Het Artefact

 

English

Portier

Het Artefact in de Relativiteitstheorie: 
            de Lorentzcontractie

Naar Deel II  

Zonder de Lorentzcontractie
wint de relativiteitstheorie aan helderheid

                                        Herziene versie: maart 2019

Samenvatting

Een veel gehoorde klacht over de relativiteitstheorie is dat we ons maar moeilijk een natuurkundige voorstelling kunnen maken van de wiskundige oplossingen die de theorie biedt. Wanneer we echter een duidelijk verschil maken tussen de begrippen lengte en afstand en verder scherp definiëren wat we in verschillende stelsels onder eenzelfde gebeurtenis moeten verstaan, blijken we ons een concreet beeld te kunnen vormen van wat er gebeurt. Met deze verbeterde interpretatie van Einsteins relativiteitstheorie wordt duidelijk waarom de afgelegde afstand van een ander stelsel met een kwadratische factor γ2 groter wordt waarbij γ de Lorentz–factor voor de tijdvertraging is. We laten zien dat de interpretatie van de Lorentzcontractie voor een bewegend voorwerp als een fysieke krimp van dat voorwerp, onjuist is. Met  onze interpretatie kan een eenvoudige verklaring voor de Ehrenfest–paradox worden gegeven. De tijdvertraging blijkt de enige  oorzaak te zijn van de afbuiging van het licht in een zwaartekrachtveld en ook van de relativistische  perihelium precessie van Mercurius. Dit nieuwe inzicht leidt tevens tot een verbetering van Einsteins formule voor de perihelium precessie.

 

  Blad 2
-----------

1.   Inleiding

Regelmatig verklaren bekende natuurkundigen en astronomen publiekelijk dat de resultaten van de algemene relativiteitstheorie betreffende de ruimte/tijd ons menselijk voorstellingsvermogen te boven gaan. Daar mogen we ons echter niet bij neerleggen. Het is de opdracht van de wetenschap om de natuurkundige wereld transparant en begrijpelijk te maken anders zetten we de deur wagenwijd open voor wilde speculaties en spirituele fantasieën. 

Om beter vat te krijgen op de theorie komen we met een nieuw inzicht op een natuurkundige gebeurtenis in relatie tot de tijdvertraging in een bewegend stelsel. We zullen laten zien dat de  Lorentzcontractie een overbodig begrip is.

We zullen laten zien dat het begrip contractie kan worden vervangen door de dubbele invloed van de tijd. Daarmee verkrijgen we dezelfde resultaten als Einstein terwijl de theorie aanzienlijk begrijpelijker wordt. Dit voordeel wordt geïllustreerd aan de hand van de Ehrenfestparadox,  waar "the rigid rotation stood out in Einstein's mind as an unsolved problem"  (zie..1) en de problemen van de afbuiging van het licht in het zwaartekrachtveld alsmede de afleiding van de formule voor de relativistische perihelium precessie van Mercurius. Het oplossen van deze problemen met zijn  algemene relativiteitstheorie waren voor Einstein sterke argumenten ten gunste van deze theorie. Wij laten zien dat het zorgvuldiger had gekund.

Dankzij de door ons verkregen transparantie vinden we een verrassend resultaat: een verbeterde formule voor de relativistische perihelium precessie van Mercurius. Sterrenkundigen uit de 19de eeuw wisten dat het perihelium van Mercurius met ongeveer 575''  (boogseconden) per eeuw verschoof. Ze konden het grootste deel van deze verschuiving verklaren uit de verstoringen door de andere planeten als gevolg van hun aantrekkingskracht, doch een klein deel was onverklaarbaar.

In 1915 slaagde Einstein er in om samen met zijn studievriend Michele Besso (zie..2) , vanuit Einsteins kakelverse algemene relativiteitstheorie de formule voor het onverklaarde (= het relativistische) deel van de periheliumprecessie van Mercurius af te leiden (zie..3):

                             rad/omloop     (1)         

Ø         Voor de betekenis van de symbolen: zie de tabel.  

 

De formule geldt voor alle objecten die in een baan rond een relatief zware massa bewegen als gevolg van de zwaartekracht van de laatste. Met de beschikbare astronomische gegevens vond Einstein een relativistische periheliumverschuiving van 43'' per eeuw, een waarde die uitstekend paste bij de 45 ± 5'' die de astronoom LeVerrier (zie..4) voor het onverklaarbare deel van de metingen had gevonden.
 

Zie:

1.  Einstein A 1993 Collected Papers of Albert Einstein Volume 3 ed M J Klein et all (Boston: Princeton  university Press) p 479480
2.  Einstein A and Besso M 1995 Manuscript on the motion of the Perihelion of Mercury 1913, Collected Papers of Albert Einstein Volume 4  ed M J Klein et all (Boston: Princeton  university Press)  p 360.
3.  Einstein A 1915  Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie  Sitzungsberichte (Berlin Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften) p 839
 4.  LeVerrier U J 1859 Recherches Astronomique (Annales  de l'observatoir imperial de Paris) Tome V

   -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------   

 

Blad 3
------------------

In het basisartikel over de algemene relativiteitstheorie (zie..5) dat enkele maanden later in 1916 verscheen, voerde Einstein deze overeenstemming dan ook aan als sterk ondersteunend argument voor zijn theorie. Waarschijnlijk was hij niet bekend met het monnikenwerk van de Amerikaan Simon  Newcomb (zie..6) , die de berekeningen van LeVerrier  had nagelopen en gecorrigeerd en al in 1882 met een uitkomst van (afgerond)  43" per eeuw kwam.

De theoretische waarde met de huidige gegevens komt uit op 42,98'' .

Einsteins verklaring van het onbegrepen deel van de periheliumverschuiving was een dusdanig groot wetenschappelijk succes dat sindsdien de opvatting lijkt te heersen dat de waarnemingen de theoretische waarde moeten bevestigen in plaats van andersom! Die waarde zelf ligt echter niet zo onomstotelijk vast als gedacht. We zullen een verbetering van de formule laten zien die tot een nieuwe theoretische waarde van 43,59'' per eeuw leidt.

 

2.    Cirkelrotatiesnelheid  

 Uit formule (1) blijkt voor de waarde ε = 0 dat er ook een 'periheliumverschuiving' optreedt wanneer de planeet een perfecte cirkel met een straal r beschrijft. Dan is a = r.

Het fictieve beginpunt van zo'n baan verschuift dan over een hoek

                   radialen per   omloop        (2)

De cirkelvormige baan zelf draait! Het beginpunt van de baan beschrijft ook deze cirkel met een snelheid:

                   rad/sec                               (3)

We stellen voor om dit verschijnsel de cirkelrotatie hoeksnelheid  te noemen.

