Uitleg §6 Maxwell


Waarschuwing
: §6 tot en met § 10 zijn knap lastig. Schaam je niet om hier of daar een vraag te stellen.

Deel II     En nu: de toepassingen!

Dat begint al goed: "Eektrodynamischer Teil" noemt Einstein dit deel. Wat een sloddervos, je ziet toch direct dat daar een typefout in zit. Was Einstein leesblind!?. . . . . . . Niets wijst daarop. De corrector van dat tijdschrift was waarschijnlijk leesblind! 

§6 Het raadsel van een elektrische stroom in een bewegende geleider in een magneetveld.

Naar Uitleg §6plus Wervelwinden en draaikolken   
Naar Uitleg §7 Sterren
Naar Uitleg §5 Optellen  
Naar Uitleg Inhoud  
Naar Vertaling §6  Maxwell          

Naar Centrale Hal

Het gebrekkige inzicht in de wisselwerking tussen bewegende magneten en geleiders inspireerde Einstein tot het opstellen van de transformatieformules. Zodra hij ze gevonden had, paste hij ze toe op alles wat bewoog. Vooral op magnetische en elektrische velden.

Bij het woord veld kan je denken aan elektrisch veld of magnetisch veld, maar ook aan een zwaartekrachtveld, een snelheidsveld of een temperatuurveld. Wanneer een natuurkundige grootheid in ieder punt van de ruimte een waarde heeft spreekt men over een veld. Bijvoorbeeld de temperatuur in een woning, die kan op elke plaats worden gemeten: een temperatuurveld (als de waarden bekend zijn, kan je daaruit de warmtestroom op ieder punt berekenen). De elektrische en de magnetische velden hebben op iedere plaats niet alleen een grootte (= sterkte) , maar ook een richting. Een fysische grootheid met een sterkte en een richting heet een vector. De elektrische en magnetische velden zijn daarom vectorvelden. Een temperatuurveld heet een scalair veld (temperatuur heeft geen richting), maar de warmtestroom in ieder punt vormt weer een vectorveld (de warmtestroom heeft wel een richting). Hetzelfde zie je ook met de luchtdruk (heeft geen richting = scalairveld) en de wind (heeft richting = vectorveld).

Wat was ook alweer het probleem. Einstein had ervaren, en als jochie had ie al in de gaten dat het niet klopte, dat zijn leraren op de middelbare school als volgt over bewegende magneten en geleiders dachten:

Wanneer je een magneet beweegt, vind je een elektrisch veld rond de magneet. Dat is waar te nemen door in de buurt een kringvormige stroomdraad op te stellen waarin een gevoelige stroommeter is opgenomen. Als je de magneet verplaatst, zie je de meter uitslaan zolang de magneet in beweging is. Overal om de magneet heen gaat er in iedere stroomwinding die een beetje gunstig is opgesteld, een stroompje lopen. Dus overal om de magneet heen ontstaat tijdens de beweging van de magneet een elektrisch veld, want een elektrisch veld heeft invloed op de geladen deeltjes (elektronen) in een geleider. Een magnetisch veld heeft dat niet, een  magnetisch veld doet niets met een elektrische lading zolang alles stilstaat. De waargenomen stroom moet veroorzaakt worden door een elektrisch veld.

Wanneer je een stroomkring beweegt, ver verwijderd van magneten en hun velden,  gaat er géén stroom in de kring lopen. Er ontstaat dan kennelijk geen elektrisch veld. Maar als je de kring verplaatst in de buurt van een magneet zie je wel een uitslag: er loopt een stroom (zie fig. 601). Dat is vreemd, want de magneet werd niet verplaatst, dus de magneet kon geen elektrisch veld hebben gevormd. Dat er toch een stroom gaat lopen, betekende, volgens de opvatting in de pré–Einsteinse tijd, dat er een spanningsbron in de draad wordt gevormd, een elektromotorische kracht, die de stroom veroorzaakt. Over de aard en de plaats van deze spanningsbron tastte men in het duister.

 

 

Figuur 601 Elektromotorische kracht in een bewegende draadfiguur over een rechte magneet (uit Leerboek der Natuurkunde deel II van Dr. E. Bouwman 1913)

Men zag niet in, volgens Einstein, dat het om een beweging ten opzichte van elkaar ging, een relatieve beweging. Zo dom echter was onze eigen Hendrik Antoon Lorentz ook weer niet, want bij de behandeling van de inductiestromen in zijn over de gehele wereld gebruikte leerboek "Beginselen der Natuurkunde" 1), wordt nadrukkelijk onderkend dat het om de relatieve beweging van de magneet en de geleider gaat. Toch kon men de inductiestroom alleen verklaren uit de Maxwellvergelijkingen in het geval van een stilstaande geleider in een veranderend magnetisch veld, voor de omgekeerde situatie paste men de kunstgrepen toe die Einstein signaleerde.

