt!
 

[1] Men zal zich afvragen waarom uitsluitend materiële objecten worden genoemd terwijl toch allerlei 
krachten en velden ook een rol in de natuurkunde spelen. Dit is omdat de rol die zij spelen pas herkenbaar 
wordt aan de effecten op de materie waarmee zij in wisselwerking zijn.
_____________________________________________________________________________________

 

Blad 4

Onder een stelsel verstaan we alle materiële punten die zich ten opzichte van elkaar niet bewegen noch een verschillende versnelling ondervinden.
Onder een stelsel-in-rust verstaan we het stelsel van waaruit een bewegend stelsel wordt waargenomen.
Een stelsel-in-beweging is een stelsel dat ten opzichte van het stelsel-in-rust een zekere snelheid heeft.  

Uit symmetrie overwegingen mogen we stellen dat de grootte van de snelheid over en weer gelijk is tussen het stelsel-in-rust en het stelsel-in-beweging.  

De constante lichtsnelheid heeft tot gevolg dat een klok in een bewegend stelsel afhankelijk van de snelheid waarmee het stelsel beweegt langzamer loopt dan de klokken van de waarnemers die het bewegende stelsel waarnemen. Het fascinerende hiervan is dat de achterlopende klok juist vóór moet lopen als we ons naast de bewegende klok opstellen. Dan zijn we van stelsel verwisseld. We komen daar uitgebreid op terug.  

We zullen altijd met identieke klokken werken, dat zijn klokken die als ze naast elkaar worden geplaatst even snel lopen.
Omdat de (identieke) klokken in het stelsel-in-beweging langzamer lopen, verlopen de gebeurtenissen in het stelsel-in-beweging met een tragere tijdsnelheid.  Hieraan wordt de Lorentzfactor   gekoppeld: de tijd in het stelsel-in-beweging gaat γ sec/sec keer zo traag als in het stelsel-in-rust. Wij beperken ons tot v << c zodat γ weinig van één verschilt.  

De fysische gebeurtenis zoals het eenmaal rondgaan van de lange wijzer over de wijzerplaat van een klok zal voor verschillende waarnemers met verschillende snelheden ten opzichte van die klok volgens hun eigen klok meer tijd in beslag nemen. Het is weliswaar een identieke gebeurtenis maar op het moment dat volgens de waarnemer de lange wijzer van zijn eigen klok éénmaal de wijzerplaat heeft doorlopen, is de lange wijzer van de klok die wordt waargenomen, nog niet zover. Een gebeurtenis in een stelsel-in-beweging wordt met een tragere tijdsnelheid uitgevoerd, maar het blijft de identieke gebeurtenis.  

Een verhelderend begrip is de puntgebeurtenis. Dit is een gebeurtenis op één plaats op één tijdstip. Een botsing of een lichtflits. Voor de ene waarnemer zal een puntgebeurtenis volgens zijn stelsel op een ander tijdstip en op een andere plaats plaatsvinden dan volgens de andere waarnemer.  

Wanneer een waarnemer een voorwerp met een snelheid van v m/s ziet passeren, bestaat de gebeurtenis die daarmee samenhangt volgens hem na t sec uit de afgelegde afstand van v.t meter in zijn stelsel plus de tijdsduur t op de klokken in zijn stelsel. Op dat moment laat de klok op het bewegende voorwerp een tijd zien van t* = t/γ sec. Dan is de afgelegde afstand volgens het stelsel-in-beweging gelijk aan v.t* = v.t/γ meter. Ogenschijnlijk is dat minder dan volgens de eerste waarnemer. Hoe dat kan? Daar komen we op terug.

 

Blad 5

Welke identieke gebeurtenis moet de (bewegende) waarnemer die zich bij het voorwerp bevindt, hieraan toekennen? Deze bevindt zich in stilstand ten opzichte van het voorwerp. Er gebeurt daar niets behalve dat de klok tikt. De tijdsduur t* is het enige dat hij als gebeurtenis kan aanvoeren.
Omdat t en t* van elkaar verschillen, hebben de waarnemers met verschillende gebeurtenissen te maken. Pas als t* = t kan de bewegende waarnemer over dezelfde gebeurtenis spreken als de waarnemer in het stelsel-in-rust. Dit betekent dat het stelsel-in-beweging tot het tijdstip  γ.t sec moet voortbewegen voordat de waarnemer in dat stelsel de identieke gebeurtenis ervaart.  

Een speciale plaats neemt de  wederzijdse gebeurtenis in. Dat is een afgelegde afstand van het stelsel-in-beweging in het stelsel-in-rust. Deze gaat gepaard met een afgelegde afstand van het stelsel-in-rust in het stelsel-in-beweging . Voor een identieke gebeurtenis moet de tijdsduur volgens de eigen klok even lang zijn.  We zullen nog zien dat de afgelegde afstand  in het stelsel-in-rust voor een identieke gebeurtenis volgens het stelsel-in-beweging γ2 keer groter moet zijn dan de afgelegde afstand die volgens het stelsel-in-rust is afgelegd. Dit verrassende resultaat wordt in  paragraaf 7 afgeleid.
 

3.     De klokkentest in een bewegend stelsel  

Einstein wees in het begin van zijn artikel over de speciale relativiteitstheorie  (lit 3 p.894) op het belang van gelijklopende, identieke klokken. Hij deed ons een methode aan de hand om te testen of twee klokken A en B in een stelsel op een vaste afstand AB van elkaar, gelijklopen.
De twee klokken lopen dan namelijk gelijk als de tijdsduur sec voor het licht om de heenweg af te leggen gelijk is aan de tijdsduur  sec om de terugweg af te leggen.

Hiermee creëerde hij drie puntgebeurtenissen.

Er geldt dus voor het tijdstip tA het moment dat de puls wordt verzonden uit A   en het moment tB dat de puls in B wordt teruggekaatst en het tijdstip tA' dat de puls weer in A terugkomt (fig.1) de relatie:

of

                                                                       (1)

 Het tijdstip tB ligt dus voor gelijklopende klokken precies halverwege de tijden van vertrek en aankomst in A.
Dit lijkt een vanzelfsprekendheid, deze klokkentest, maar voor het begrijpen van de speciale relativiteitstheorie  is deze van eminent belang. Einstein bewees hiermee (lit 4, p 902) dat een klok op een bewegend voorwerp langzamer moet lopen.  

Einsteins wijze van theorievorming die ten grondslag ligt aan de relativiteitstheorie wordt veelal uitbundig geprezen. Vanuit de aanname van de constante lichtsnelheid leidde hij wiskundig de coördinatentransformaties af. Hij voerde de klokkentest als gedachte-experiment uit op twee met de constante snelheid v m/s voortbewegende klokken. We denken daarbij vaak aan twee klokken in een rijdende trein (fig.1). Dat ging als volgt:
Een lichtpuls gaat van A naar B en wordt in B gereflecteerd naar A. Voor een waarnemer die zich in de trein bevindt, vraagt dat   sec. Dat is de tijd die hij afleest op zijn klok.