We zullen formules (1), (2) en (3) in de paragrafen 11 en 12.  op een alternatieve wijze afleiden maar eerst verdiepen we ons in de begrippen 'tijd', 'afstand', 'lengte' en 'gebeurtenis'.

3.    Tijd en de natuurkundige gebeurtenis  

Uit een symmetrie beschouwing is af te leiden dat de grootte van de snelheid van een bewegend stelsel ten opzichte van het stelsel-in-rust gelijk moet zijn aan de grootte van de snelheid van het stelsel-in-rust ten opzichte van het stelsel-in-beweging. Dit betekent dat de snelheid van een voorwerp even groot is als de snelheid die wij hebben ten opzichte van het voorwerp. Van dit feit zullen we altijd gebruik maken.

Wanneer we een voorwerp waarnemen dat een constante snelheid bezit, weten we uit de relativiteitstheorie dat de tijd op het voorwerp trager is dan onze tijd. Tegelijk zal een waarnemer op het voorwerp meten dat onze klokken langzamer zijn dan die van hem. Het stelsel-in-beweging en het stelsel-in-rust kunnen in dit opzicht worden verwisseld volgens de theorie.

Onder onze tijd zullen we de tijdsduur verstaan voor een gebeurtenis die we met onze klokken opmeten. Onze klok is de klok die we bij ons hebben. Onder  hun tijd zullen we de tijdsduur verstaan voor de zelfde gebeurtenis gemeten met een klok in een ander (bewegend of versnellend) stelsel.

Een identiek gebeurtenis in het stelsel-in-rust en het stelsel-in-beweging gaat voor de verschillende waarnemers gepaard met een identieke tijdsduur op hun klokken.
Uiteraard gebruiken alle waarnemers identieke klokken d.w.z. klokken die, als ze naast elkaar staan opgesteld, exact dezelfde tijd blijven aangeven. Ze lopen dan even snel. Ik stel voor om deze gezamenlijke eigenschap te omschrijven als: ze hebben dezelfde tijdsnelheid  .

                  Zie:

5.  Einstein A 1916 Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie  Die Annalen der Physik Vol 49 p 822]  
6.  Newcomb S 1884 Transits of Mercury 1677-1881  Report of the Counsel to the Sixty
fourth Annual general Meeting of the Royal Astronomical Society  p 187

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Blad 4
--------------

Deze klokken vertonen als ze in een ander stelsel worden geplaatst een andere tijdsnelheid. Hierbij moeten we onder een stelsel alle materiële punten verstaan die zich onderling op een constante afstand bevinden en eenzelfde grootte van versnelling ondervinden. In dergelijke punten heerst een gelijke tijdsnelheid.   Uit de snelheid van een object en zijn plaats in een zwaartekrachtveld of een versnellingsveld kan de tijdsnelheid van zijn klok worden omgerekend naar de tijdsnelheid van onze klok. 

Uit de speciale relativiteitstheorie volgt dat de tijdsnelheid in een stelsel, dat zich met constante snelheid v m/s  beweegt ten opzichte van ons stelsel en geen versnellingen ondervindt, afgenomen is met de factor:

Bij benadering geldt voor deze factor  

                   of ook:  

       

Dit betekent dat een goed omschreven fysische gebeurtenis die op een bewegend object volgens hun tijd in T sec

 plaatsvindt volgens onze klokken een tijdsduur vraagt van  sec .

Ø         We zullen meestal vanwege de begrijpelijkheid de aangegeven benaderingen gebruiken. Deze gelden voor v << c .   

Ø         De uitdrukking                        wordt de

 Lorentzfactor genoemd. Er geldt γ >1 als v>0


Bijvoorbeeld: wanneer we een trein zien passeren met een snelheid van v m/s waarop een flitslicht is gemonteerd dat iedere T sec flitst, zullen wij op onze klokken meten dat de tijdsduur tussen de flitsen gelijk is aan 
    sec . Het maakt niet uit in welke richting de trein beweegt mits er wordt gecorrigeerd voor de tijdsduur van het licht over de afstand.

Als hetzelfde flitslicht in onze nabijheid wordt geplaatst, zullen we op onze klokken elke T sec een flits meten. De 
waarnemers in de trein zullen op hun klokken iedere  sec een flits waarnemen. Deze waarnemers
 zullen namelijk hun trein als het stelsel-in-rust beschouwen en de gebeurtenis van een flits als een gebeurtenis in een bewegend stelsel.

 

  
 4.        De Lorentzcontractie  

Albert Einstein leidde in zijn artikel over de speciale relativiteitstheorie (zie..7) de formule af:    sec 

voor de tijd in het stelsel-in-beweging op de plaats x en op het tijdstip t in het stelsel-in-rust. Deze formule laat een vertraging van de tijdsnelheid zien met de factor 

 

voor de klokken in het bewegende stelsel.

Merk op dat het tijdsverschil tussen twee punten op de plaatsen x en   in ons stelsel gelijk is aan

   sec. 

Vanuit het stelsel-in-rust gezien, loopt de voorste klok met dat tijdsverschil achter op de achterste klok. 

De factor γ zullen we meestal verwaarlozen.

 Einstein kwam ook met een formule  meter voor de plaats ξ langs de Xas in het bewegende stelsel. De Xas wordt langs de voortbewegingsrichting van het bewegende stelsel gekozen.  

 

7.  Einstein A 1905 Zur Elektrodynamik bewegter Körper Annalen der Physik Vol 17  
_______________________________________________________________________

 

Blad 5
------------

Uit de formule volgt dat indien een bewegend voorwerp zich op t = 0  uitstrekt tussen de punten  x = 0 en x = ℓ in het stelsel-in-rust,  het heeft volgens ons dus een lengte van meter, dat dan de coördinaten in het stelsel-in-beweging op dat moment gelijk zijn aan ξ = 0 en  meter. Het bewegende voorwerp is dus langer in het stelsel-in-beweging dan in ons stelsel. Einstein gaf hier de interpretatie aan dat een voorwerp met de lengte γ.ℓ meter in het bewegende stelsel een daadwerkelijke fysieke lengtecontractie had ondergaan tot een lengte van meter in het stelsel-in-rust.
Bedenk dat het voorwerp zich gelijktijdig in beide stelsels ophoudt.  