1 ) Derde druk 1899 pagina 452: "Zoo ontstaat in den kring een inductiestroom, en dezelfde werking zou men natuurlijk ook verkrijgen, wanneer men den kring vasthield en den magneet daarin stak."

Men redde zich in die tijd uitstekend met het beeld van het aantal door een stroomkring omvatte magnetische veldlijnen. Als dat veranderde, ontstond er een stroom. Dan hoef je je geen zorgen te maken over eventuele onderlinge bewegingen. We zullen straks zien dat er zelfs een stroom kan lopen in een kring waarvan het aantal omvatte veldlijnen onveranderlijk is.          

Los van welke verklaring ook, het is toch wonderlijk dat een bewegende magneet een elektrisch veld veroorzaakt terwijl als je met de magneet mee beweegt er in geen velden of wegen een elektrisch veld te bespeuren valt. Laat dat even op je inwerken! Als je de magneet op een rijdend tafeltje voorbij laat komen, zal een vast–opgestelde stroomkring een elektrisch veld verraden, terwijl een stroomkring die bij de magneet op het rijdende tafeltje staat opgesteld géén elektrisch veld laat zien. Is het veld er of is het er niet. That’s the question. En als het er is, waar kwam het dan vandaan? Dit is echt heel gek, tenzij je vind dat het doodgewoon is.

Daar ging het Einstein om: het gedrag van elektrische en magnetisch velden in het stelsel-in-beweging. Daartoe pakte hij de Maxwell vergelijkingen 2) (ook: de wetten van Maxwell genoemd) er bij en zocht uit welke vorm deze vergelijkingen krijgen als het om  velden gaat in het stelsel-in-beweging. Hij paste zonder aarzelen de transformatieformules op die vergelijkingen toe en vond het resultaat waar hij naar op zoek was. 
Wij zullen zijn handelingen volgen.

2 ) J.C.Maxwell:   Dynamical theory of the Electric Field    1864

Ga naar de Bibliotheek


* Einstein  noemde de vergelijkingen nog de Maxwell–Hertz vergelijkingen, maar de bijdrage van Hertz 3) wordt vandaag de dag niet meer even hoog aangeslagen als die van Maxwell, dus Hertz hebben we er afgeknipt.

3) Heinrich Rudolf Hertz (Geboren in Hamburg 1857, overleden in Bonn 1894) wekte via experimenten elektromagnetische golven op en bevestigde de theorie van Maxwell. De eenheid Hertz is naar hem genoemd.

Hieronder staan de vergelijkingen in de vorm die Einstein als uitgangspunt nam. Hij startte met de eenvoudigste situatie, hij nam namelijk een ruimte waarin zich geen lucht of een andere tussenstof bevindt en waar evenmin magneten of elektrische ladingen aanwezig zijn of elektrische stromen optreden. In zo’n  "l e g e "  ruimte geldt voor de erin binnendringende elektrische en magnetische velden E en B volgens de wetten van Maxwell:

div E = 0         div B = 0         rot E =           rot B =

Helemaal leeg is die ruimte dus niet, want er bevinden zich elektrische en magnetische velden in. Maar verder is die ruimte leeg.

Over deze vergelijkingen moeten we iets uitleggen, dacht ik zo. Kom er even bij.

Het symbool E stelt het elektrische veld voor en het symbool B het magnetische veld, dat wil zeggen: de symbolen staan voor de grootte en richting op zekere plaats en op zeker tijdstip    van het (vector–)veld . Als je de grootte en richting van E of B wil weten, moet je dus de plaats en het tijdstip opgeven:  bijvoorbeeld E(x, y, z, t).

Het woordje div is de afkorting van divergentie (Latijn: uit één punt ontspringend) waarmee  wordt aangegeven hoeveel "veld" op zekere plaats ontstaat. Dat kan je als volgt zien:

Zoals bekend is, bevindt zich rondom een elektrisch geladen voorwerp een elektrisch veld. Daarom worden andere geladen voorwerpen in de buurt afgestoten of aangetrokken. Als twee ladingen elkaar afstoten, dan stoten ze elkaar in alle richtingen af, onafhankelijk van hoe je ze bij elkaar brengt. De kracht tussen de ladingen heeft altijd een richting die gelegen is langs de verbindingslijn en die van de lading áf is gericht, bij gelijksoortige ladingen, en naar de lading tóe is gericht, in het geval van een positieve en een negatieve lading. Bij magneten is dat niet zo, die trekken elkaar aan de ene kant aan en als je een van de twee omdraait, stoten ze elkaar af.
Uit een elektrische lading komt dus altijd een veld dat op een zekere andere lading of een aantrekkende, of een afstotende werking heeft.  De "lading" physiek omdraaien heeft geen effect.  Er is dus een bron voor het elektrische veld (zie fig. 602). Dan geldt div E = ρ, waarbij ρ (de Griekse letter rho) de elektrische ladingsdichtheid ter plaatse voorstelt. De uitdrukking div E = ρ betekent derhalve dat de gevormde hoeveelheid elektrisch veld binnen een zeker volume  gelijkgesteld wordt aan de hoeveelheid elektrische lading binnen dat volume. Een handige afspraak want het was uit experimenten bekend dat de sterkte van het veld evenredig was met ρ , dus hier is de eenvoudigste evenredigheidsconstante, namelijk  één, gekozen.