Blad 6

De tijdsduur wordt door zowel waarnemers in de trein als waarnemers op de grond met behulp van de klokken uit hun eigen stelsel bepaald. Voor de waarnemers op de grond  die het experiment in het bewegende stelsel gadeslaan, beweegt de lichtpuls ook met de snelheid c van A naar B en terug, maar zij zien dat het punt B zich intussen met de snelheid v verplaatst. De afstand die de puls op de heenweg moet overbruggen is dan groter dan AB . We kunnen uitrekenen op welke plaats B zich bevindt als de puls hem inhaalt, maar voor de berekening komt het op hetzelfde neer om voor de snelheid van de puls ten opzichte van de punten A en B de waarde (c - v)  m/s te nemen. De lichtsnelheid blijft c.
Op de terugweg is de afstand die de puls moet overbruggen juist kleiner dan AB. Voor de snelheid op de terugweg kunnen we om dezelfde rekenkundige redenen de uitdrukking
(c + v) m/s gebruiken.
De analyse in de volgende paragrafen laat zien dat de tijdsduur voor de heen en weergaande beweging op de klokken van de waarnemers op de grond groter is dan de tijdsduur op de klokken van de waarnemers in de trein! De klokken van de grondwaarnemers moeten dus sneller hebben gelopen dan de klokken van de waarnemers in de trein.
De waargenomen gebeurtenis vraagt meer tijd [1]  volgens de klokken van de grondploeg dan volgens de klokken van de ploeg in de trein. Je zou dat kunnen billijken want voor de grondploeg is het meer dan één gebeurtenis: de heen en weergaande lichtstraal en ook nog de verplaatsing van de trein.
De tijd speelt hier overigens een ondoorgrondelijke rol want beide klokploegen ervaren niets van een snellere of langzamere tijd, voor hen is het gewoon de tijd voor de gebeurtenis.

4.     Plaats en tijd in het stelsel-in-beweging

De relatie tussen de tijd en de plaats van de eigen klok in het stelsel-in-rust en de tijd en plaats van de passerende klok in het stelsel-in-beweging werd door Einstein als volgt gevonden. Hij voerde twee coördinatenstelsels in:
Ø        
het coördinatenstelsel in het stelsel-in-rust met de coördinaten (x ,y, z, t), en
Ø        
het coördinatenstelsel in het stelsel-in-beweging met de coördinaten (ξ, η, ζ, τ).
Ieder punt in de ruimte bevindt zich altijd in beide stelsels tegelijk en ook een bewegend object houdt zich altijd in beide stelsels tegelijk op. Iedere plaats waar het object zich op zeker tijdstip bevindt, krijgt daarom in de twee verschillende stelsels een verschillend viertal  coördinaten mee.

[1] De waarnemers in een stelsel kunnen de klokken van de waarnemers in het 
andere stelsel gewoon aflezen en het langzamer lopen van de klokken controleren.
_____________________________________________________________________________________

 

Blad 7

Het is nu de kunst om de formules te vinden die het mogelijk maken uit de set coördinaten    (x,y,z,t)     het viertal coördinaten  (ξ,η,ζ,τ)   te vinden.
Dit wordt een coördinatentransformatie genoemd.  

Omdat de constante beweging langs de Xas plaatsvindt, nemen we samen met Einstein[1] zonder bewijs aan dat de waarden van de coördinaten in de Yrichting en de Zrichting niet veranderen,   dus η = y  en  ζ = z . 

Om de plaats ξ en de tijd τ in het met de snelheid v bewegende stelsel te vinden als de tijd t en de plaats x in het stelsel-in-rust bekend zijn, paste Einstein de klokkentest toe op twee klokken A en B in het stelsel-in-beweging. We zullen zijn berekening exact volgen en controleren.
Op het moment dat A de oorsprong O van het stelsel-in-rust passeert (fig.1)  vertrekt uit A een lichtpuls naar het punt B. Voor dat moment gelden de beginvoorwaarden in het stelsel-in-rust x = 0 en t = 0 en in het stelsel-in-beweging ξ = 0 en τ = 0 . Het punt A vormt de oorsprong van het bewegende stelsel. Voor het punt B geldt in dit stelsel ξB = AB = ℓ meter. We zullen het stelsel-in-rust ook wel stelsel O en het stelsel-in-beweging stelsel A noemen.  

Op welk tijdstip t bereikt de puls volgens een waarnemer in het stelsel-in-rust het punt B? Einstein ging er van uit dat de (bewegende) afstand AB voor de waarnemer in het stelsel-in-rust mogelijk niet de lengte heeft. Hij noemt deze lengte x'.  
Er geldt dan voor de plaats van B in het stelsel-in-rust xB = x' + v.t. . 
We kunnen ook schrijven x' = xB
v.t  meter  [2].  Op het tijdstip t = 0 geldt dus xB = x' meter.

 5.     De tijdfunctie

 In het bewegende stelsel A geldt de formule (1) voor gelijklopende klokken uitgedrukt in de tijd τ  van het stelsel A:  ½(τA'+τA) = τB                                                                           (1A)
Hierbij is de tijdcoördinaat τ  een functie van de coördinaten (x,y,z,t)  van het stelsel-in-rust. Logisch want we willen de tijd op een plaats in stelsel A weten als we de coördinaten inclusief de tijd van die plaats in stelsel O kennen.
Om de formule af te leiden, moeten we de tijd en de plaats van de drie puntgebeurtenissen in het stelsel-in-rust gebruiken. We vinden de volgende drie tijdstippen:  

Ø         Het 1ste  tijdstip in het stelsel-in-rust toen de lichtpuls uit A vertrok, is tO =  0 sec.

Ø         Het 2de  tijdstip waarop de puls in B aankomt, is gelijk aan:  sec.

Ø         Het 3de  tijdstip, de terugkomst in A' , is:    sec.                                (2)

Op die tijdstippen zijn de drie plaatsen in het stelsel-in-rust eveneens bekend:  

Ø         De 1ste  plaats in het stelsel-in-rust is de oorsprong O op  xO = 0 meter, want op  tO = 0 vertrok de puls uit O .

Ø         De 2de  plaats is die van het punt B na  sec, dus
   meter, want op dat tijdstip werd de puls in B teruggekaatst.

Ø         De 3de  plaats is die van het punt A' na tA' sec:  meter, want op dat moment kwam de puls terug in A.

[1] Hierbij sluiten we dus op voorhand iedere vorm van Lorentzcontractie in die richtingen uit. Voor een
bewijs dat Lorentzcontractie in de dwarsrichting niet bestaat, zie (lit 6, p.29) .
[2]
Einstein maakt bij de berekening van de tijdfunctie een overbodige tussenstap door eerst met het
punt x' als oorsprong een nieuw coördinatenstelsel te laten meebewegen.
______________________________________________________________________________________

Blad 8

Formule (1A) schrijven we concreter op als:

  .

 We kunnen nu de gevonden coördinaten (x, t)  van de 3 puntgebeurtenissen invullen:

          (3)

 Deze uitdrukking kunnen we als een totale differentiaal zien als x' niet te groot is:                    

 

Bedenk dat algemeen geldt:

 We kunnen nu vergelijking (3) met behulp van partiële differentiaties uitwerken.  
Voor de eerste term in het linker lid geldt:

=  
 en voor de term in het rechter lid geldt:                                                                              

 =                                               

 Invullen in (3) geeft:

, dus

, waaruit volgt

.

Dit leidt tot  

 Als x'  klein is,  kunnen we in de rechter term de afgeleide naar x lezen in het punt (0,0) :

 

waarbij  . Dus

Blad 9

     of 

  dus

Hieruit rolt na enig gepuzzel de oplossing:     sec [1].