Er bestaat veel verwarring rond dit verschijnsel dat bekend staat onder de naam Lorentzcontractie (minder gebruikelijk: LorentzFitzgeraldcontractie) zoals we kunnen concluderen uit de vele paradoxen die op deze contractie zijn gebaseerd, zoals: de 'tunnelparadox', de 'ladder en schuurparadox' en de 'Ehrenfestparadox'.
Wanneer een auteur claimt de paradox te hebben opgelost en hij komt met een verklaring hoe de tegenstrijdigheid kan bestaan dan blijkt hij altijd in conflict te komen met de natuurkundige werkelijkheid. Hier komen we op terug.

 Albert Einstein was overtuigd van zijn interpretatie. In zijn artikel uit 1905 bespreekt hij de lengte van een voorwerp dat in rust wordt opgemeten (a) of op hetzelfde moment uit de plaatsen van het beginpunt en het eindpunt (b). Hij schrijft op blz. 895:
 
Als we nu op basis van onze beide principes de lengte bepalen volgens de methode b),  die we "de lengte van de bewegende staaf in het stelsel-in-rust" zullen noemen, dan zullen we vinden dat deze lengte van    verschilt.
In de kinematica gaat men er gewoonlijk stilzwijgend vanuit dat de lengten die via de beide vermelde methoden worden bepaald, precies aan elkaar gelijk zijn, met andere woorden dat een bewegend, onvervormbaar voorwerp op zeker tijdstip geometrisch gezien volledig door hetzelfde voorwerp, als het op de betreffende plaats in rust zou zijn, kan worden vervangen. 

Zijn interpretatie beperkte zich niet tot bewegende voorwerpen doch objecten die zich in een zwaartekrachtveld bevinden, zouden volgens Einstein eveneens in de richting van de versnelling van het zwaartekrachtveld krimpen.

Dit idee van Einstein is verkeerd zoals we op basis van natuurfilosofische argumenten zullen aantonen.  

5.        Argumenten tegen de Lorentzcontractie 

 

Zoals we zagen uit de tijdformule loopt een klok zoals de waarnemers in het stelsel-in-rust het zien aan het achtereind van een voorwerp met een lengte meter en een snelheid van v m/s vóór met
  
ten opzichte van de klok vooraan.

We gaan er van uit dat de klokken in het bewegende stelsel, volgens de waarnemers die meebewegen met het voorwerp, gelijklopen . De vraag is hoe deze klokken een tijdsverschil hebben kunnen ontwikkelen als ze vanuit rust toen er nog geen tijdsverschil was zijn versneld tot ze hun snelheid v hadden.

Stel je het volgende voor:
In het begin stond het voorwerp stil in het stelsel-in-rust. Vervolgens werd het versneld met g m/s2 en op zeker moment zien de waarnemers in het stelsel-in-rust het voorwerp met de snelheid v m/s passeren. Het wordt niet meer versneld.

 

Blad 6
----------------

Wat is er allemaal gebeurd?
De waarnemers op het voorwerp ondergingen een versnelling waarbij de voorste klok sneller loopt met  
  
dan de achterste klok.
Dit verschil in tijdsnelheid hoort bij versnelling zoals een verschil in tijd tussen voorste en achterste klok hoort bij de snelheid. Omdat zwaartekracht en versnelling equivalent zijn doet dit verschijnsel zich ook voor in een zwaartekrachtveld: een klok op de top van een toren loopt sneller dan een identieke klok op de grond. Dat verschil in tijdsnelheid is constant, maar daardoor bouwt zich wél een toenemende tijdsverschil op!
Daarom zal op het voorwerp wanneer ten gevolge van een constante lineaire  versnelling na   

de snelheid  v = g.t  m/s is bereikt de voorste klok met
   
voorlopen op de achterste klok volgens de meebewegende waarnemers.

Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust echter ondervinden de voorpunt en de achterpunt op ieder moment precies dezelfde versnelling  en ze zullen op exact dezelfde tijd dezelfde snelheid bereiken. Als de klokken in het begin gelijkliepen, zullen ze nog steeds gelijklopen volgens deze waarnemers.
Beide punten zullen ook op ieder moment exact dezelfde afstand hebben afgelegd in het stelsel-in-rust. De afstand tussen de twee punten kan dus niet veranderd zijn, gezien vanuit het stelsel-in-rust.
Uiteraard lopen beide klokken wel langzamer dan de klokken in het stelsel-in-rust vanwege hun snelheid, maar dat doen beide klokken in dezelfde mate. De waarnemers in het stelsel-in-rust vinden het een plezierige gedachte dat de klokken in het stelsel-in-beweging gelijklopen net als hun eigen klokken.
Daar hebben de waarnemers in het stelsel-in-beweging echter geen boodschap aan. Volgens hun loopt de voorste klok vóór.  

Als wij (en Einstein) over een met constante snelheid bewegend stelsel spreken, gaan we er van uit dat de klokken in dat stelsel gelijklopen.  

Dat is echter precies wat de waarnemers in het stelsel-in-beweging ook willen. Daarom zullen deze waarnemers als ze een constante snelheid hebben bereikt hun klokken gelijk zetten, dus de voorste waarnemer zet zijn klok een stukje terug of de achterste zet zijn klok een stukje vooruit. Dit heeft tot gevolg dat de voorste klok van het bewegende stelsel volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust plotseling met 
 
achterloopt op de achterste.

Onze eis van gelijklopende klokken in het bewegende stelsel ligt aan de basis van het tijdsverschil op de klokken van het stelsel-in-beweging. Het spreekt voor zich dat 'het gelijkzetten van de klokken' geen enkele invloed heeft op de lengte van het bewegende voorwerp.  

Dit is een eerste argument tegen de Lorentzcontractie.  

Voor een tweede argument zoeken we een filosofische definitie van het relativiteitsbeginsel. Ons uitgangspunt is het volgende axioma: iedere willekeurige waarnemer zal onafhankelijk van zijn bewegingstoestand – op een zekere plaats dezelfde reeks van natuurkundige gebeurtenissen  waarnemen. 

Opmerking: die 'zekere plaats' kenmerkt zich overigens door de reeks opeenvolgende natuurkundige gebeurtenissen.  

 


Blad 7
--------------------

Dit betekent:

"Iedere waarnemer heeft met  dezelfde natuurkundige werkelijkheid te maken".

Dit leidt tot een relativiteitsbeginsel dat we als de grondregel voor de natuurkunde kunnen beschouwen:

 " Er bestaat slechts één natuurkundige werkelijkheid ".  

Ø       Het relativiteitsbeginsel dat door Einstein wordt gehanteerd, beperkt zich tot de vorm van de  natuurkundige formules die in het bewegende stelsel geldig zijn.    