Het is op zich een moeilijke vraag hoe je een hoeveelheid elektrisch veld moet benoemen. Je kan de sterkte van het veld meten, het veld bevat een hoeveelheid energie, maar hoeveel véld bevat het veld? Als je bedenkt dat een (statisch) elektrisch veld alleen maar rondom een lading voorkomt, kan je het veld zien als de uiting van de lading. Veld en lading zijn twee verschijningsvormen van hetzelfde. Daarom kan de (gevormde) hoeveelheid veld in getalswaarde gelijkgesteld worden aan de hoeveelheid lading.

Het elektrische vectorveld E bestaat uit drie componenten X, Y en Z voor respectievelijk de x–richting, de y–richting en de z–richting. Het begrip divergentie van een elektrisch veld E wordt nu op de volgende wijze wiskundig vorm gegeven:

div E = .

Als er geen lading is op die plaats, dan is div E = 0 dus . Overal buiten het gebied waar de lading zich bevindt, is div E = 0.  Hiervan zullen we straks gebruikmaken om de toepassing van de transformatieformules op elektrische en magnetische velden toe te lichten.

Ook het magnetische vectorveld B bestaat uit drie componenten L, M en N. Voor de divergentie van een magnetisch veld moet dan op dezelfde manier worden geschreven:

div B =

De waarde van div B blijkt altijd 0 te zijn, zelfs bij een magneet. Dit betekent dat op geen enkele plaats een bron voor het magnetische veld is aan te wijzen. Als je het magnetische veld volgt dat van de noordpool van een magneet komt, dan maakt het een rondje (groot of klein) en komt via de zuidpool de magneet weer binnen. Daar loopt het in het inwendige van de magneet weer naar de noordpool toe om aldaar opnieuw naar buiten te treden. Er is geen plek aan te wijzen waar de magnetische veldlijnen beginnen.

Je kan het ook zo zeggen: wanneer je een magneet in een doosje opsluit, steekt er altijd evenveel magnetisch veld uit het doosje naar buiten als er veld naar binnen steekt. Je kan nooit een stukje magneet vinden waar alleen maar veld uitkomt. Er is geen bron. Een magneet die alleen uit een noordpool of een zuidpool bestaat, is onmogelijk. 

We gaan even voorbij aan het hypothetische deeltje: de monopool!


De grondvorm van een elektrisch veld waarvan een kleine, puntvormige lading de bron vormt, is dus een veld waarvan de krachtlijnen uit één punt komen, terwijl de grondvorm van het magnetische veld een kring is die ergens door de magneet heengaat (zie fig. 602)

Figuur 602 Verschil in grondvorm van het elektrisch veld en het magnetisch veld

In de derde en de vierde vergelijking van Maxwell komt de afkorting rot voor. De afkorting staat voor rotatie. Met het begrip rotatie wordt aangegeven in welke mate het vectorveld op zekere plaats een hoekverdraaiing vertoont. Dat is een uiterst moeilijk begrip, daarom is er een speciale paragraaf aan besteed: Wervelwinden en draaikolken. (Uitleg §6plus )

Daarin zien we voor ronddraaiende winden of in draaikolken dat de rotatie in het veld nul kan zijn, terwijl het geheel wel degelijk ronddraait. De "circulatiestroming". Daar komt het begrip wervelsterkte Γ ( Griekse letter gamma, hoofdletter) aan de orde, een grootheid die je verkrijgt door een kringintegraal van de snelheid Γ = rond het centrum van de wervelwind of de draaikolk te nemen. Wanneer je  het centrum niet in de kring opsluit, is de integraal gelijk aan nul. Alleen het geheel, inclusief het centrale deel, heeft rotatie. We laten daar zien dat de cirkelvormige beweging buiten het "oog" van de orkaan of de slurf van de tornado of de "kolk" van een draaikolk, gekenmerkt wordt door een snelheid v die als volgt samenhangt met de afstand r tot het middelpunt: v(r) =. De kringintegraal langs een kromme die het oog of de slurf omsloot is dan gelijk aan de wervelsterkte:

Γ = = 2π.k

We gaan dit vertalen naar het magnetisch veld.

