Paragraaf 6

 

Terug naar §5
Terug naar Inhoud vertaling
Verder naar
§7

§ 6       Tensoren van de tweede en hogere rang.

 De contravariante tensor.

De gezamenlijke 16 producten Aμν van de componenten Aμ en Bν  van twee contravariante viervectoren zijn

(8)
                   Aμν = Aμ Bν . 

Aμν voldoet volgens (8) en (5a) aan de transformatieregel

 

(9)                  

            We noemen zo’n wiskundig "ding" dat in relatie tot een zeker referentiestelsel door 16 waarden (functies) die aan de transformatieregel (9) voldoen, wordt beschreven, een “contravariante tensor” van de tweede rang. Niet iedere tensor van dit type laat zich samenstellen uit twee viervectoren op de manier van formule (8), maar men kan gemakkelijk bewijzen dat 16 willekeurig gegeven Aμν  kunnen worden samengesteld uit de som van de Aμ  en  Bν  van vier geschikt gekozen paren van viervectoren. Daarom kan men bijna alle wetten, die voor de door (9) gedefinieerde tensoren van de tweede rang gelden, het eenvoudigst bewijzen door ze aan te tonen voor speciale tensoren van het type (8).  

            Contravariante tensoren van een willekeurige rang.  

 Het is duidelijk dat men overeenkomstig (8) en (9) ook contravariante tensoren van de derde en hogere rang kan definiëren met 43 , enzovoort componenten. Evenzo blijkt uit (8) en (9) dat men in deze zin de contravariante viervector als contravariante tensor van de eerste rang kan opvatten.

            Covariante tensor.  

 Vormt men echter de 16 producten Aμν uit de componenten van twee covariante viervectoren Aμ en Bν volgens

(10)                                  Aμν = Aμ Bν ,

 

(11)                  

Deze transformatieregel definieert de covariante tensor van de tweede rang. Alle opmerkingen die eerder over de contravariante tensoren werden gemaakt, gelden ook voor de covariante tensoren.  

Opmerking. Men mag een scalair (een invariante grootheid) zowel als contravariante als covariante tensor van de nulde rang behandelen.  

Gemengde tensor.

Men kan ook een tensor van de tweede rang van het type

 

(12)                 Aμν = Aμ Bν

 definiëren die met betrekking tot de index μ covariant is en met betrekking tot de index ν contravariant is. De bijbehorende transformatieregel is dan

(13)                   .

            Uiteraard kan men gemengde tensoren vormen met willekeurig veel covariante indices en willekeurig veel contravariante indices. Men kan de covariante en de contravariante tensor opvatten als speciale gevallen van de gemengde tensor.

Symmetrische tensoren.

Een contravariante, respectievelijk een covariante tensor van de tweede of hogere rang heet symmetrisch indien de twee componenten die je verkrijgt door willekeurig twee indices te verwisselen, gelijk zijn. De tensor Aμν respectievelijk Aμν is dus symmetrisch, indien voor elke combinatie van de indices geldt:

(14)                    Aμν = Aνμ 

resp.

(14a)                   Aμν  = Aνμ  .

            Er zal bewezen moeten worden dat de aldus gedefinieerde symmetrie een eigenschap is die onafhankelijk is van het referentiestelsel. Dit volgt inderdaad uit (14) wanneer formule (9) hierop wordt toegepast:

De voorlaatste gelijkheid berust op de verwisseling van de sommatie-indices μ en ν ( dat wil zeggen louter op een notatiewijziging).

    Anti–symmetrische tensoren.

Een contravariante resp. covariante tensor van de tweede, derde of vierde rang wordt antisymmetrisch genoemd indien twee componenten, die door verwisseling van twee willekeurige indices gevonden worden, gelijk en tegengesteld aan  elkaar blijken te zijn. De tensor Aμν resp.  Aμν is dus antisymmetrisch  wanneer altijd geldt:

(15)                                  Aμν = – Aνμ

resp.

(15a)                               Aμν  =    Aνμ   .

             Van de 16 componenten Aμν  verdwijnen de vier componenten  Aμμ ; de overige zijn paarsgewijs tegengesteld gelijk aan elkaar, zodat slechts 6 getalsmatig verschillende componenten overblijven (een zesvector). Zo ziet men ook dat de antisymmetrische tensor Aμνσ (van de derde rang) slechts vier getalsmatig verschillende componenten bevat en de antisymmetrische tensor Aμνστ slechts één. Antisymmetrische tensoren van een hogere dan de vierde trap bestaan niet in een vierdimensionaal continuüm.

Terug naar begin