Waarin a een integratieconstante is.
 

6.     De berekening van de integratieconstante.

 De berekening van a doen we net als Einstein via een beschouwing over het gedrag van de tijd in de Yrichting. We zullen hem opnieuw  berekenen wegens onze gewijzigde aanpak.
We gebruiken de klokkentest, maar nu voor klokken langs de Yas:  
  
                                  ½(τA' + τA) = τB               
                                                (1A)

We laten een lichtpuls langs de Yas bewegen vanuit punt A naar een punt B dat zich op de afstand y0 bevindt en terug. Volgens de waarnemers in beide stelsels is de afstand tussen A en B gelijk aan y0 meter. Voor de waarnemers in het stelsel-in-beweging vliegt de puls rechtstandig op en neer. Voor de waarnemers in het stelsel-in-rust beschrijft de lichtpuls een driehoekige weg (fig.2).  

We mogen gebruikmaken van de zojuist gevonden formule voor de tijd  sec.

Volgens de waarnemers in het stelsel A is de tijdsduur over de heenweg  τB = y0/c   sec en over de terugweg hetzelfde. De retourtijd is dan τA'=2y0/c  sec.                                               (4)

 

 


[1] We zien dat de term x' uit de afleiding  verdwijnt, dus het tijdverloop
 is onafhankelijk van de waarde van x'. Einstein had gewoon de lengte kunnen  gebruiken.
______________________________________________________________________________________

 

Blad 10

Vanuit stelsel O gezien volgt de puls een schuine lijn van O naar B. De component van de snelheid in de Yrichting is gelijk aan:   m/s. De tijd die de puls er over doet om punt B te bereiken, is  sec. De tijdsduur naar A' is even groot.

De retourtijd wordt dan  = 2. γ y0 / c  sec.                           (5)

De retourtijd in de Yrichting duurt dus γ keer zo lang in het stelsel-in-rust als in het stelsel-in-beweging. Dit resultaat gebruiken we voor de berekening van a.  

Opmerking: Hier duikt de Lorentzfactor  op.  Er geldt  γ ≥ 1   .  

Door de Yrichting in de beschouwing te betrekken, hebben we nu met 3 coördinaten te maken: in het stelsel-in-rust (x, y, t ) en in het stelsel-in-beweging (ξ, η, τ).

We gaan weer uit van de beginwaarden t = τ = 0  en x = ξ = 0  en  y = η = 0 als de oorsprongen O en A samenvallen.

De functie voor de tijd τ wordt nu τ(x,y,t).  Dan krijgt formule (3) de vorm:

                         (3A)

De totale differentiaal voor de drie variabelen x, y en t wordt: .

De betekenis hiervan vinden we uit:

De eerste term in het linkerlid van (3A) kunnen we nu schrijven als:

 =        

Het rechterlid wordt:     

 =                           

Invullen en uitwerken levert:

 = , dus   .

De conclusie is dat , dus geldt τ = constant in een richting loodrecht op de
 bewegingsrichting. Dit in tegenstelling tot de tijd langs de Xas die een lineair verloop kent.

 Nu geldt voor een lichtpuls die in de Yrichting wordt afgevuurd: η = c.τ  meter. Met de functie die we voor τ hadden gevonden , wordt dit:  meter.

 

Blad 11

We kunnen t en x hier invullen, want we weten dat het punt y0 wordt bereikt op het tijdstip  sec. Dan is de plaats  meter. Daarmee vinden we voor η : .  

Maar η moet op dat moment gelijk zijn aan y0 , dus η = y0  . Uitwerken en delen door y0 geeft:

Hieruit volgt  a = γ met als resultaat, de tijdformule:   sec.                   (6)

Dit is de bekende Lorentztransformatieformule voor de tijd τ in het stelsel-in-beweging die Einstein in zijn artikel over de speciale relativiteitstheorie (lit 3 p. 902) presenteerde.
De  betekenis ervan is dat als op de plaats x in het stelsel-in-rust de tijd t op de klokken staat een klok uit het stelsel-in-beweging die op dat moment deze plaats passeert, de genoemde tijd τ  moet vertonen mits aan de beginvoorwaarden is voldaan.
Een willekeurige klok uit het stelsel-in-beweging die op het tijdstip t = 0 sec gelijk wordt gezet met de klokken uit het stelsel-in-rust en dus de tijd
τ = 0 vertoont, zal op het tijdstip t de plaats x = v.t bereiken, waardoor zijn tijd een waarde heeft van:

   
Hieruit zien we dat iedere klok in het stelsel-in-beweging langzamer loopt dan de klokken in het stelsel-in-rust met de factor γ. De tijd in het stelsel-in-beweging verloopt met een factor γ langzamer. De atomen draaien er langzamer, cellen in planten ontwikkelen zich er langzamer, kortom iedere identieke gebeurtenis die meebeweegt met het stelsel-in-beweging ontwikkelt zich langzamer dan in het stelsel-in-rust volgens de waarnemers aldaar.  

Een bijzonder gevolg hiervan is dat twee gebeurtenissen die zich op twee verschillende plaatsen in het stelsel-in-rust gelijktijdig voordoen door een waarnemer in het stelsel-in-beweging niet gelijktijdig kunnen worden waargenomen.

In de tijdformule , komt dat tot uiting via de term  sec.

 

7.     De gevolgen van de tragere tijdsnelheid

 Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust is de tijdsnelheid in het stelsel-in-beweging langzamer met de factor gamma  dan in hun eigen stelsel.

Wat is de betekenis hiervan?  

Het gaat er om dat een gebeurtenis in het bewegende stelsel die op de klok in het bewegende stelsel T sec duurt in het stelsel-in-rust γT sec duurt. De klok in het stelsel-in-rust lijkt dus sneller te lopen. Dat is gevoelsmatig lastig te begrijpen. We moeten echter bedenken dat deze metingen altijd gepaard gaan met een verplaatsing. Het bewegende stelsel staat niet stil! Dankzij deze verplaatsing wordt het mogelijk dat de waarnemers in het stelsel-in-beweging constateren dat net omgekeerd de klokken in het stelsel-in-rust juist de langzamer lopende klokken zijn. We zullen dat in § 9 verder verhelderen.