Wanneer je een magneetveld opwekt door een stroom met een sterkte I door een rechte geleidende draad te laten lopen (zie fig. 603), blijkt er een magnetisch veld te ontstaan dat zich kringvormig (of eigenlijk cilindervormig) rond de geleider ophoudt en waarvan de magnetische veldsterkte (in vacuüm) op een afstand r van de draad de waarde krijg

B =

 

Figuur 603 Magnetisch veld rond een stroomdraad. De pijlen geven de veldsterkte volgens B = I/2πr. Hoe verder van de stroomdraad, hoe korter de pijlen. Elke cirkel stelt eigenlijk een cilinder rond de draad voor.

De veldsterkte B hangt op precies dezelfde wijze af van de afstand als de snelheid v in het stromingsveld van de circulatiestroming, namelijk omgekeerd evenredig met de afstand! Wiskundig mag je dus dezelfde handelingen verrichten. Als we nu de kringintegraal nemen langs een cirkel S rond de stroomdraad met een omtrek 2π.r krijgen we:

Opmerkelijk: De stroomsterkte in de draad is bij wijze van spreken de "wervelsterkte" van het magnetisch veld!

De analogie gaat nog verder. Als je aanneemt dat de stroom in de draad homogeen verdeeld is over de doorsnede van de draad, dan blijkt de magnetische veldsterkte in de draad evenredig met r te zijn. Dan gedraagt de veldsterkte in de draad zich op dezelfde manier als de snelheid van het windveld in het "oog" van de orkaan: de zogenaamde rotatiestroming (zie fig. 604 en vergelijk met Wervelwinden en draaikolken fig. 4b .

Figuur 604 Magnetische veldsterkte in en buiten een stroomdraad

Deze bijzondere vorm van het magnetisch veld geldt alleen voor een statische situatie. De stroomsterkte door de draad moet constant zijn. Dan stelt zich, zoals gezegd,  een veld in waarvan de sterkte buiten de draad omgekeerd evenredig is met de afstand tot de as van de draad. We tekenen dit ook nog eens van bovenaf gezien (fig. 605).

Even in herinnering brengen dat als een kracht op een voorwerp werkt, en dat voorwerp verplaatst zich, dan wordt door die kracht arbeid (=energie) verricht. Positief als kracht en beweging dezelfde kant op gaan, anders negatief. De verplaatsing van het voorwerp hoeft niet een gevolg te zijn van die kracht. Om welke reden het voorwerp zich verplaatst, doet er niet toe. De kracht maakt gewoonweg  'misbruik'  van de verplaatsing van het voorwerp om er energie aan te leveren of aan te ontnemen. Als een voorwerp omhoog gegooid wordt, werkt de zwaartekracht de andere kant op en het voorwerp verliest snelheid. Gooi een voorwerp in een diepe ravijn en de zwaartekracht verricht positieve arbeid op het voorwerp waardoor zijn snelheid toeneemt. 

We laten een (kleine) magneet de weg afleggen die in de volgende tekening rond het blauwe gebied is uitgezet. De kracht F op deze magneet is evenredig met de sterkte van het magnetische veld B. De arbeid die de kracht F op het magneetje verricht, is evenredig met de lengte van de weg. De magnetische veldsterkte, en dus ook de kracht, is omgekeerd evenredig met de afstand tot de as, de straal. Tegelijkertijd is de lengte van de weg langs de cirkel evenredig met de straal. Het product van weglengte en kracht langs het aangegeven stuk van de grote cirkelboog is daarom even groot als langs het aangegeven stuk van de kleine cirkelboog. De arbeid is dus langs beide cirkelbogen even groot, maar tegengesteld van teken, want langs de grote cirkelboog doorlopen we de weg in dezelfde richting als de kracht en dat geeft een positieve arbeid en langs de kleine cirkelboog is het andersom. Daarom heffen deze twee hoeveelheden arbeid elkaar op.  Langs de rechte lijnstukken, die de twee cirkelbogen met elkaar verbinden, wordt geen arbeid verricht omdat de kracht loodrecht op de wegrichting staat. Alles bij elkaar betekent dit dat er geen netto arbeid wordt verricht door het veld op dat magneetje. Dus de kringintegraal langs de aangegeven weg S van de magnetische veldsterkte is nul.