Laten we een gedachteexperiment doen. Neem aan dat de Lorentzcontractie werkelijk bestaat. We kunnen dan twee donkere schermen bedenken die vlak langs elkaar kunnen bewegen en elkaar daarbij tijdelijk bedekken. Het grootste scherm bevat een open gedeelte. Het kleinste scherm heeft precies de afmetingen van de opening in het grote scherm. Het kan precies de opening afdekken zodat er geen licht doorheen gaat.
Als we waarnemen dat de schermen met dezelfde maar tegengestelde snelheid langs elkaar bewegen, zullen beide een Lorentzcontractie ondervinden, maar er zal geen licht door de opening kunnen komen op het moment dat het kleine scherm voor de opening langstrekt omdat beide schermen vanwege dezelfde absolute snelheid dezelfde Lorentzcontractie ondervinden.

Als we ons nu in de plaats denken van een waarnemer die zelf in het stelsel-in-rust met een tussenliggende snelheid langs dezelfde as als de schermen beweegt dan hebben de schermen verschillende snelheden ten opzichte van deze waarnemer. Dan zijn er twee mogelijkheden:  

Ø         Het scherm met de opening beweegt het snelst, dus de opening is meer gekrompen dan het kleine scherm. Gedurende korte tijd wordt er geen licht doorgelaten.

Ø         Het kleine scherm beweegt het snelst en zal het sterkst krimpen. Dan zal er nooit een moment zijn waarbij het licht volledig wordt tegengehouden.

 Als er dus twee waarnemers zijn waarvan de één meer meebeweegt met het grote scherm en de ander met het kleine scherm constateren we dat op het moment dat het kleine scherm het grote scherm passeert de eerste waarnemer er licht doorheen ziet komen terwijl de tweede waarnemer er géén licht doorheen ziet komen.
De twee waarnemers nemen op dezelfde plaats twee verschillende reeksen natuurkundige gebeurtenissen waar. Dit gaat in tegen ons zojuist gedefinieerde relativiteitsbeginsel met andere woorden: dat kan niet.

Dit is een tweede argument tegen de Lorentzcontractie.  

De natuurkundige werkelijkheid is dat er een moment van totale onderbreking van het licht is. We achten dit bewezen voor de situatie waarbij de schermen gelijke maar tegengestelde snelheden hadden.
Deze natuurkundige werkelijkheid blijft gelden als het ene scherm stilstaat en het andere beweegt. 

Dit betekent dat het bewegende scherm volgens de stilstaande waarnemers zijn afmetingen moet hebben behouden.

De conclusie is dat de Lorentzcontractie niet bestaat, zelfs niet als een optische illusie.  

In de volgende paragrafen zullen we het werkelijke effect van de tijdvertraging op bewegende voorwerpen vanuit een meer wis en natuurkundig perspectief  onderzoeken. Dit zal ten overvloede aantonen dat de Lorentzcontractie een volstrekt overbodige aanname is geweest.

 

Blad 8
-------------

 

6.        De afgelegde afstand en het tijdlijnendiagram  

Een gebeurtenis vindt bijvoorbeeld plaats in een stelsel-in-beweging en kan worden waargenomen vanuit het stelsel-in-rust. Op onze klokken duurt de gebeurtenis langer dan op de klokken in het bewegende stelsel. Omgekeerd als de gebeurtenis in het stelsel-in-rust plaatsvindt, zullen de klokken in het stelsel-in-beweging er een langere tijdsduur voor meten.

Het afleggen van een zekere afstand door een bewegend voorwerp, of stelsel, is een bijzondere natuurkundige gebeurtenis die in dezelfde mate bij het stelsel-in-rust hoort als bij het bewegende stelsel.
Het is een wederzijdse gebeurtenis. Het bewegende stelsel legt met een zekere snelheid een afstand af in ons stelsel en ons stelsel legt met dezelfde snelheid een afstand af in het bewegende stelsel. In beide stelsels gebeurt hetzelfde met het andere stelsel.
Op het moment dat de tijdsduur op de klokken van het stelsel-in-beweging dezelfde waarde heeft aangenomen als de tijdsduur op onze klokken die gemeten was toen het bewegende stelsel een zekere afstand had afgelegd in ons stelsel, zeggen we dat ons stelsel dezelfde afstand heeft afgelegd in het bewegende stelsel. 
We weten dat de tijd in het stelsel-in-beweging achterloopt.
 Het eind van de gebeurtenis vindt dus niet op hetzelfde moment plaats vanuit de verschillende stelsels gezien.

We definiëren eerst het begrip afgelegde afstand. De afgelegde afstand van een massa (of een golfverschijnsel) in een stelsel is het product van gemeten tijdsduur en snelheid (ten opzichte van dat stelsel). 
De tijdsduur hangt af van het stelsel van waaruit men deze gebeurtenis opmeet. Als we de tijdsduur opmeten voor het afleggen van de afstand tussen twee punten met de klokken in het stelsel-in-rust  'waarin de afstand wordt afgelegd' is de afstand gelijk aan de lengte van de afstand tussen de punten. De lengte is dus een speciaal geval van de afgelegde afstand. 
Als we de tijdsduur gebruiken van een klok in een stelsel dat in beweging is ten opzichte van het stelsel waarin de afstand is uitgezet dan heeft de afgelegde afstand een kleinere waarde dan de lengte vanwege de langzamere tijdsnelheid van die klok.
De afgelegde afstand is een identieke gebeurtenis voor beide stelsels als de tijdsduur op de klokken in beide stelsels gelijk is. Om de identieke gebeurtenis van eenzelfde afgelegde afstand te bereiken, moet het bewegende stelsel nog enige tijd voortbewegen.

Een trein heeft de lengte  tussen de achterpunt B en de voorpunt A. De 'lengte' is in rust gemeten. De snelheid van de trein is v m/s. Het punt A legt een afstand af met eveneens de lengte tussen twee punten K en L langs de spoorbaan. We noemen KL het spoorbaanstelsel.
Het punt K beweegt met dezelfde maar tegengestelde snelheid tussen A en B in de trein. Het stelsel AB noemen we het treinstelsel.
De klokken in het stelsel KL lopen onderling gelijk evenals de klokken in het stelsel AB.
Uiteraard, zo zullen we nog zien, lopen de klokken van beide stelsels over en weer  niet gelijk.
Als A het punt K passeert, worden de tijdstippen op de klokken die zich in K en A bevinden als de nulpunten T = 0 genomen.  