Blad 12

Wanneer een punt A van een stelsel-in-beweging, bijvoorbeeld een trein, na t sec een afstand = v.t meter heeft afgelegd van de oorsprong O tot een punt P in het stelsel-in-rust, staat op de klokken in het stelsel-in-rust uiteraard de tijd t sec, maar op de klok van A staat dan de tijd t/γ , want die klok loopt langzamer. In het stelsel-in-rust komt de tijdsduur t sec bijvoorbeeld overeen met een balletje dat omhoog wordt gegooid en weer terugkomt. Wanneer men gelijktijdig in het stelsel A ook zo'n balletje had opgegooid, is dat balletje nog niet terug op het moment dat A het punt P passeert. Het balletje is pas terug als op de klok in A ook de tijd t staat. Het balletje heeft er dan γ keer zo lang over gedaan. Het punt A heeft zich dan verplaatst tot γℓ meter in het stelsel-in-rust.
Uit symmetrieoverwegingen staat onomstotelijk vast dat de snelheid van het ene stelsel ten opzichte van het andere over en weer gelijk is. De afgelegde afstand als de klok t sec aangeeft, lijkt echter te verschillen.  
Dit verschil wordt veroorzaakt door het 'definiëren' van het stelsel-in-rust. Daarmee krijgt het stelsel-in-rust een andere plaats in het verhaal dan het stelsel-in-beweging. Een zogenaamde bevoorrechte positie. De klokken in het stelsel-in-rust lopen dan sneller dan de klokken in het stelsel-in-beweging. Daarmee lijkt een asymmetrie te worden ingevoerd want de afgelegde weg van het stelsel-in-beweging in het stelsel-in-rust na t sec op de klok in het stelsel-in-rust verschilt immers van de afgelegde weg van het stelsel-in-beweging in het stelsel-in-rust na t sec op de klok in het stelsel-in-beweging. Deze beschouwing is echter niet symmetrisch.
We krijgen de symmetrie terug door te kijken naar de afgelegde weg die het stelsel-in-rust na t sec op de klokken in het bewegende stelsel heeft afgelegd in dat stelsel.  Die is precies even groot als de afgelegde weg van het stelsel-in-beweging in het stelsel-in-rust na t sec op de klok in het stelsel-in-rust.
Het is als het kijken door een vergroot glas: als je van de ene kant kijkt is de andere kant vergroot maar als je van de andere kant kijkt, is deze kant vergroot.

Hoe kunnen we dit voor de bewegende stelsels omschrijven?
De oplossing zit er in dat vanuit het stelsel-in-rust gezien, de eenheid van tijd  in het stelsel-in-beweging een factor γ keer groter is dan in het stelsel-in-rust. Daarom geeft een klok minder seconden aan voor dezelfde tijd. De seconde geldt dus niet als eenheid in het stelsel dat we zien bewegen. We moeten gebruik maken van een tijdseenheid die γ keer groter is dan de seconde. Deze eenheid geldt alleen in een stelsel dat daadwerkelijk beweegt, dat wil zeggen dat het de tijdseenheid is die men in het stelsel-in-rust moet gebruiken om de natuurkundige gebeurtenissen in het stelsel-in-beweging te beschrijven.
Wanneer we de tijd daarin uitdrukken, wil ik over de Lorentztijd spreken. De bijbehorende  eenheid kan dan de 'Lorentzseconde'  afgekort tot Lsec worden genoemd.
Er geldt:  1 Lsec = γ  sec.

De tijdsnelheid in het stelsel-in-beweging is afgenomen, maar dat is het enige wat we aan het stelsel-in-beweging kunnen constateren. De snelheid van het stelsel blijft gewoon v m/s.
Als we de snelheid (= afstand gedeeld door tijd) met de Lorentztijd willen weergegeven dan moet ook de lengteeenheid γ keer zo groot worden. Het gaat hierbij om een lengteeenheid die voor de afgelegde afstand moet worden gebruikt. Een afgelegde afstand in die eenheid leidt in het stelsel-in-rust tot een γ keer grotere afstand.  

De grotere lengteeenheid zouden we de 'Lorentzmeter' afgekort tot Lmeter kunnen noemen. Er geldt:  1 Lmeter = γ  meter.

Dan volgt er uit voor de snelheid:  v Lmeter/Lsec = v m/s zodat de snelheid inderdaad over en weer gelijk blijft.
De afgelegde afstand door het bewegende stelsel wordt dan: 
v
  x t (Lmeter/Lsec).Lsec = v.t Lmeter.

De afgelegde afstand in deze eenheid, zou de Lorentzafstand kunnen worden genoemd.

 

Blad 13

Er geldt v.t Lmeter = γ.vt meter.
Daarmee vinden we op het tijdstip t/γ Lsec voor de afgelegde afstand van het stelsel-in-beweging in het stelsel-in-rust toch gewoon v.t meter.

Daarmee wordt recht gedaan aan onze natuurkundige intuïtie. 

Het is voor ons onderzoek van groot belang de identieke gebeurtenis van een afgelegde afstand in beide stelsels te bepalen. Voor deze identieke gebeurtenis geldt dat de tijdsduur in het stelsel-in-beweging uitgedrukt in Lorentzseconden even groot is als de tijdsduur in het stelsel-in-rust in gewone seconden. Omdat zowel de Lorentzsec als de Lorentzmeter γ keer zo groot zijn als de seconde en de meter, levert de identieke afgelegde afstand (= product van snelheid en tijd)  na t sec een γ2 keer grotere afgelegde afstand op voor het stelsel-in-beweging in het stelsel-in-rust dan de afgelegde afstand volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust na t sec is.

 Als bijvoorbeeld de oorsprong A na t sec een afstand heeft afgelegd in het stelsel-in-rust van v.t meter, dan laat de klok van A een tijdsduur van τ  = t/γ Lsec zien. Als vervolgens op de klok van A getalsmatig de tijd t staat, is de tijdsduur γ keer zo groot geworden. Op dat moment zal A de afstand γ.v.t  Lmeter hebben afgelegd. Omdat γ.v.t  Lmeter gelijk is aan γ2.v.t  meter  zal A zich in het stelsel-in-rust dan op de plaats γ2.v.t  meter bevinden.
Wanneer we voor γ2 schrijven  , wat geldig is voor v << c , dan zien we dat A  voor de identieke gebeurtenis een afstand moet afleggen in het stelsel-in-rust  die  meter langer is dan de afstand die volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust op het tijdstip t is afgelegd [1].  

Samenvattend zijn dit drie belangrijke bevinden:

Ø         De tijdsduur van een gebeurtenis in ons stelsel is op onze klokken precies even groot als voor de identieke gebeurtenis in het stelsel-in-beweging op de klokken van dat stelsel  

Ø         De tijdsduur van een gebeurtenis op een vast punt in het stelsel-in-beweging is op onze klokken altijd γ keer zo groot als op de klokken in het bewegende stelsel zelf

Ø         Het stelsel-in-beweging moet een γ2 keer grotere afstand afleggen in het stelsel-in-rust om de identiek afstand af te leggen die volgens het stelsel-in-rust is afgelegd.

 Verhelderend: Iemand kan over 10 minuten thuis zijn maar dan moet hij nu vertrekken. Hij treuzelt waardoor hij nog maar 9 minuten over heeft. Hij besluit snellere stappen te nemen om op tijd thuis te zijn. Met een factor 10/9 past hij het ritme van zijn stappen aan waardoor hij precies op hetzelfde tijdstip thuiskomt als wanneer hij op tijd zou zijn vertrokken. Door zijn grotere snelheid worden zijn stappen echter ook 10/9 keer zo groot. Daardoor legt hij in die 9 minuten niet de afstand af die nodig is, maar hij schiet zijn doel voorbij. Hij heeft na die 9 minuten een 10/9 keer zo grote afstand afgelegd. Terwijl hij normaal in 9 minuten 9/10 deel van de afstand tot zijn huis zou hebben afgelegd, heeft hij nu 10/9 keer die afstand afgelegd. De afstand is daarmee (10/9)2 keer zo groot geworden. Een kwadratische toename.