                                        

In de paragraaf Wervelwinden en draaikolken hebben we de stelling van Stokes genoemd. Voor een vectorveld van snelheden gold:

Voor een vectorveld van magnetische veldsterkten B moet je de stelling van Stokes schrijven als:

Als de kringintegraal van B gelijk is aan nul, zoals we hebben laten zien voor het pad rond het blauwe gebied, moet de oppervlakte-integraal van rot B ook gelijk zijn aan nul. De oppervlakte-integraal mag je zien als het product van de oppervlakte en de gemiddelde waarde van rot B. Die gemiddelde waarde moet dan nul zijn en omdat het voor ieder oppervlakje buiten de draad geldt, volgt er uit dat rot B zelf overal gelijk aan nul moet zijn.   Het veld vertoont dus plaatselijk geen rotatie. Dat gold ook voor de circulatiestroming rond een draaikolk of een windhoos. Alleen een kringintegraal rond de stroomdraad levert rotatie op. De analogie tussen wervelwinden en dergelijke en het magnetisch veld rond een stroomvoerende draad is frappant.

Figuur 605 Rotatie van het magnetisch veld

Het wordt echter anders als we naar in de tijd veranderlijke magnetische en elektrische velden kijken. Er is een wisselwerking tussen beide velden waarbij een verandering van de één een veld  van de ander tot gevolg heeft. In de derde en vierde vergelijkingen van Maxwell is dat terug te vinden.

De derde Maxwellvergelijking rot E = geeft aan dat een verandering (in de tijd) van het magnetische veld samengaat en evenredig is met de rotatie van een ter plekke optredend elektrisch veld. Er is voor dit elektrisch veld geen elektrische lading ρ als  bron aan te wijzen, dus div E van dit veld moet 0 zijn. De elektrische veldlijnen komen in dit geval in zichzelf terug, zoals bij het magneetveld van fig. 602 . Dit elektrische veld bestaat alleen gedurende de tijd dat het magnetische veld aan het veranderen is. Dat is wat er gebeurt als een magneet in beweging wordt gezet, dan zal op iedere vaste plaats het magneetveld veranderen, waardoor er een elektrisch veld ontstaat zolang de magneet in beweging is. Dit is dus gewoon met Maxwell te verklaren en dat deed Lorentz en ook Einstein.

Uitgeschreven is de rotatie een ingewikkelde uitdrukking.  Als de drie componenten van het elektrisch veld X, Y en Z zijn, is rot E:


rot E =

Het is een vector. De rotatie heeft eveneens drie componenten. Het opmerkelijke is dat de x–component wordt gevonden uit de afgeleiden van de Y– en de Z–waarden van het veld, de y–component wordt gevonden uit de afgeleiden van de Z– en de X–waarden en de z–component wordt gevonden uit de afgeleiden  van de X– en de Y–waarden. Dat is het gevolg van de definitie van de rotatievector, die loodrecht staat op het vlak dat roteert. De rotatievector heeft dus de richting van de rotatie-as
Het magnetisch veld B is ook een vector en zijn afgeleide naar de tijd is eveneens een vector met een x-, y-, en z-component:  


                      =   

De derde Maxwellvergelijking wordt dus:

=   

De Maxwellvergelijking is een vectorvergelijking, waarbij geldt dat de gelijkheid voor elk van de componenten moet gelden. De vergelijking bestaat eigenlijk uit drie vergelijkingen tegelijkertijd!  Bijvoorbeeld voor de x–component:         

(Op vergelijkbare wijze verkrijg je de vergelijkingen voor de y–component en de z–component)

De wisselwerking tussen een elektrisch veld en een magnetisch veld vindt dus zo plaats dat een verandering in de tijd van een component van het magnetisch veld gekoppeld is aan een verandering in grootte van de componenten van het elektrisch veld in het vlak dat loodrecht op die eerste genoemde component van het magnetisch veld staat. Dus als de x–component van het magnetische veld (= L) verandert, is het rechterlid van de laatste vergelijking ongelijk aan nul. Dan moeten tegelijkertijd de y–en z–componenten van het elektrisch veld in het gehele yz–vlak zodanige waarden krijgen dat ook het linkerlid ongelijk aan nul  is. Maar dan bestaat er een x - component van een elektrisch veld dat rotatie bezit. 
De vierde vergelijking laat zien dat een verandering in de tijd van het elektrische veld op vergelijkbare wijze een ter plekke optredend magnetisch veld met rotatie oproept.

Het zou leuk zijn als er een mechanisch equivalent bestond voor deze wisselwerking. Tot nu toe heb ik dat niet kunnen vinden. Er zijn wel dingen die er op lijken. Bijvoorbeeld : de bromtol. Wanneer je daar op duwt in de z–richting, gaat de tol ronddraaien in het xy– vlak. Ook een windmolen lijkt er op: een luchtstroom in de x–richting leidt tot een ronddraaiende beweging in het vlak daar loodrecht op, het yz–vlak.