We zullen het tijdverloop in beide stelsels samen in één grafische figuur (fig 1) weergeven. Dit is het tijdlijnendiagram. Horizontaal loopt de Xas. De tijd in de trein vertoont een verloop volgens de waarnemers langs de spoorbaan. Dit wordt weergegeven met de dalende lijn BA en zijn verlengden. Op vergelijkbare wijze verloopt de tijd langs de spoorbaan volgens de waarnemers in de trein zoals weergegeven met de stijgende lijn KL en zijn verlengden.
De trein en de spoorbaan bevinden zich langs de Xas. Het zijn dus de lijnen  die een hoek met de Xas hebben die het tijdverloop aangegeven .
 

 

Blad 9
-----------

In dit diagram wordt het tijdsnelheidsverschil weerspiegeld door de hellingshoek van de lijn.  In deze figuur wordt recht gedaan aan de symmetrie tussen de waarnemingen vanuit de trein en vanaf het talud langs de spoorbaan.

De tijdschaal in verticale richting is meestal sterk vergroot (als v<<c) om de tijdsverschillen tot uiting te laten komen. De tijden op de klokken van de trein en langs de spoorbaan op een zeker punt zijn, zoals we zien, overal verschillend behalve in een punt waar de lijnen elkaar snijden. Daar zijn de tijden gelijk.  

In de figuur bevindt de trein zich links van de verticale lijn PP . Het punt A van de trein passeert het punt K van de spoorbaan. Voor dit moment geldt voor de tijd:  TA = TK = 0 .

Het tijdsverschil op de plaats x = waar B zich bevindt en het stelsel van de spoorbaan is op die plaats:  

 

Ø         Voor v << c is γ ≈ 1.  

In het volgende tijdlijnendiagram (fig 2) zien we aan de rechterzijde van de verticale lijn PP de tijdlijn van de trein AB aangegeven op het moment dat de voorpunt A het punt L langs de spoorbaan passeert.  

 

Blad 10
--------------

      

Volgens de waarnemers in het spoorbaanstelsel KL heeft de trein er T = ℓ/v sec over gedaan om L te bereiken. Dit is een afstandsgebeurtenis in het stelsel van de waarnemers langs de spoorbaan: de afstand   wordt met de snelheid v in T = ℓ/v sec afgelegd.

Met de tijdformule van Einstein kunnen we eenvoudig berekenen welke tijd er op de klok van A moet staan:


Een identieke gebeurtenis moet in het stelsel van de trein ook T = ℓ /v sec beslaan.

Wanneer het punt A het punt L passeert, vertoont  A echter de tijdsduur 
 
Hij heeft een kleine tijdachterstand van

De afstandsgebeurtenis is dus nog niet voltooid volgens de waarnemers in de trein ondanks dat het punt A en het punt L op exact dezelfde plaats zijn. Het punt A zal nog een stukje
 
moeten afleggen.  
 

Bedenk verder dat op het moment dat de klokken A en L elkaar ontmoeten de tijdaanwijzing op de klokken de gebeurtenis markeren. Iedere waarnemer, in welke bewegingstoestand hij zich ook bevindt, zal deze zelfde tijdaanwijzingen waarnemen als A en L elkaar passeren. Dit is de eis van ons relativiteitsbeginsel:
               
                       " Er bestaat slechts één natuurkundige werkelijkheid ".  

Ø         Een voorbeeld: over de populaire bezigheid van het wedstrijdtaartbakken. Als twee taartbakkers even snel zijn, dan zal de bakker in het stelsel-in-rust net de laatste twee kersen op zijn taart hebben geplaatst terwijl de bakker in het bewegende stelsel de laatste kers nog ter hand moet nemen. Dit verneemt hij van juryleden die zich langs de baan van het bewegende stelsel hebben opgesteld en die er op hebben toegezien dat de bakkers gelijktijdig zijn begonnen. 
De eerste bakker denkt dat hij gewonnen heeft. De juryleden in het bewegende stelsel zien echter dat op het moment dat hun bakker de laatste twee kersen plaatst zijn tegenstrever in het stelsel-in-rust de laatste kers nog ter hand moet nemen.
De crux zit in de verplaatsingen. De twee gebeurtenissen zijn niet direct met elkaar te vergelijken vanuit één stelsel. Wel door een waarnemer die de twee stelsels symmetrisch kan bekijken. Alleen als de bakkers elkaar op het ultieme moment passeren, zal iedere waarnemer zien dat het een 'ex aequo gevalletje' is.

Blad 11
------------

  
7.        Consequenties voor de Lorentzcontractie


Wanneer een 'neutrale' waarnemer op de plaats P  naar de gebeurtenis kijkt (fig 3) vanuit een stelsel dat met de halve snelheid voortbeweegt, zal hij waarnemen als gevolg van de symmetrie dat op het moment dat A het punt L passeert, het punt K ook het punt B passeert. Het is niet nodig de tijden op de klokken van K en B uit te rekenen omdat deze vanwege de symmetrie precies de tijden moeten aangeven die al op de klokken van A en L stonden, maar dan verwisseld.  

Bedenk daarbij dat de neutrale waarnemer, die slechts de halve snelheid  bezit, niet opnieuw de tijden hoeft te berekenen die op de klokken van A en L staan tijdens de ontmoeting want dat is een puntgebeurtenis die door iedere waarnemer op dezelfde manier wordt gezien.

De klok van K moet dus de tijd
 

 laten zien en de klok B moet de tijd

 
vertonen.
We vinden nu een buitengewoon resultaat. Op het moment dat A de tijd  


vertoont, moet het nog

voortgaan voor het de identieke gebeurtenis heeft voltooid.  Dit komt overeen met
 
naar rechts in het spoorbaan stelsel KL.

De 'neutrale' waarnemer zal constateren dat het punt K ook gedurende eenzelfde tijd
 

in de tegenovergestelde richting moet bewegen om de identieke afstandsgebeurtenis te voltooien. Dit komt overeen met


naar links in het treinstelsel AB. In deze situatie is de afstand tussen A en K  dus 

 

minder dan de afgelegde afstand
  die nodig is  om de identieke gebeurtenis te realiseren.

Dus op het tijdstip TL = TB = ℓ/v sec  heeft A een afstand van
 

afgelegd in het stelsel van KL en K heeft dezelfde afstand afgelegd in het stelsel van AB.
 

Blad 12
--------------

Wanneer het punt A zijn afstandsgebeurtenis heeft voltooid, zal het zich dus in het stelsel-in-rust op een afstand 
 

van K bevinden. Dit is
   

voorbij het punt L .

Voor K geldt hetzelfde:

  van A en
  

 voorbij het punt B .

Dit buitengewone resultaat zal door iedere waarnemer worden waargenomen want het is een puntgebeurtenis. De bereikte afstand

kan worden gemarkeerd in het stelsel-in-rust en samen met de tijd op de klok van het bewegende stelsel T K = TA = ℓ/v  sec worden waargenomen.