 

[1] Dit principe geldt ook wanneer de tijdsnelheid is veranderd als gevolg van een versnellingsveld.
Daarmee kan eenvoudig de afbuiging van het licht en de perihelium precessie van Mercurius worden verklaard.
_____________________________________________________________________________________

 

Blad 14

Opmerking: Zoals de langzamere Lorentztijd voor het gehele bewegende stelsel geldt, zo is de Lorentzafstand ook een eigenschap van het bewegende stelsel als totaliteit. Het gaat om de door het gehele stelsel afgelegde afstand die in Lmeters wordt uitgedrukt. Het stelsel zelf blijft hierbij onvervormd, zoals we in de volgende paragraaf zullen aantonen, en kan worden beschouwd als een star object waarvan de afmetingen in meters worden uitgedrukt.
We moeten ook nog opmerken dat de tijdsduur om een afstand in het stelsel-in-beweging heen en terug met de snelheid w af te leggen volgens de eigen klokken in dat stelsel  2ℓ/w sec  sec vraagt.  Op de klokken in het stelsel-in-rust komt dit neer op t = 2γℓ/w  sec.
Dit geldt ook voor een lichtstraal die de afstand in 2ℓ/c  sec aflegt. Vanuit het stelsel-in-rust gezien zijn dat Lorentzseconden en doet de lichtstraal er 2γℓ/c    sec over.

 Opmerking: We moeten ons realiseren dat een afstand tussen twee punten in de ruimte onbepaald is. De afstand krijgt pas betekenis in een fysiek coördinatenstelsel . De lengte van een door een bewegend stelsel rechtlijnig afgelegde afstand kan in het stelsel-in-rust worden gemarkeerd, bijvoorbeeld met een beginstreep en een eindstreep. Voor het bewegende stelsel kunnen we de beginstreep ook laten gelden.  De eindstreep geldt echter niet voor het stelsel-in-beweging als het om een identieke gebeurtenis gaat. Waar de eindstreep moet worden gezet in het stelsel-in-rust voor de identieke gebeurtenis van het stelsel-in-beweging hangt af van de snelheid. We kunnen deze dus vinden door de afgelegde afstand in het stelsel-in-rust met de factor γ2 te vermenigvuldigen.  

In het kritische artikel (lit 7) over de Lorentzcontractie wordt "de γ2 keer grotere afstand" als uitgangspunt genomen samen met de invloed van de versnelling van een stelsel op de tijdsnelheid. Dit leidt tot een transparante verklaring van de:

Ø       Ehrenfestparadox met zijn centrifugale versnelling

Ø       afbuiging van het licht in een zwaartekrachtveld 

Ø       afleiding van de perihelium precessie van Mercurius door zijn snelheid in het zwaartekrachtveld van de zon.

De laatste twee voorbeelden werden door Einstein gebruikt als bewijs voor de kracht van de algemene relativiteitstheorie. 
In het genoemde artikel laten we zien dat de relativiteitstheorie zonder Lorentzcontractie en met een beter inzicht in de invloed van de tijdsnelheid op heldere wijze sneller tot dezelfde of zelfs betere resultaten leidt.

 

8.     En Einstein creëerde de Lorentzcontractie  

Nu we de tijd in het stelsel-in-beweging kunnen bepalen uit de tijd en de plaats in het stelsel-in-rust vragen we ons af of  we ook de plaats ξ langs de Xas in het stelsel-in-beweging  kunnen berekenen.
We bekijken daartoe een concreet stelsel-in-beweging bestaande uit bijvoorbeeld een trein  waarin in de Xrichting zowel als in de Yrichting een lengte is uitgezet. Er worden tegelijkertijd lichtpulsen verzonden in beide richtingen die volgens de waarnemers in het stelsel-in-beweging tegelijkertijd terugkomen in de oorsprong A na  sec op hun klok.  Dat zijn Lorentzseconden volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust.
Op de klokken in het stelsel-in-rust moet dan de tijd  sec staan.

 

Blad 15

We maken onderscheid tussen de oorsprong A en de plaats A' omdat deze plaats xA' vanuit het stelsel-in-rust gezien is veranderd. Voor de oorsprong A geldt altijd ξA  = 0.  

Het tijdstip van terugkomst in A' kan vanuit het stelsel-in-rust met de tijdformule  worden berekend. Daarvoor dienen we in het stelsel-in-rust de waarde van t in het punt A' op het moment van terugkomst te kennen. Als we de tijd t kennen, volgt de waarde van de plaats x van A' daar gelukkig vanzelf uit volgens de formule x = v.t meter. Omdat in het stelsel-in-rust op grond van het beginsel van de fysische werkelijkheid de lichtpulsen ook tegelijkertijd bij elkaar zullen komen net als in het bewegende stelsel, kan de waarde van t op twee manieren worden bepaald, namelijk via de weg van de lichtpuls langs de Yas ( fig.2) en via de weg van de lichtpuls langs de Xas.  

Via de Yrichting is de tijd tA' volgens een waarnemer in het stelsel-in-rust bij terugkomst:

 sec                                                              (5)
De plaats van A' in het stelsel-in-rust is dan:   meter.

Dan is    sec.

Dat klopt met de waarde die de waarnemers in het stelsel-in-beweging zelf aflezen. 

Via de Xrichting is de tijd tA' bij terugkomst lastiger te berekenen.  

Ø         Einstein berekende de tijd tA' in principe op de volgende manier. Hij stelde voor om de lengte die in het stelsel-in-rust moest innemen voorlopig  x'  te noemen omdat deze nog onbekend was. De retourtijd tA'  vindt hij dan met:
 sec.                                                     (7)

Met ℓ = γ.x' worden de uitkomsten (5) en (7)  kloppend met elkaar gemaakt. De conclusie is dan dat x' kleiner is dan . In één moeite door is daar de conclusie aan verbonden dat een bewegend object korter wordt in de bewegingsrichting.

Ø         Dit is echter een overhaaste conclusie als gevolg van een onjuiste fysische redenering.

 De eerste fout die Einstein maakte, kwam doordat hij voorstelde de lengte in het stelsel-in-rust  x'  te noemen (lit 3, p.900). Hij behandelde deze lengte x'  vervolgens echter niet als een lengte in het stelsel-in-rust maar als een lengte in het stelsel-in-beweging want hij liet deze nog steeds  met de snelheid v voortbewegen. Als hij consequent was geweest, had hij de lengte opnieuw met de factor x'/ℓ moeten vermenigvuldigen, etc. Hij  schoot er niets mee op door de lengte een andere naam te geven.

Hij maakte een tweede fout want hij hield er geen rekening mee dat wanneer we vanuit het stelsel-in-rust een lichtpuls waarnemen die zich in ℓ/c sec van A naar een punt op een afstand van meter in het stelsel-in-beweging begeeft deze tijd staat op de klokken in het stelsel A dat dan de klok in het stelsel-in-rust die zich op dat moment op de plaats bevindt waar de puls aankomt, de tijd ℓ/γc  vertoont. Hierbij moeten we vanwege de tijd ℓ/c sec om het punt te bereiken, het stelsel A als het stelsel-in-rust beschouwen en het stelsel O als stelsel-in-beweging. We zijn even van stelsel verwisseld.

Blad 16

Als één klok in het stelsel-in-rust de tijd ℓ/γc op zijn klok heeft staan, dan vertonen alle klokken in het stelsel-in-rust volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust deze tijd. Voor hen is het de tijd ℓ/γc sec. In dit geval is de tijdsduur voor het afleggen van de afstand in het bewegende stelsel dus getalsmatig korter, namelijk gedeeld door γ.