Het veranderen van een veld kan een gevolg zijn van het zwakker of sterker worden van het veld, dan bedoelen we dat het verandert voor de stilstaande waarnemer, maar de verandering kan ook het gevolg zijn van een verplaatsing van een waarnemer door een veld heen, dan verandert het voor de bewegende waarnemer, ook als het voor de stilstaande waarnemer een, in de tijd gezien, constant veld is. Daarbij moet je er van uitgaan dat het veld niét homogeen is, dus dat het van plaats tot plaats verschillend van sterkte en richting is.

Einstein realiseerde zich als eerste ten volle dat het veld voor een bewegende waarnemer er anders uitziet dan voor een stilstaande waarnemer. Hoe het er uitziet, kan worden vastgesteld door het veld in het stelsel-in-rust te verplaatsen naar een stelsel-in-beweging.

We zullen achterhalen hoe Einstein zijn transformatieformules heeft toegepast. We doen dit alleen voor de x–component van de vergelijking rot B = en  werken deze uit van het stilstaande stelsel K naar het bewegende stelsel (zie de vertaling p.907).

De elektrische veldsterkte E schrijven we als E = (X, Y, Z). De drie componenten van de afgeleide naar de tijd van E zijn te vinden door elke component apart te differentiëren:

 

De magnetische veldsterkte B schrijven we als B = (L, M, N)  Voor  rot B kunnen we dan in uitgeschreven vorm schrijven: 

De gelijkheid rot B = moet nu voor elk van de drie componenten gelden, dus voor de x–component geldt:        

                   (deze noemen we    "x–component")

Het doet misschien vreemd aan dat als je de elektrische veldsterkte naar de tijd differentieert, dit overeenkomt met het differentiëren van de magnetische veldsterkte naar de plaats. Is dit een direct gevolg van de verwevenheid van ruimte en tijd?   Daar denken we over na. 

De laatste vergelijking kunnen we onder woorden brengen: wanneer op zekere plaats de sterkte van de x–component (= X) van het elektrische veld verandert, dan moet dat gepaard gaan met een gelijktijdig verloop in de z–richting van de y–component (=M) van het magnetische veld én een gelijktijdig verloop in de y–richting van de z–component (=N) van het magnetische veld, op een zodanige manier dat het verschil in verloop tussen die twee evenredig is met de genoemde verandering van de sterkte van de x–component van het elektrische veld. Toe maar!

Het heeft met het draaien van het veld te maken. Aan de hand van de volgende figuur zullen we dat verhelderen. We nemen aan dat het linker lid van de vergelijking kleiner dan nul is, dat wil zeggen X neemt af in grootte. Ook het rechter lid moet dan negatief zijn. 
Als we nu eens een constante waarde kleiner dan nul kiezen, dat wil zeggen dat de z–component van de magnetische veldsterkte in de y–richting lineair afneemt, en we kiezen de term, die ervan wordt afgetrokken, constant toenemend met een grotere absolute waarde  dan de eerste constante dan komen we positief uit (het voorbeeld is wat ongelukkig uitgevallen qua richtingen en grootte) . 

In fig. 606 tekenen we deze veranderlijke componenten M en N als vet getekende pijltjes loodrecht op de y–as en de z–as. Omdat ze slechts in één richting veranderen, blijven ze in de andere richtingen constant. Daarom kunnen we M en N overal tekenen. Als we M en N vectoriëel optellen verschijnt er een magnetisch veld dat rotatie bezit. De uitdrukking rot B drukt inderdaad  rotatie uit. je ziet het gewoon!

Figuur 606 De x–component van rot B.

Nu we enig zicht hebben op de begrippen divergentie en rotatie die in de Maxwell vergelijkingen voorkomen, pakken we de draad weer op.  Einstein wilde de transformatieformules toepassen op de Maxwellvergelijkingen. Uit de relativiteitstheorie volgt dat de vergelijkingen in het bewegende stelsel er net zo uit moeten zien als in het stilstaande stelsel, want de natuurkundewetten moeten in beide stelsels op gelijke wijze geldendend zijn. Einstein wilde  uitzoeken of de formules gelijkvormig zijn en zoniet, dan moeten de formules worden aangepast! 

Terug 

Ter herinnering:
De transformatieformules naar een stelsel–in–beweging zien er als volgt uit:

                   ζ = z        

met:                     

Die gaan we toepassen op de  Maxwellvergelijkingen:

div E = 0         div B = 0         rot E =          rot B =

Einstein schreef het resultaat van de transformatie in één keer op, maar dat is wel erg kort door de bocht. Wij pakken het een stuk voorzichtiger aan. 
We beperken ons tot de x–component en  schrijven hem nog een keer op:

 

Een van de moeilijkheden die we tegenkomen bij het overstappen van de coördinaten x, y, z en t naar de coördinaten ξ, η, ζ en τ, is dat het differentiëren naar t, y en z , zoals in de vergelijking moet gebeuren, niet zonder meer te vervangen is door een differentiatie naar de coördinaten τ, η, en ζ van het bewegende stelsel. Je moet er namelijk rekening mee houden (zie de eerste transformatieformule) dat t van τ én ξ afhankelijk is en omgekeerd dat τ van t en x afhankelijk is.