 Omdat de afgelegde afstand met de lengte    willekeurig is gekozen, geldt het voorgaande niet alleen voor de punt van een trein, maar:

Ø    Ieder voorwerp dat met een snelheid van v m/s in t = ℓ/v sec een afstand van meter aflegt in het stelsel-in-rust zal volgens de klokken van de meebewegende waarnemers een extra afstand van
                                    

afleggen om dezelfde afstandsgebeurtenis te volbrengen . De  afgelegde afstand door het voorwerp zal dan in het stelsel-in-rust een lengte hebben van γ2.ℓ  meter.

De klokken in het stelsel-in-rust vertonen op dat moment de tijd γ
. t sec .

Toelichting: Wanneer het punt A de plaats γ2.ℓ meter heeft bereikt in het stelsel-in-rust verwachten we ten onrechte dat de tijd de waarde γ2.T sec moet hebben in het stelsel-in-rust. Bedenk het volgende: de plaats van A in het stelsel-in-rust na 2T sec is 2 meter. De tijd op de klok van A is dan 2T/γ sec . 
Omdat A γ keer zoweinig tijd nodig heeft om een afstand af te leggen, kan je zeggen dat A γ keer zoveel afstand aflegt in dezelfde tijd. Als A de identieke afstand heeft afgelegd, staat op de klok van A de tijd 2T sec . Op de klokken in het stelsel-in-rust staat dan de tijd 2γT sec . De afstand die A heeft afgelegd in dezelfde tijd is dan γ keer zo groot:  γ2.2T meter.
Bij dit alles geldt nadrukkelijk v<<c .
 

In het parallel geplaatste artikel (zie..8)"De uitglijder van Einstein" in §7 wordt uitgebreid ingegaan op dit probleem door de Lorentztransformaties niet als een transformatie van tijd en ruimte te zien, maar als een transformatie van de tijd en de afgelegde afstand.

Er is dus geen reden voor het bestaan van de Lorentzcontractie van een voorwerp. De contractie van een afgelegde afstand kan volledig worden begrepen vanuit de invloed die de tijdsnelheid heeft op de afgelegde afstand. Daarmee wordt de dynamica die uit de relativiteitstheorie voortvloeit een stuk begrijpelijker.  

8.  Dorrestijn H J 2018 De uitglijder van Einstein" ,  www.einsteingenootschap.nl   
___________________________________________________________________________

Blad 13
-------------

 

  8.    Tijdsnelheid in een versnellingsveld  

In de algemene relativiteitstheorie spelen bij de bewegingen van voorwerpen ook versnellingsvelden een rol. Einstein nam aan dat van een star voorwerp ook in dit geval de lengte zou afnemen in de richting van de versnelling. 
Wij zullen laten zien dat we de resultaten die Einstein berekende ook kunnen vinden door af te zien van de Lorentzcontractie en uitsluitend gebruik te maken van de tragere tijdsnelheid in het versnellingsveld en de verandering op de afgelegde afstand die dit tot gevolg heeft.

Eerst moeten we enig idee krijgen van het gedrag van de tijd in een versnellingsveld. Het is belangrijk te weten dat het zwaartekrachtveld van een massa M een versnellingsveld is. Zelfs een lichtstraal wordt er in versneld met andere woorden de lichtstraal valt even hard naar beneden als een gewoon stoffelijk voorwerp. Daaruit blijkt al de zwaartekracht niet gelijk moet worden gesteld aan de kracht op een stoffelijk voorwerp, maar eerder moet worden gezien als een eigenschap van de omgeving van de massa M.
We beginnen met een homogeen versnellingveld. Een trein die door zijn motoren een constante versnelling ondergaat, is een voorbeeld van een dergelijk homogeen veld. Het is echter niet de trein die zich in een homogeen versnellingsveld bevindt, maar het homogene veld bevindt zich in de versnellende trein. Een balletje dat waar dan ook op de vlakke grond in het gangpad wordt gelegd, zal met een steeds grotere snelheid naar de achteruitgang rollen.

Een uitvoerig onderzoek naar het gedrag van de klokken (zie "Het Klokkenpostulaat" op deze website §1) in de trein vergeleken met de klokken op het perron waar de versnelling (g m/s2) van de trein (lengte meter) begint, laat het volgende zien (zolang de snelheid van de trein nog te verwaarlozen is):

Blad 14
---------------


In het zwaartekrachtveld moet een waarnemer die in vrije val verkeerd worden gezien als een waarnemer in het stelsel-in-rust terwijl de waarnemer die de aantrekkingskracht van de massa daadwerkelijk voelt zich "in de trein bevindt".

 

Met deze uitdrukking kan door integreren de tijdsnelheid in een willekeurig punt van een bekend versnellingsveld zoals van de zwaartekracht, middelpuntvliedende kracht, Corioliskracht, de elektrostatische kracht, enzovoort worden berekend. In de genoemde velden is immers de versnelling g in ieder punt bekend.

We gaan nu onderzoeken hoe groot de afgelegde afstand is in een gravitatieveld vergeleken met een identieke gebeurtenis (van een afgelegde afstand) in de verre ruimte. 
We beschouwen een object P dat zich met de snelheid v verplaatst van object A naar B. Zie fig. 4 . De snelheid v is zo langzaam dat het effect daarvan op de tijdsnelheid volstrekt te verwaarlozen is in vergelijking tot de tijdvertraging door het zwaartekrachtveld zelf.  
Op zeker moment T = 0 passeren de objecten A en P elkaar. Dat is een puntgebeurtenis dus iedere waarnemer ziet het en leest ook de tijd  T = 0 sec af op de klokken van A en B.
 


Blad 15
---------------



De afstand wordt dus γr2 keer zo groot.



Ø   In het geval de tijdvertraging door de snelheid niet kan worden verwaarloosd, kan deze gewoon bij de tijdvertraging door het zwaartekrachtveld worden opgeteld.  

Blad 16
-------------

9.    De Ehrenfestparadox

In 1909 werd Einstein geconfronteerd met een probleem dat door Paul Ehrenfest (zie..9) was geformuleerd en dat hem de nodige hoofdbrekens bezorgde: een roterende starre schijf. Als namelijk de Lorentzcontractie werkelijk zou bestaan, dan zou de omtrek 2πR  van de schijf vanwege zijn snelheid krimpen terwijl de straal  R niet zou krimpen. Dat zou in strijd zijn met de gewone (Euclidische) meetkunde. Einstein kwam hier niet uit en nam zij toevlucht tot een wiskundige oplossing waarbij de ruimte gekromd kan zijn. Het invoeren van de foutieve Lorentzcontractie lokte opnieuw een foutief begrip uit: de gekromde ruimte.  