Als we nu de tijd berekenen voor het afleggen van de retourafstand naar x' in het stelsel- in-beweging moeten we die tijd door γ delen. Daarom vinden we nu in plaats van formule (7) voor de retourtijd in het stelsel-in-rust voor de lichtstraal in het stelsel-in-beweging:

     sec                                                                       (8)

We vinden dus twee verschillende tijdstippen (5) en (8) voor de terugkerende lichtpuls:

Ø         via de Yas is het  en

Ø         via de Xas  sec.

Deze tijden moeten gelijk zijn omdat de lichtpulsen gelijktijdig terugkomen in A'.
Daaruit volgt het zeer belangrijke resultaat   x' =    .  

Dit betekent dat de interpretatie van Einstein dat een object in een bewegend stelsel als gevolg van de Lorentzcontractie zou krimpen, niet juist is. De afmetingen van een voorwerp in het stelsel-in-beweging zijn dezelfde als wanneer het voorwerp in het stelsel in rust wordt beschouwd.  

Ø       Het zijn de afgelegde afstanden die door de tijdsnelheid worden beïnvloed, niet de afmetingen van de objecten.

9.     De plaatsfunctie 

Met de Lorentztransformatieformule voor de tijd  wordt de tijd τ  berekend

 van een klok in het bewegende stelsel die net de plaats x op het tijdstip t  het stelsel-in-rust passeert. De berekening levert exact de tijd op die de waarnemers in het stelsel-in-beweging daadwerkelijk op hun klok waarnemen. De tijd is langzamer dan de tijd in het stelsel-in-rust. Dat wordt bevestigd indien we de klok terughalen naar het stelsel-in-rust (de tweelingparadox). Hij loopt achter.

 Einstein leidde voor de plaats in het stelsel-in-beweging de Lorentztransformatieformule  meter af. De plaats ξ in het stelsel-in-beweging zou hiermee worden gevonden  voor een punt dat zich op het tijdstip t op de plaats x in het stelsel-in-rust bevindt.

Bijvoorbeeld voor de oorsprong van het stelsel-in-beweging geldt x = v.t  en dus ξ = 0.

Dat klopt: de oorsprong blijft de oorsprong, maar dat is dan ook het enige dat klopt!

Deze formule leidt namelijk tot een andere waarde voor de lengte dan de waarnemers in het stelsel-in-beweging zelf opmeten. Een stok met een lengte van meter wordt γℓ meter. Bovendien blijkt dat als we de stok weer terugkrijgen dat de stok nog steeds zijn oude lengte heeft. Zoals we hiervoor al aangaven: de formule geldt voor de afgelegde afstand, maar niet voor de afmetingen in het stelsel-in-beweging.

 

Blad 17

Een afgelegde afstand is een andere fysische grootheid is dan een lengte. Een afgelegde afstand is een fysische gebeurtenis, nauw verwant aan de tijd. Een lengte is geen fysische gebeurtenis, het is een eigenschap van een voorwerp.
De afgelegde afstand in het stelsel-in-beweging is v.τ = v.t/γ   Lmeter. Als we de waarnemers in het stelsel-in-beweging zouden vragen hoe groot hun afgelegde afstand is vanaf het moment τ = 0 , zouden ze op die waarde uitkomen, want v.τ  Lmeter  =  v.t  meter.

Welke gedachtefout maakte Einstein?
Wanneer je twee punten x1 en x2  hebt in het stelsel-in-rust die op een afstand met een lengte Δx = x2 x1   meter van elkaar liggen dan is de afstand Δξ tussen de vergelijkbare punten ξ1 en ξ2 in het stelsel-in-beweging, volgens Einstein, gelijk aan:
 
 meter.

Als we dit voor een lengte-eenheid van Δx =  1 meter doen, is de getransformeerde eenheid γ meter. Dat is een grotere eenheid. In paragraaf 7  hebben we dit de Lorentz meter genoemd! Die eenheid hebben we voor de afgelegde afstand gereserveerd. De transformatie van de eenheid van lengte levert dus de eenheid van afgelegde afstand op.
Dat is een onjuiste gang van zaken voor een transformatie. We mogen geen appels naar peren transformeren. We zullen daarom in het stelsel-in-rust ook een afgelegde afstand als uitgangspunt moeten nemen.

 Hoe kunnen we van een lengte een afgelegde afstand maken? We hebben in paragraaf 2 de afgelegde afstand als het product van snelheid en tijdsduur gedefinieerd.
Wanneer we nu twee punten x1 en x2  hebben in het stelsel-in-rust, kunnen we hun onderlinge afstand Δx  in de Xrichting op de volgende wijze omschrijven als het verschil in afgelegde afstand:  Δx = x2 x1 = v.t2 t1 .

Hierin zijn t2 en t1 de tijden die de oorsprong van het bewegende stelsel er over doet om de punten te bereiken vanuit de oorsprong van het stelsel-in-rust.
Nu kunnen we de afgelegde afstand Δx transformeren.

We zien dat de transformatie van een afgelegde afstand neerkomt op een transformatie van de tijd. Deze kan met de tijdformule  worden aangepakt.
Er geldt  en evenzo .

De transformatie van de lengte Δx = x2 x1  wordt  nu de transformatie van (v.t2 v.t1) meter  naar  (v.τ2 v.τ1) Lmeter voor de afgelegde weg:

 Lmeter.

Deze afgelegde afstand in Lmeter heeft een lengte van v.Δt meter. Het aantal Lmeters is kleiner dan het aantal meters. We zien echter dat de lengte in meters gerekend gelijk blijft. Dit is wat de waarnemers in het stelsel-in-beweging daadwerkelijk waarnemen.

 Het is dus onjuist om de transformatie  te gebruiken voor een transformatie van een lengte in het stelsel-in-rust naar een lengte in het stelsel-in-beweging.

Hoe moet het dan wel?
Als we van een punt P in het stelsel-in-beweging dat zich op het tijdstip t op de plaats x bevindt in het stelsel-in-rust de plaats x* willen weten in het stelsel-in-beweging , dan bepalen
we eerst de plaats van de oorsprong van het stelsel-in-beweging. Die bevindt zich op de plaats v.t meter. Dan is de plaats van P in het stelsel-in-beweging: x* = (x v.t)  meter.

Dit is een verheugend resultaat, dit is namelijk gewoon de Galileï transformatie!

 

Blad 18

10.     Het tijdlijnendiagram  

Zonder Lorentzcontractie  krijgen we een beter beeld  van het gedrag van de tijd in een bewegend stelsel. We zullen ons hier beperken tot een bewegend stelsel dat een constante rechtlijnige beweging uitvoert.
Wanneer de oorsprong A van het stelsel-in-beweging de oorsprong O van het stelsel-in-rust passeert onder de bekende beginvoorwaarden, zal A zich op het tijdstip t  op de plaats x = v.t meter bevinden. Plaats en tijd van het (bewegende) punt A zijn op dat moment bekend in het stelsel-in-rust, dus kan de tijd van de klok A worden berekend met de tijdformule (4):

             Lsec.

