Terug naar §4
Terug naar Inhoud vertaling 
Verder naar §6

B.        Wiskundige hulpmiddelen om algemeen covariante vergelijkingen op te stellen.

 In het voorgaande hebben we gezien dat het axioma van  algemene relativiteit tot de eis leidt dat iedere natuurkundige vergelijking covariant moet zijn bij een willekeurige  substitutie van de coördinaten x₁ …. x₄  en we  zullen ons daarom moeten afvragen hoe we dergelijke algemeen covariante vergelijkingen  kunnen vinden. We zullen ons nu met deze puur wiskundige opdracht bezighouden. Het zal blijken dat de in vergelijking (3) aangegeven invariante grootheid ds, die wij in  overeenstemming met de vlakkentheorie  van Gauss een "lijnelement" hebben genoemd, bij de oplossing een fundamentele rol speelt.

            De gedachte achter de theorie over de algemene covariantie  is de volgende. Bepaalde wiskundige grootheden (we noemen ze "tensoren"), worden in ieder coördinatenstelsel gedefinieerd door een aantal ruimtefuncties, die de "componenten" van de tensor worden genoemd. Verder zijn er bepaalde regels waarmee deze componenten, als ze in het ene stelsel bekend zijn, voor een nieuw coördinatenstelsel kunnen worden berekend , tenminste als de transformatieformules  die de twee stelsels met elkaar verbinden,  bekend zijn. Verder is kenmerkend voor deze tensoren dat de transformatievergelijkingen voor de componenten lineair en homogeen zijn. Daardoor krijgen overeenkomstige componenten in het nieuwe stelsel de waarde nul die in het oorspronkelijke stelsel de waarde nul hadden.  Wanneer bijvoorbeeld een natuurwet kan worden geformuleerd door alle componenten van een tensor nul te maken, dan is deze wet algemeen covariant. Door de wetmatigheden te onderzoeken waaraan tensoren voldoen, verkrijgen we de mogelijkheid om algemeen covariante wetten op te stellen.

 

§5        Contravariante en covariante viervectoren.

De contravariante viervector.

Het eerder genoemde lijnelement hebben we gedefinieerd door vier "componenten"  dx_ν  waarvoor de volgende transformatiewet geldig is  

(5)                  

De componenten dx'_σ worden lineair en homogeen in de componenten dx_ν uitgedrukt. Daarom kunnen  we deze coördinatendifferentialen dx_ν  als de componenten van een "tensor" beschouwen, die we in dit speciale geval een “contravariante viervector” noemen. In het vervolg noemen we iedere grootheid die zich met betrekking tot het coördinatenstelsel door vier waarden A^ν laat definiëren  en waarvoor dezelfde transformatiewet geldig is, namelijk  

(5a)                  

een “contravariante viervector”. Uit (5a) volgt ook dat de sommatie      eveneens een viervector zal zijn als A^σ evenals B^σ een viervector is. Hetzelfde geldt voor alle grootheden die hier als "tensoren"  zullen worden opgevoerd (Regel voor het optellen en aftrekken van tensoren).                                      

            Covariante viervectoren.

Vier waarden A_ν noemen we de componenten van een “covariante viervector” wanneer  bij een willekeurige keuze van de contravariante viervector B^ν het volgende geldt :  

(6)                    =  invariante grootheid.

Uit deze definitie volgt de transformatiewet die voor de covariante viervector moet gelden. Als men namelijk B^ν in het rechterlid van de vergelijking  

                      

vervangt door de uitdrukking die je krijgt uit de omgekeerde bewerking van de vergelijking (5a)

                      

dan verkrijgt men

                      

Hieruit volgt echter, omdat in deze vergelijking de B’^σ onafhankelijk van elkaar  en vrij te kiezen zijn, de transformatieregel

(7)                  

Opmerking om de schrijfwijze van de uitdrukkingen te vereenvoudigen.

            Wanneer men de vergelijkingen van deze paragraaf goed bekijkt, ziet men dat altijd gesommeerd wordt over indices die tweemaal onder het somteken optreden [bijvoorbeeld  in (5) de index ν] en dat er ook alleen maar wordt gesommeerd over twéémaal optredende indices.  Daarom is het mogelijk, zonder tekort te doen aan de helderheid, het somteken weg te laten. Daartoe voeren we het volgende voorschrift in: als een index in een term van een uitdrukking tweemaal optreedt, dan dient men hierover altijd te sommeren, tenzij uitdrukkelijk is aangegeven dat het tegendeel gewenst is.

Opmerking: Dit  voorstel heeft later de naam Einstein-conventie gekregen

 

            Het onderscheid tussen de covariante en de contravariante viervector zit in de transformatieregels [zie formule (7) respectievelijk (5)].

Beide creaties zijn tensoren overeenkomstig de eerdergenoemde algemene opmerking; daarin schuilt het belang om ze te ten tonele te voeren.

In overeenstemming met Ricci en Levi–Civita heeft de letter die de component van een contravariante viervector aangeeft een bovenindex en die voor een covariante viervector een onderindex.

Terug naar begin