We zullen dit probleem analyseren in het licht van de verworpen Lorentzcontractie. Daarbij moeten we bedenken dat de cirkelvormige beweging van een materieel punt van de schijf een naar buiten gerichte versnelling op dat punt zal veroorzaken. We mogen dit versnellingsveld op dezelfde wijze behandelen als het zwaartekrachtversnellingsveld Veronderstel dat de omlooptijd T sec is volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust. De afgelegde is dan 2πr meter volgens deze waarnemers. 

Op de afstand  r van het centrum van de schijf is de snelheid van het punt v = 2πr/T   m/s.

Vanwege de snelheid is de tijdsnelheid dan trager met een factor
  

 Het punt ondervindt echter ook een versnelling ter grootte van v2/r m/s2

Dit leidt andermaal tot een tragere tijdsnelheid met de factor
  
 

Samen leidt dat tot een tragere tijdsnelheid met de factor
  
voor een klok op een draaiende schijf die een snelheid v m/s heeft ten opzichte van de klokken in het stelsel-in-rust.  
Een klok op een draaiende schijf moet ook de gebeurtenis van één omloop volbrengen in T sec volgens zijn eigen klok. Volgens de klokken van de waarnemers in het stelsel-in-rust vraagt dat  γ2T sec .  

Hieruit volgt dat een punt op de plaats r op de draaiende schijf de omloop niet beëindigt op de plek waar hij startte, maar
  
verder. Daar bevindt zich zijn volgende beginpunt.  

Ø       Het beginpunt zelf van de omloop verplaatst zich dus en beschrijft dezelfde cirkel. Laten we dit verschijnsel de "cirkelrotatie" noemen. In §2 bespraken we dit verschijnsel al met betrekking tot de baan van Mercurius. De cirkelrotatie heeft een zekere snelheid, de cirkelrotatie snelheid die gelijk moet zijn aan
  

De conclusie is dat er geen deformatie van de schijf van Ehrenfest optreedt. We moeten het zo begrijpen dat de tijdsnelheid er de oorzaak van is dat ieder punt van de draaiende schijf
 
meer afstand nodig heeft dan 2πr meter om de omloop volgens de klok te voltooien. Een punt op de schijf heeft voor één omloop dus


 nodig gezien vanuit het stelsel-in-rust. Dat komt neer  ( mits v<<c op  γ4.2πr meter. Op dat moment laten de klokken in het stelsel-in-rust de tijd t = γ2.T  sec zien.  

Blad 17
-----------

Wanneer we de Ehrenfestparadox op deze manier bekijken, blijkt dat de omtrek van de schijf helemaal niet is gekrompen. De Euclidische meetkunde behoudt zijn geldigheid. 
Het begrip 'gekromde ruimte', dat ondermeer op de Ehrenfestparadox is gebaseerd, zou wel eens een misvatting kunnen zijn.
 

Ø       In het artikel "Het Klokkenpostulaat" op deze website is veel meer te vinden over het tijdgedrag van klokken in draaiende stelsels.  

___________________________________________________________________________
9. 
Ehrenfest P 1909 Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie 
Physikalische Zeitschrift
23  p 918

____________________________________________________________________________

 

    10.    De afbuiging van een lichtbundel


Het blijkt dat een lichtstraal in een zwaartekrachtveld een afbuiging vertoont alsof de lichtstraal door de massa wordt aangetrokken. Dat is natuurlijk raar voor licht dat geen massa heeft. Einstein stelde dat de afbuiging het dubbele is van wat met de valversnelling wordt berekend want het effect van de kromming van de ruimte moest er nog bij worden opgeteld. Uit metingen bleek dat de afbuiging precies overeen stemde met de berekening (lit.5) die Einstein had uitgevoerd. Bravo!  

Wij zullen in deze paragraaf laten zien dat we de afbuiging van een lichtstraal in het zwaartekrachtveld uitsluitend het gevolg is van de tragere tijdsnelheid in het zwaartekrachtveld. De aantrekkingskracht speelt geen rol en we kunnen het concept 'kromming van de ruimte' , een gevolg van de aanname van de Lorentzcontractie, verwerpen. Dat scheelt één aanname in de relativiteitstheorie wat, volgens "Het scheermes van Ockham", een verbetering van de theorie betekent.

 We maken in gedachten een opstelling en laten een lichtstraal de afstand afleggen tussen twee stilstaande punten P1 en P2 op een staaf die zich meter van elkaar bevinden. 
Wanneer een klok niet aan tijdvertraging onderhevig is, zal de tijdsduur die de lichtstraal er over doet om de afstand tussen de twee punten te overbruggen, gelijk zijn aan T0=ℓ/c sec .

 We plaatsen vervolgens eenzelfde opstelling van meter in het zwaartekrachtveld van een ster op een afstand van r meter van zijn centrum. Dit gaat natuurlijk niet vanzelf: de staaf zal met raketmotoren op zijn plaats moeten worden gehouden.  

De klok (in de verre ruimte) zal dezelfde tijdsduur  T0 = ℓ/c sec meten waarbij het niet uitmaakt of de opstelling in het zwaartekrachtveld of in de verre ruimte is geplaatst. De lengte blijft immers onverlet.

 De tijdsnelheid van een klok in het zwaartekrachtveld is een factor γr keer trager dan in de verre ruimte. Als de lichtstraal de afstand van meter in het zwaartekrachtveld aflegt, zal de tragere klok van de waarnemer die zich bij de opstelling bevindt, een tijdsduur aangeven van  Tr  = T0r  meter sec. Dan heeft de lichtstraal echter nog niet de afstand van meter afgelegd maar een afstand van Tr . c = ℓ/γr  meter. Minder dan meter.  

Blad 18
---------------

 

We zullen dat via een andere zienswijze verhelderen: stel dat in de verre ruimte de lichtstraal een zodanige golflengte heeft dat in de lengte van   meter precies N golven passen. Als we dezelfde lichtstraal met behulp van spiegels ook in de tegengestelde richting laten gaan, verkrijgen we N staande golven over de lengte meter.    

De golflengte van het licht is λ0=ℓ/N meter. 
De frequentie van deze lichtbundel is f0=c.N/ℓ Hz.
De tijdsduur voor het afleggen van de lengte met N golven is T0=ℓ/c sec.