Als we in het stelsel-in-rust onderzoeken hoe de x–component van het elektrische veld (= X) afhangt van de tijd t en we gaan dat resultaat vertalen naar het stelsel-in-beweging dan zullen we ontdekken dat X afhangt van de tijd τ en de plaatscoördinaat ξ. De verandering van X als gevolg van een verandering van t moet dan worden gesplitst in:

de verandering van X als gevolg van de verandering van τ , vermenigvuldigd met de verandering van τ als gevolg van een verandering van t, plus

de verandering van X als gevolg van een verandering van ξ vermenigvuldigd met de verandering van ξ als gevolg van een verandering van t.

In wiskundige termen:           (deze noemen we "patroon")

Dit werken we uit. We kunnen snel zien dat uit de transformatieformule voor τ :

volgt                  .

Toelichting:
Bedenk dat x constant wordt gehouden als we met  "de kromme d"  (= ∂) aan het differentiëren zijn. De gehele uitdrukking γ .v .x / c2 is dan constant. De afgeleide van een constante waarde is nul en je houdt over:  de afgeleide van γ . t (is gewoon γ).

Zo volgt uit de transformatieformule voor ξ , te weten:

de afgeleide                       

(bedenk dat ook in dit geval x constant wordt gehouden)

Hiermee wordt:        (deze noemen we        "borduursel")

Om dit verder uit te werken maken we gebruik van de wet van Maxwell, die als eerste is opgeschreven:         div E = 0.

 De uitgeschreven vorm (in het stelsel-in-rust ) staat in het begin van deze paragraaf, maar we herhalen hem nog een keer:

div E =

Deze kunnen we ook transformeren naar het langs de x -as bewegende stelsel. Als we de coördinatentransformatie toepassen, moeten we opnieuw bedenken dat de x–coördinaat van ξ en τ afhankelijk is 
(terwijl voor η en ζ geldt: η = y en ζ = z ).
Op dezelfde wijze als de formule "patroon" kunnen we voor schrijven:

Vullen we dit in dan wordt div E :

             Uit volgt voor :            
                     =          en
uit de transformatieformule volgt voor :             
                    = γ

Deze twee afgeleiden vullen we in en, zoals we nog weten , is  div E = 0, waarmee we als resultaat krijgen :

We delen alle termen door γ:

Vervolgens brengen we alle termen naar de rechterkant, behalve :

Nu kunnen we de formule "borduursel" helemaal uitwerken:

Na netjes uitwerken:

Bedenk dat 1– v2/c2 = 1/ γ2 , dus voor geldt:

.

Dit laten we even staan pruttelen.

We richten ons nu op de rechterkant van de vergelijking       "x–component":

Omdat de transformaties voor y en z luiden: η = y en ζ = z levert dit eenvoudig op:

=

Dat is gemakkelijk.

We kunnen de vergelijking "x–component" dus schrijven als:

=

We brengen vervolgens de afgeleiden naar dezelfde variabele (η respectievelijk ζ) bij elkaar:

+

Dit wordt:

        = 

Bedenk dat v/c een constante is die we naar believen buiten of binnen de differentiatie kunnen plaatsen.

Door vervolgens de linker en rechter term te vermenigvuldigen met γ verkrijgen we de eerste getransformeerde uitdrukking op blz.907 van Einsteins artikel:

Deze uitdrukking hebben we verkregen door, uitgaande van een vergelijking van Maxwell in het stelsel-in-rust, voor de x–component te onderzoeken hoe die component er in het stelsel-in-beweging uit moet zien.

Volgens het relativiteitsprincipe moeten in het stelsel in beweging k dezelfde natuurkundige formules gelden als in het stelsel-in-rust K . De getransformeerde vergelijking ziet er weliswaar op het eerste gezicht nogal anders uit, maar daar hebben we het volgende op gevonden.

We noemen de componenten van het elektrische veld in het stelsel-in-beweging X ', Y’ en Z’ en de componenten van het magnetische veld L ' , M ' en N' en om te bewerkstelligen dat de bovenstaande uitdrukking dezelfde vorm krijgt als de formule die als uitgangspunt diende,  stellen we:

X' = X         N' = γ .          M' = γ .