Omdat γ >1 is de tijd τ  kleiner dan de tijd t. De klok in het stelsel-in-beweging loopt dus langzamer dan de klok in het stelsel-in-rust. Tegelijk moet de klok in het stelsel-in-rust ook langzamer lopen dan de klok in het stelsel-in-beweging. Dit lijkt ons voorstellingsvermogen te boven te gaan. De grafieken die in de literatuur worden gebruikt om hiermee te werken en daarmee een verklaring te geven, gaan voorbij aan het basisprobleem, namelijk hoe het kan dat klokken ten opzichte van elkaar langzamer kunnen lopen.
Omdat dit een probleem is voor leken om het te begrijpen en voor geleerden om het uit te leggen, zullen we een nieuwe manier van visualiseren laten zien. Daarvoor gebruiken we een tijdlijnendiagram (fig. 3) gebaseerd op de tijdformule .

 We maken gebruik van de verplaatsing die de klokken ten opzichte van elkaar uitvoeren. We hebben een stelsel O en een stelsel A. Deze hebben een snelheid v ten opzichte van elkaar. De beweging van het stelsel vindt plaats langs de Xas. Dankzij het feit dat we geen rekening hoeven te houden met de Lorentzcontractie liggen de objecten (bijvoorbeeld treinen) over hun volle lengte langs de Xas. De tijd ten opzichte van het andere stelsel wordt uitgezet ten opzichte
van de tijd van het eigenstelsel. Dat levert volgens de term  een schuine lijn op. We zetten 

de tijd van het ene stelsel uit tegen de tijd van het andere stelsel. Zo krijgen we twee lijnen symmetrisch ten opzichte van de Xas.

 

Blad 19

Een schuine lijn vertegenwoordigt de tijd op de gelijklopende klokken van een stelsel op zeker tijdstip. We noemen het de tijdlijn van het stelsel voor dat tijdstip. De tijdlijn van het stelsel O loopt van linksonder tot rechtsboven. De tijdlijn van het stelsel A loopt van linksboven tot rechtsonder. Het stuk BA stelt de tijdlijn voor van de rijdende trein B*A (waarin alle klokken gelijklopen) die langs de Xas beweegt.
In de figuur passeert punt A het punt O en de klokken zijn in die punten op de beginwaarden t =τ = 0 gezet.

Stelsel O zou de tijdlijn van een spoorbaan kunnen voorstellen, een stelsel-in-rust, maar kan ook de tijdlijn van een andere trein, een bewegend stelsel, voorstellen die met een andere snelheid langs de Xas beweegt dan de eerste trein.

De verticale afstand tussen de tijdlijnen geeft het tijdsverschil weer dat op de klokken is af te lezen van klokken die zich op dezelfde plaats x bevinden maar deel uitmaken van verschillende stelsels. Als men vanuit het ene stelsel op die plaats de klok in het andere stelsel ziet voorlopen  dan ligt de tijdlijn ter plekke hoger dan moet men vanuit het andere stelsel op die plaats de klok van het eerste stelsel zien achterlopen (dan bevindt die lijn ter plekke zich er onder).

Ø         De relativiteitstheorie is een concrete theorie. Waarnemers uit verschillende stelsels zullen op zekere plaats op een bij die plaats behorend tijdstip hetzelfde waarnemen!

De tijdlijnen maken uiteraard dezelfde hoek (positief of negatief) met de horizontale Xas. De hoek wordt bepaald door de snelheid van de stelsels ten opzichte van elkaar. In de tekening zijn de hoeken voor de duidelijkheid sterk vergroot. De hoek tussen de twee tijdlijnen is

praktisch  sec/meter.

In fig 3 werd de situatie weergegeven op het moment dat de oorsprong A van stelsel A de oorsprong O van stelsel O passeerde. Ten opzichte van stelsel O verplaatst stelsel A zich naar rechts.
Het tijdlijnendiagram is een dynamisch diagram. We kunnen in gedachten het punt A namelijk van O naar  een punt P in het stelsel O  laten bewegen. Dan krijgen we fig.4. We geven de tijdlijn opnieuw weer op het moment dat A het punt P passeert. Merk op dat A langs de Xas is verschoven.
De tijd van A ligt nu onder de tijdlijn ter plekke van P terwijl zijn tijd eerst (fig. 3) nog gelijk liep met de tijdlijn van stelsel O in het punt O. Maar evenzo ligt de tijd van punt O nu aanmerkelijk beneden de tijdlijn van het stelsel A ter plaatse van het punt Q . We zien dat beide klokken A en O achter zijn gaan lopen ten opzichte van het andere stelsel.

Zo is te begrijpen dat beide klokken langzamer lopen ten opzichte van elkaar!

Blad 20

Het gemak van het tijdlijnendiagram is dat je in gedachten de tijdlijnen kunt verschuiven om de tijdsverschillen te begrijpen. Met wat meetkunde kunnen de tijdverschillen in eenvoudige situaties direct worden afgelezen.
Toen bijvoorbeeld A het punt O passeerde (fig. 3), stonden de klokken op  t = τ = 0. Het punt B vertoonde op dat moment  een tijd van         sec[1] boven de tijdlijn van stelsel O waarbij de lengte van A tot B is. 


Als punt A zich vervolgens na t sec heeft verplaatst (fig. 4) tot het punt P op de plaats x , zien
 
we dat de tijd van  A onder de tijdlijn van stelsel O ligt met     sec.
Het punt B ligt dan nog boven de tijdlijn van stelsel O met t
τ      sec.

Opmerking: In een punt x is het tijdsverschil Δt of Δτ  dat afgelezen wordt op de klokken van het stelsel-in-rust respectievelijk het stelsel-in-beweging niet afhankelijk van het stelsel van waaruit je het bekijkt. Het gaat om dezelfde hoeveelheid tijd. Vanuit het stelsel-in-rust gezien vertegenwoordigt dat verschil Δt echter γ keer zoveel seconden als de Δτ  gezien vanuit het stelsel-in-beweging in Lorentzseconden.
 

11.     De tijd en de  plaats in het stelsel-in-beweging

 Twee even lange treinen lengte met de tijdlijnen OP en AB passeren elkaar met een snelheid van v m/s. Op t =τ = 0  passeren de voorpunten O en A elkaar. In het tijdlijnendiagram (fig. 5) is de beginsituatie van de treinen als streepjeslijnen aangegeven.
Na   t = ℓ/v  sec zal de waarnemer P achterin de trein OP op de plaats +  meter een waarnemer A in de voorpunt van de andere trein zien passeren. Omdat de klokken in de trein OP
gelijklopen, zullen op dat moment alle klokken in deze trein de tijd t = ℓ/v   sec vertonen volgens de waarnemers in deze trein.  

Op grond van symmetrie overwegingen mogen we aannemen dat volgens een neutrale waarnemer de punten B en O aan de andere kant van de treinen elkaar op dat moment ook passeren op een afstand met de lengte meter van het ontmoetingspunt van A en P.  

Ø         De neutrale waarnemer beweegt zodanig dat hij de treinen even snel in tegengestelde richtingen ziet passeren.

 In het tijdlijnendiagram zijn de tijdlijnen van de treinen als vaste lijnen aangegeven. De treinen zelf bewegen zich als projecties van de tijdlijnen langs de Xas maar zijn niet aangegeven omdat we ons op de tijden willen concentreren.