Wanneer we dezelfde lichtstraal vanuit de verre ruimte via spiegels door de opstelling in het zwaartekrachtveld laten gaan dan zullen er in T0 seconde vanuit de verre ruimte N golven op de opstelling afkomen. Deze passeren volgens de lokale klok in minder tijd, namelijk T0/γr sec de opstelling in het zwaartekrachtveld (zie fig 5). De frequentie van de golven moet dan in het zwaartekrachtveld hoger zijn dan in de verre ruimte.  

De frequentie van de golven wordt fr = γr . f0  per sec . 
Als er N golven zijn gepasseerd, staat de tijd in het zwaartekrachtveld op Tr = T0r   sec. 

 We verwachten een golflengte λr = c/fr = λ0r  meter in het zwaartekrachtveld. Dat blijkt niet juist te zijn en dat zullen we toelichten.

Bedenk eerst het volgende: als we elke seconde een flits vanuit A naar B sturen dan is de tussentijd minder dan één seconde op de klok van B. De frequentie is toegenomen in het zwaartekrachtveld. Als ze worden weerkaatst dan komen ze gewoon weer elke seconde in A terug. Volgens de waarnemer in A blijft bij gebruik van zijn klok de frequentie langs de gehele weg die de lichtstraal aflegt hetzelfde. Dat geldt ook voor de waarnemer B, maar die houdt het op een hogere frequentie vanwege zijn tragere tijd.
 

Blad 19
----------------

De punten A en B liggen halverwege de lengte waar de lichtstraal langs beweegt.
Als we op zeker moment lichtstralen uit de punten P1 en P2 naar elkaar toe sturen zullen ze elkaar na ½T0 sec in punt A ontmoeten. Nogmaals ½T0 sec later hebben zich N staande golven tussen P1 en P2 ontwikkeld. 
Als we in het zwaartekrachtveld hetzelfde doen en lichtstralen uit de punten P1 * en P2 * gelijktijdig naar elkaar toe sturen, bereiken ze na ½T0 sec punt B volgens de klokken bij B. Enige tijd ½T0 sec daarna zijn er twee kanten op ook N staande golven ontstaan tussen de punten 1 en 2 .
 



We kunnen nu de totale afbuiging van een lichtbundel berekenen die op een kortste afstand R meter een massa passeert. De buitenkant van de bundel passeert op R+ΔR meter de massa.
De berekening gaat als volgt: we beschouwen twee parallel bewegende lichtstralen Wanneer ze op zekere plaats zijn (zie fig 6), bevindt de onderste lichtstraal zich op een afstand r van de massa en de bovenste op de afstand r +Δr meter.


Blad 20
----------

Aan de hand van de figuur zullen we de afbuiging van het licht berekenen. Eerste over een kort stukje en daarna voor twee lichtstralen  die vanuit oneindig komend langs de massa bewegen en weer in het oneindige verdwijnt. Hierbij zullen we moeten integreren waarbij we in gedachten ΔR  heel klein nemen.

Blad 21
--------------------

 

Deze afbuighoek geeft volgens de theorie van Huygens de richting aan waarin de bundel verder beweegt. Maar omdat een lichtstraal eigenlijk een smalle bundel is, geldt de formule voor elke lichtstraal.
Het blijkt dat de bundel 'sterk' wordt afgebogen vlakbij de massa en steeds minder naarmate de lichtstraal een grotere afstand heeft tot de massa. 

De gevonden afbuighoek is gelijk aan de hoek die Einstein hiervoor had afgeleid. Hij had hiervoor de aanname van de Lorentzcontractie nodig. Wij hebben hier laten zien dat deze aanname overbodig is mits het effect van de tragere tijdsnelheid volledig wordt meegenomen.
 

Ø         We moeten ons realiseren dat de wiskundige formules die in de gevestigde relativiteitstheorie worden gebruikt onverkort geldig blijven omdat het gezamenlijke effect van tijdvertraging en Lorentzcontractie even groot is als het door ons boven water gehaalde extra effect van de tijdvertraging: op de afgelegde afstand in het geval van een snelheid en op de golflengte in het geval van een zwaartekrachtveld.

Ø         Wat maakt het uit zal menigeen denken. Het volgende: in de gevestigde wetenschap worden de problemen uit de relativiteitstheorie vaak afgedaan met de dooddoener dat het denken in 'ruimtetijd' ons voorstellingsvermogen te boven gaat. De dooddoener is hier de boosdoener: de natuurkunde wordt gedegradeerd tot een geloof. Verder maakte het voor de mensheid enkele eeuwen geleden ook niet uit of de aarde om de zon draaide of de zon om de aarde. Wij weten nu dat ons wereldbeeld daardoor sterk is veranderd. Zo zal ook een wereldbeeld zonder 'gekromde ruimtetijd' nieuwe en wijdere perspectieven bieden.

Voor een lichtbundel die de rand van de zon passeert, vinden we hiermee de bekende waarde voor de afbuiging van 1,7'' .

De afbuiging B van het licht in het zwaartekrachtveld werd door Einstein voor het eerst in 1911  [[10] p 496] berekend. Later in 1916 publiceerde hij een tweede berekening     [5 p 822], maar in beide gevallen kwam hij niet verder dan de formule 

Als we deze formule vergelijken met (5) zien we dat Einstein er een factor 2 naast zat.

Hij vond dan ook in de eerste publicatie 0,83'', maar in de tweede vond hij met dezelfde formule op wonderbaarlijke wijze de waarde van 1,7''.

In zijn populaire  boekje voor het grote publiek uit 1916 [[11] p 100] verklaarde hij: "We moeten hieraan toevoegen dat deze afbuiging voor de helft het resultaat is van het (Newtoniaanse) zwaartekrachtveld van de zon, voor de andere helft van de geometrische verandering ('kromming') van de ruimte door de aanwezigheid van de zon".

Als we namelijk aan een lichtfoton een massa toekennen – zoals met de formule E = m.c2  kan worden gedaan – is de afbuiging door de aantrekkingskracht van de zon precies even groot als de uitkomst die hij met de formule voor B had gevonden.
Het is begrijpelijk dat hij enige aarzeling voelde om de twee waarden op te tellen en zodoende de bijdrage van een zogenaamd massaloos deeltje te moeten accepteren.

We zien dat onze verbeterde theorie dit probleem niet kent.


10. Einstein A 1911 Über den Einfluss der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes; 
Collected Papers of Albert Einstein Volume 3
 (Boston: Princeton  university Press) p.496  
11. Einstein A 1916 Mijn Theorie (Utrecht; Het Spectrum 1998) ISBN9027457581

Voor het vervolg van dit artikel: Het Artefact deel II

         Naar boven