Errata

Naar Portier

Verbeteringen bij het boek Op het Spoor van de Tijd

Errata  

Naast een aantal vormfouten en drukfouten die men in een eerste druk, zeker indien het boek in eigen beheer is uitgegeven, bijna onvermijdelijk aantreft, is er op enkele plaatsen iets mis gegaan waar ik u op wil attenderen.

De drukker heeft de Griekse letter φ niet in zijn letterbak gevonden en er een merkwaardig symbool dat nergens op lijkt  voor in de plaats gebruikt. Dat is storend in §58 en §7173 en de bijbehorende bijlagen V en VII.
Verder staat op blz. 60 vijftiende regel van onder de zin: "Hun tijdlijn loopt daardoor gebogen omhoog ....". Deze zin berustte op een gedachtekronkel en moet zijn: "Hun tijdlijn loopt daardoor ook rechtlijnig schuin omhoog in de versnellingsrichting."

In "Bijlage II De somformule" op blz. 129 is de afleiding bij vergissing gepresenteerd met gebruikmaking van de Lorentzcontractie. U begrijpt dat ik daar volstrekt op tegen ben, dus deze afleiding wil ik niet voor mijn rekening nemen. Bovendien is de vermelde formule onderaan tijdens de bewerkingen in de kreukels geraakt. 

Er dient te staan:   m/s.

Een versie van de afleiding van Bijlage II zonder de Lorentzcontractie gaat hierbij.

Verder vond ik het nodig te laten zien hoe we de kortere lengte van een bewegend voorwerp dienen op te vatten. Einstein nam de Lorentzcontractie aan het voorwerp is gewoon gekrompen maar dat wordt in dit boekje bestreden. Daarom gaat hierbij de Bijlage X over "De kortere 'lengte' van een rijdende trein", waarin de 'krimp' wordt verklaard door op een zorgvuldige wijze met de tijd om te springen.

De somformule (Bijlage II) afgeleid zonder Lorentzcontractie.
 

In de voorpunt van een trein (met snelheid v) beweegt een klok C1 mee met de trein van A naar B. De lengte van de trein is ℓ meter. Achterin bevindt zich de klok C2. Langs de spoorbaan bevinden zich de chefs S&S en hun hulpchefs om de tijd op hun eigen klok en de tijden van de klokken op de trein in de gaten te houden.

Op het tijdstip T = 0 wordt de klok van C1 gelijk gezet met de klokken van S&S. De klokken in de trein lopen gelijk, dus volgens C1 wijst de klok van C2 op dat moment ook T = 0 aan en bevindt C2 zich op een afstand van ℓ meter in het punt Q. Vanaf ditzelfde tijdstip beweegt C2 zich van het achterste punt van de trein met de snelheid w naar het voorste punt waar C1 zich bevindt.

Op het moment dat volgens S&S op de voorste klok C1 de tijd T = 0 staat, zal wegens het tijdsverloop (de schuin lopende tijdlijnen) in het bewegende stelsel de tijd van de klok C2 die zich achterin de trein bevindt de tijd +vℓ/c2 sec vertonen. Dat is echter niet het tijdstip waarop C2 aan zijn opmars begon. De chefs nemen de klok C2 dus waar op een tijdstip dat iets later valt dan T=0 sec.

Anders gezegd: als de chefs de achterste klok waarnemen, zien ze dat gedeelte van de trein op een iets later tijdstip, namelijk als de trein zich al iets verder langs de spoorbaan heeft verplaatst, dan wanneer ze het voorste gedeelte van de trein waarnemen.

De achterste klok wordt dus waargenomen wanneer de trein het punt waarbij de klokken in de trein T=0 aangaven al is gepasseerd. Als ze hem op het tijdstip T=0 zouden waarnemen, dan zou de klok zich op precies meter van C1 bevinden. De achterpunt van de trein wordt dus vanuit het stelsel van de chefs waargenomen op een tijdstip dat de trein al een afstand van exact v.vℓ/c2 meter heeft afgelegd volgens C1. Maar C2  is dan ook al begonnen aan zijn opmars in de trein  met de snelheid van w m/s en heeft dus al een afstand van w.vℓ/c2 meter afgelegd in de trein volgens C1. Nog steeds volgens C1 heeft C2 een totale afstand afgelegd na het tijdstip T= 0  van (v+w).vℓ/c2 meter.