 

[1] We mogen voor v << c de factor γ hier verwaarlozen.
______________________________________________________________________________________

Blad 21

De waarnemer bij klok P kan de waarnemer bij klok A een high five geven. Dit is een belangrijk gegeven want daarmee wordt duidelijk dat de ontmoeting een fysische realiteit is, een puntgebeurtenis. Naast het feit dat iedere waarnemer het fysische feit van de handen die tegen elkaar slaan, kunnen waarnemen, zullen zij ook het tijdstip op de klok van zowel P als van A kunnen waarnemen. Daarmee wordt de puntgebeurtenis voor iedereen gemarkeerd. De klok van P laat de tijd  sec zien en de tragere klok van A de tijd  Lsec.

Waarnemers O en B zullen elkaar volgens de neutrale waarnemer gelijktijdig met de waarnemers A en P een high five kunnen geven. Uit de symmetrie volgt dat de klok B dan de tijd sec en klok O de tijd  Lsec moet vertonen.

We nemen dus op dat moment een wirwar van tijden waar [1]:

Ø         op de klokken van P en A respectievelijk  sec en   Lsec  en

Ø         op de klokken van B en O respectievelijk  sec en    Lsec.

In stelsel A vindt men dat de ontmoetingen bij A respectievelijk B niet gelijktijdig plaatsvinden en in stelsel O geldt dit voor de punten O en P. Vanuit A vindt men dat de ontmoeting bij B later plaatsvindt, vanuit P vindt men dat de ontmoeting bij O eerder plaatsvond.

Zoals Einstein al stelde is 'gelijktijdigheid' een relatief begrip. Het geschetste probleem wordt echter pas begrijpelijk als we afstand nemen van het begrip Lorentzcontractie.

 

12.     Discussie

 Uit de hier gepresenteerde aanscherping van de speciale relativiteitstheorie blijkt dat de theorie een manco vertoonde dat er na honderd jaar nog steeds niet was uitgehaald. Het moet gezegd dat het probleem diep zat weggestopt in een stukje natuurkunde dat door velen wordt gezien als het deel van de relativiteitstheorie waar het menselijk voorstellingsvermogen tekort schiet.
Toch hebben we het boven water kunnen krijgen door de afleiding die Einstein in zijn artikel van 1905 gaf nauwgezet over te doen. Hierbij hebben we ons laten leiden door de gedachte dat iedere overbodige aanname moet worden  vermeden. We ontdekten dat Einstein een aanname deed voor een aangepaste lengte in het stelsel-in-rust die hij niet in het genoemde stelsel, maar ten onrechte in het stelsel-in-beweging gebruikte. Hierdoor verkreeg hij een uitkomst waarbij hij de Lorentzcontractie voor de lengte van een object in het stelsel-in-beweging te hulp riep om een realistisch resultaat te verkrijgen.  

[1] Leuk om te weten: de tijd in het punt S halverwege is TS =  sec  
____________________________________________________________________________________

 

Blad 22

Ons bleek dat het om een onmogelijk aanname ging. Door beter uit te zoeken wat de lengte van de door een lichtstraal in het bewegende stelsel afgelegde afstand is, hebben we kunnen laten zien dat de Lorentzcontractie niet nodig is om tot het juiste resultaat te komen.  

Ter verhoging van de begrijpelijkheid van de theorie hebben we laten zien dat de Lorentztransformatie voor de plaats in de bewegingsrichting niet een transformatie van de lengte betreft maar de transformatie van een afgelegde afstand. Daarbij blijven de afmetingen van de elementen die het stelsel-in-beweging vormen buiten schot. We geven aan hoe de plaats van een punt in het stelsel-in-beweging wordt gevonden. De Galileïtransformatie blijkt hier van toepassing. Hierdoor krijgt de transformatie van de plaats dezelfde positieve bevestiging door de waarnemers in het stelsel-in-beweging als de transformatie van de tijd.  

Voor de praktijk is het interessant dat een identieke gebeurtenis van een afgelegde afstand door het bewegende stelsel leidt tot een γ2 keer grotere afstand in het stelsel-in-rust voordat dezelfde gebeurtenis is volbracht. Hierbij moet γ worden gezien als de factor waarmee de tijd door snelheid of in een versnellingsveld trager is dan in het stelsel-in-rust.  Dit resultaat is eenvoudig toe te passen in de afbuiging van het licht langs een massa en bij de berekening van de perihelium precessie van Mercurius.  

Deze resultaten vormen een belangrijke stap voor de natuurkunde want de aethertheorie kan nu definitief aan de kant worden gezet. Einstein toonde weliswaar aan dat er geen aether nodig was om het gedrag van licht in de ruimte te verklaren maar hij pakte de aether er direct weer bij voor de afbuiging van licht en het gedrag van Mercurius. Hij noemde het ditmaal geen aether maar 'gekromde ruimte'. Het zal duidelijk zijn dat het toekennen van eigenschappen aan de ruimte een nieuwe variant van de aethertheorie met zich brengt. De recent opgemeten zwaartekrachtgolven worden dan ook onterecht als rimpelingen van de ruimte omschreven: het zijn rimpelingen van de tijd.  

Het is van belang te melden dat onze interpretatie van de relativiteitstheorie niet tot andere resultaten leidt voor onze sterrenkundige waarnemingen. De combinatie van tijdvertraging en de aangenomen lengteverkorting die Einstein voorstelde, leidt namelijk wat betreft afgelegde afstanden tot dezelfde resultaten als het door ons gevonden dubbele effect van de tijd op een afgelegde afstand. Wat dat betreft was de aanname van Einstein zeer effectief.  

Gevolgen zijn  er wel voor ons wereldbeeld. Er is rond het vermeende verschijnsel van de Lorentzcontractie een wereldbeeld ontstaan over het universum dat een geheel eigen leven is gaan leiden. Daarbij krijgt de ruimte eigenschappen waardoor de richting die een voorwerp of een lichtstraal in het universum volgt, wordt gestuurd door de kromming van de ruimte zelf. De toestand waarin de ruimte verkeert, wordt in deze theorie bepaald door de massaverdeling ter plekke. Wanneer je de massa weghaalt, valt de ruimte terug in zijn oude vorm.

Nu we hebben aangetoond dat de idee van de Lorentzcontractie op een gedachtefout van Einstein berustte en dat de tijdsnelheid de enige bepalende factor is in de relativiteitstheorie, valt de bodem weg onder het begrip 'gekromde ruimte'. Dat betekent dat men dit begrip zou moeten laten vallen en de interactie als gevolg van verschillen in de tijdsnelheid ter plekke tussen objecten en velden in de ruimte als de enige natuurkundige kracht voor deze problemen  moet beschouwen.  

Blad 23

13.   Literatuur

 

1                    Lang H. de 2016 "Rimpels in de ruimte", Ned. Tijdschrift voor Natuurkunde 82, p. 141 

2                     Dorrestijn H J 2016  "Een Kritische Blik op Einsteins Relativiteitstheorie",  Filosofie  2, p.44; Antwerpen Garant Uitgevers

3                     Einstein A 1905 "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik 17, p.891

4                     Einstein A 1916 "Die Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie",  Die Annalen der Physik 49, p. 822

5                    Einstein A 1918 "Dialog über Einwände gegen die Relativitätstheorie", Die Naturwissenschaften 48, p.697

6                    Dorrestijn H J 2015 Op het Spoor van de Tijd  (Den Haag ISBN 9789087595289) p.135

7                    Dorrestijn H J 2018 "The Lorentzcontraction as an artefact in the Theory of Relativity" (zie http://www.einsteingenootschap.nl/   ) 

 

                Naar het begin