Terug naar §6
Terug naar Inhoud vertaling

 

§ 7  Vermenigvuldigen van tensoren.  

Het uitwendige product van tensoren.

Men verkrijgt uit de componenten van de tensor van de rang z en een andere van de rang z' de componenten van een tensor van de rang z + z' indien men alle componenten van de eerste vermenigvuldigt met alle componenten van de tweede. Zo kunnen we bijvoorbeeld de volgende  tensoren T uit twee verschillende tensoren  A en B vormen:  

                       T_μνσ       =   A_μν B_σ

                       T^αβγδ     =  A^αβ B^γδ 

                        =

            Het bewijs dat T een tensor is, volgt direct uit de aanpak van (8), (10) en (12) of uit de transformatieregels (9), (11) en (13). De vergelijkingen (8), (10) en (12) zijn zelf voorbeelden van een uitproduct (van tensoren van de eerste rang).  

            De "contractie" van een gemengde tensor.

Uit iedere gemengde tensor kan een tensor worden gevormd die in rang twee kleiner wordt indien men een covariante index gelijkstelt aan een contravariante index en  

de som neemt over deze index (zogenaamde "contractie" of verjonging).  Zo verkrijgt

men bijvoorbeeld uit de gemengde tensor van de vierde rang    de gemengde tensor van de tweede rang           

                        

en door deze nogmaals te verjongen, verkrijgt men de tensor van de nulde rang

                        

            Het bewijs dat het resultaat van de contractie daadwerkelijk een tensor oplevert, verkrijgt men of uit de definitie van de tensor volgens de veralgemenisering van (12) in relatie tot (6), of uit de veralgemenisering van (13).

            Het inwendige product en het gemengde product van tensoren.

Deze bestaan uit de combinatie van het uitwendige product en een contractie.

            Voorbeelden:   Uit de covariante tensor van de tweede rang A_μν  en de contravariante tensor van de eerste rang B^σ vormen we door het uitproduct te nemen de gemengde tensor

                        

Door contractie via de indices ν en σ  ontstaat de covariante viervector

Dit resultaat noemen we het inwendige product van de tensoren A_μν en B^σ .

Zo vormt men uit de tensoren A_μν en B^στ door het uitproduct te nemen en tweemaal te verjongen het inwendige product  A_μνB^μν  . Door het uitproduct te nemen en een eenmalige contractie, verkrijgt men uit A_μν en B^στ de gemengde tensor van de tweede rang . Men kan deze bewerking als een gemengde bewerking beschouwen want het is een uitproduct met betrekking tot de indices μ en τ en een inproduct met betrekking tot de indices ν en σ.

             We zullen nu een wet bewijzen die vaak bruikbaar is om aan te tonen of het om een tensor gaat. Zoals we zojuist hebben gezien is A_μνB^μν een scalaire grootheid als A_μν en B^μν  tensoren zijn. We beweren nu het volgende. Als A_μνB^μν voor iedere keuze van de tensor B^μν een invariante grootheid oplevert, dan is A_μν  een tensor. 

Bewijs:  Volgens de genoemde voorwaarde geldt voor een willekeurige substitutie

                       A’_στB’ ^στ = A_μνB^μν

Er geldt echter volgens de omgekeerde bewerking van formule (9)

                      

Als je dit invult in de vorige vergelijking, krijg je:

                      

            Hieraan kan bij een willekeurige keuze van B’^στ slechts worden voldaan indien de term tussen haakjes nul is, waaruit onder verwijzing naar (11) de bewering is bewezen.

            Deze wet geldt dienovereenkomstig voor tensoren van een willekeurige rang met willekeurige componenten; het bewijs verloopt iedere keer op overeenkomstige wijze.

            De wet kan ook op de volgende manier worden bewezen: Als B^μ en C^ν willekeurige vectoren zijn en als voor iedere willekeurige keuze van deze vectoren geldt dat het inproduct

                                   A_μνB^μC^ν

een scalaire grootheid is, dan is A_μν een covariante tensor. Deze laatste wet geldt zelfs als bij een willekeurige keuze van de viervector B^μ het scalaire product

                                   A_μνB^μB^ν

een scalair is, op voorwaarde dat A_μν aan de symmetrie–eis A_μν = A_{νμ ­} voldoet. Want op de eerder aangegeven manier bewijst men dan het tensorkarakter van waaruit dan wegens de symmetrie–eigenschap het tensorkarakter van A_μν volgt. Ook deze wet kan gemakkelijk worden veralgemeniseerd naar de gevallen van covariante en contravariante tensoren van een willekeurige rang.

            Tenslotte volgt uit hetgeen hier bewezen is een wet die eveneens naar willekeurige tensoren valt te veralgemeniseren: Indien de grootheden A_μνB^ν bij een willekeurige keuze van de viervector B^ν een tensor van de eerste rang vormen, dan is A_μν  een tensor van de tweede rang. Want, als namelijk C^μ een willekeurige viervector is dan is wegens het tensorkarakter van A_μνB^ν  het inproduct  A_μνC^μB^ν bij een willekeurige keuze van de beide viervectoren  C^μ en  B^ν  een scalaire grootheid, waarmee de bewering bewezen is.

 PS. Je zult bemerken dat de vertaling, laat staan de uitleg van de algemene relativiteitstheorie zoals hier gepresenteerd, nog pas klaar is tot en met  §7. Wie niet wil wachten op de rest verwijzen we naar de website:  http://www.voorbijeinstein.nl/html/artikel_art.htm van Karel de Vlieger, die sinds kort de gehele vertaling plus uitleg op de site heeft staan. Een bewonderenswaardig stuk werk. December 2014.

Terug naar begin