Volgens C1  hoeft C2 dan nog maar een afstand van [ℓ (v+w).vℓ/c2 ] meter af te leggen.  

We moeten ons goed realiseren dat een afstand tussen twee punten die zich in het onbeweeglijke stelsel S&S bevinden  volgens S&S een factor       groter is dan volgens de in de trein met de snelheid v meerijdende C1.

Als C2 het punt C1 bereikt, heeft C2 een afstand van ℓ meter afgelegd met de snelheid w m/s in het stelsel van C1. De klok van C1 wijst dan ℓ/w sec aan. Dan heeft C1 met de snelheid v  een afstand afgelegd van v.ℓ/w meter. Volgens de chefs is dat in hun stelsel een afstand van   .vℓ/w meter.

De afstand die C2 volgens de chefs heeft afgelegd, vinden we door bij de afstand die C1 heeft afgelegd de extra afstand op  te tellen die C2 heeft afgelegd van (v+w).vℓ/c2 meter. Dat is volgens de chefs .[ℓ(v+w).vℓ/c2]      meter.   
De totale afstand die C2 volgens S&S heeft afgelegd is: 

v.  .ℓ/w +  [ℓ(v+w).vℓ/c2] meter.
De tijdsduur voor deze actie is ℓ/w sec volgens C1. In het stelsel van S&S is dit een tijdsduur van    .ℓ/w sec.

De snelheid u wordt dan de afstand die C2 heeft afgelegd, gedeeld door de tijd (alles volgens de chefs):            v + w (v+w).  =

 (v + w) . (1    )    m/s.

Dit is de uitdrukking voor de som van de snelheden die we zochten.

Men zou zich kunnen afvragen of ditzelfde ook worden bereikt door u te bepalen vanuit C2. Dan beweegt C2 niet en C1 beweegt zich dan met de snelheid w naar C2 toe. De lengte van de trein is opnieuw ℓ meter. De tijdsduur volgens de klok van C2 is dan ℓ/w sec en de tijdsduur op de klok van C1 is dan (1½w2/c2).ℓ/w sec.

Wanneer je dit goed bekijkt, blijkt dat je dit op dezelfde manier kan aanpakken als bekeken vanuit S&S. Het is een identiek probleem en het leidt tot dezelfde uitkomst.  

Opmerking: Termen met c4 in de noemer zijn verwaarloosd.


Bijlage X  De kortere 'lengte' van een rijdende trein.

 

In de figuur hierboven zien we drie vette horizontale lijnen. De middelste ligt op de Xas. De bovenste en onderste liggen ook op de Xas, maar omdat het bewegende objecten zijn hebben we ze iets los van de Xas getekend. Dat maakt niet uit omdat in dit verhaal uitsluitend de tijd (verticaal uitgezet) en de plaats (horizontaal) langs de Xas een rol spelen.  

De bovenste horizontale lijn stelt een perron voor met een lengte van ℓ meter en de onderste horizontale lijn met dezelfde lengte vertegenwoordigt een trein die met een snelheid van v m/s het perron passeert.

We weten dat er een tijdsverschil van  vℓ/c2 sec bestaat tussen twee punten, die zich op een afstand van ℓ meter van elkaar bevinden, op een object dat met de snelheid v beweegt ten opzichte van een waarnemer. Daarom is er altijd een tijdverloop aangegeven met de tijdlijn  over zo'n object, of dit nou de trein is of het perron, wanneer we dit voorwerp vanaf het andere object waarnemen. Dit is zichtbaar aan de klokken op het bewegende voorwerp die volgens de waarnemers stelselmatig achterlopen als we de klokken van achter naar voor tegelijkertijd aflezen.

Zo nemen de chefs S&S op het perron een tijdlijn in de trein waar die gegeven wordt door de schuin lopende streepjeslijn C&C. De tijdlijn langs het perron, zoals de conducteurs C&C waarnemen, is de schuin lopende streepjeslijn S&S.

De middelste lijn AB geeft een trein met lengte ℓ weer die met de halve snelheid tussen de eerste trein en het perron rijdt. Het coördinatenstelsel waarin deze trein stilstaat, gebruiken we om de situatie verder te analyseren. Hierin geldt dat de eerste trein met C&C zich ten opzichte van AB naar rechts verplaatst en het perron met S&S zich naar links verplaatst.  

Op het tijdstip T = 0 bevinden het eindpunt van de trein en de voorpunt van het perron zich op dezelfde plaats, het punt A van de halvesnelheidstrein. De chef en de conducteur ter plekke kunnen elkaar een high five geven.

Vanuit S&S gezien, dat wil zeggen vergeleken met hun eigen tijdlijn, loopt de achterste klok C2 van de trein    sec vóór op de voorste klok C1 en vanuit C&C gezien loopt de achterste klok S2 van het perron met      sec ook vóór op de voorste klok S1.

Volstrekte symmetrie!

De voorpunt van de trein bevindt zich op het tijdstip    sec  bij de snelheid van  v m/s dus nog (snelheid x tijd =)     meter vóór (dus links van) het punt B gezien volgens de chefs op het tijdstip T= 0  en evenzo geldt dat de achterpunt van het perron zich ook   meter links van dat punt B bevindt,  gezien volgens de conducteurs op het tijdstip T= 0.  

Je zou misschien denken dat ze elkaar dan een high five kunnen geven ter plekke, maar dat is niet zo. We moeten bedenken dat hun eigen afstand op het tijdstip T= 0 tot het punt A gelijk is aan ℓ meter. Ze bevinden zich in B. De ander bevindt zich niet in B maar een afstandje van    meter dichter bij A. Ze bevinden zich dus zelf niet op de plaats waar ze de ander op dat moment waarnemen. Ze kunnen elkaar géén high five geven.

Omdat ze ieder een andere kant op bewegen, moet er wel een punt zijn waar ze elkaar tegenkomen. Maar waar? Het ligt voor de hand om aan te nemen dat dat punt halverwege ligt, dus op         meter. Dat is voor beide partijen precies   sec  eerder.  Dan bevindt de ander zich op hetzelfde punt waar ze zich zelf ook bevinden.

Daarin schuilt de betekenis van de Lorentzcontractie: het is de lengte van de afstand tussen de plaatsen  waar de voor en achterkant van een bewegend voorwerp met de lengte op enigszins dichter bijeen liggende tijdstippen de achter  en voorkant passeren van een voorwerp met dezelfde lengte . Die afstand is een factor    korter dan de lengte .

 Kunnen we dit ook op andere wijze verklaren?

Het punt A is een vast punt in het stelsel dat zich met de halve snelheid voortbeweegt. Dat geldt ook voor het punt B dat op een afstand van meter van A ligt in dit stelsel. Het punt A valt samen met de punten S1 en C2. Het punt B valt niet samen met de plek waar C1 resp. S2 zich bevinden.
Het punt B ligt op een afstand waar het tijdsverschil tussen perron en trein praktisch gelijk is aan    sec. Het tijdsverschil met het punt B is voor elk van de waarnemers in de trein of op het perron   sec. Bedenk dat de waarnemers in het stelsel van de trein of van het perron dat punt met een snelheid van ½v m/s passeren.  

Dan is het afstandsverschil met het punt B voor zowel de chefs als de conducteurs gelijk aan     meter. Vanuit B gezien liggen beide punten C1 en S2 op meter dichter bij A. Ze kunnen elkaar daar een high five geven volgens B. Maar dan moet dat ook mogelijk zijn volgens S2 en C1. Het is immers een fysische gebeurtenis.

Op de klok van S2 staat dan de tijd    sec en op die van C1 staat     sec.  Dat zijn precies de momenten dat beide punten zich even ver van A bevonden en ook de ander even ver van A waarnamen, zoals we hierboven zagen.

Beide punten C1 en S2 bevinden zich dan  meter dichter bij A.

Daar bevinden C1 en S2 zich werkelijk! Daar geven ze elkaar de high five!
We vinden dezelfde waarden als bij het gebruik van de traditionele Lorentzcontractie, doch zonder lengtekrimp aan te nemen. Hieruit volgt dat de Lorentzcontractie overbodig is en dus niet bestaat.