Met deze formules kunnen we de verkregen vergelijking schrijven als:

  

Halleluja!    We zien dat we perfect dezelfde vergelijking terugvinden als de uitgangsformule "x–component" , maar dan met accenten bij de veldgrootheden. De vorm is hetzelfde, en daar gaat het maar om.

Dit hebben we een beetje onzorgvuldig gedaan. Einstein laat omstandig zien dat de vergelijking geldig blijft als X’, N’ en M’ alle met eenzelfde factor ψ ( psi, een constante die eventueel afhankelijk kan zijn van de snelheid v) worden vermenigvuldigd, maar gelukkig toont hij direct aan (blz. 909) dat deze factor slechts de waarde één kan aannemen. Dat doet hij als volgt: Stel dat X’ = ψ(v). X, dan wordt, als het stelsel-in-beweging de andere kant op beweegt X’' = ψ(–v) . X . Wanneer je eerst vanuit het stelsel–in–rust met de elektrische veldsterkte in de x–richting X overstapt naar een stelsel–in–beweging met snelheid +v en daarvandaan weer op een stelsel–in–beweging met snelheid –v, dan ben je terugbelandt in het stelsel–in–rust. Dan moet gelden X = X’’= ψ(+v) . ψ(–v). X. Dus ψ(+v) . ψ(–v) = 1. Daarmee zijn we er niet, want uit symmetrieoverwegingen moet ψ(v) gelijk zijn aan ψ(–v). Dat moet je zo zien: Als je naar het stelsel-in-beweging kijkt, dan beweegt het bijvoorbeeld naar rechts langs de positieve x–as. Als ψ(v) groter is dan één, dan nemen we X’ als groter dan X waar. Wanneer het stelsel naar links beweegt, moet X worden vermenigvuldigd met ψ(–v) = 1/ψ(v), dus met een getal kleiner dan één, dus X’ is dan kleiner dan X. Wanneer je vervolgens aan de andere kant van het stelsel-in-beweging gaat staan, dan beweegt het naar rechts. Enerzijds zou X’ dan groter moeten zijn dan X, maar aan de andere kant moet het kleiner zijn dan X. Deze tegenstrijdigheid wordt opgelost als ψ(v) = ψ(–v). In combinatie met ψ(v) . ψ(–v) = 1 levert dat op ψ(v) = ψ(–v) = 1.
In het origineel zie je dat de drukker van blz. 908 naar blz. 909 van de letter ψ overstapt op de letter φ, misschien waren zijn lettertjes op! In de vertaling zijn we daarin niet meegegaan. 

Dezelfde aanpak kan je ook gebruiken voor de vijf andere vergelijkingen van blz. 907. Dan vind je ook de andere formules voor de componenten van het elektrisch en het magnetische veld. De net gevonden formules voor N' en M' kom je daarbij nog een keer tegen, een aardige controle. Zo verkrijg je het resultaat van blz. 909 voor de drie componenten van het elektrische veld en de drie componenten van het magnetische veld:

X' = X                             L' = L

Y' = γ . (Y – . N)         M' = γ . (M + . Z)        waarbij γ =

Z' = γ . (Z + . M)         N' = γ . (N – . Y)

Einstein heeft hiermee aangetoond dat voor het elektrische en het magnetische veld in het stelsel-in-beweging de bovenstaande getransformeerde velden moeten worden gebruikt. Dan blijven namelijk de natuurkundewetten, de Maxwellvergelijkingen geldig, zoals het relativiteitsprincipe vereist. De Maxwellvergelijkingen behouden hun vorm (in universiteitstaal: de formules zijn covariant onder de Lorentztransformatie). Dit in tegenstelling tot de mechanicawetten van Newton, zoals bijvoorbeeld de som van twee snelheden U = v + w (zie §5), waarvoor Einstein de verbeterde formule  moest opstellen om te zorgen dat de formule covariant onder de Lorentztransformatie zou zijn. 
Het is een verbijsterende constatering dat juist Newton moet sneuvelen.

Dat de somformule voor snelheden, die  Einstein heeft opgesteld, wél covariant is onder de Lorentztransformatie spreekt vanzelf, want hij werd met die transformatieformules afgeleid.

Een paar opmerkingen:

In de voortbewegingsrichting van het stelsel-in-beweging verandert de x–component van het elektrische veld niet en evenmin die van het magnetische veld

Een deel (in de verhouding v/c) van het magnetische veld in het vlak dat loodrecht staat op de voortbewegingsrichting gaat in het stelsel-in-beweging deel uitmaken van het elektrische veld in hetzelfde vlak en omgekeerd, een deel van het elektrische veld dat loodrecht staat op de voortbewegingsrichting gaat in het stelsel-in-beweging deel uitmaken van het magnetische veld in dat vlak.

Uit de formules blijkt dat er een elektrisch veld ruimtelijk op dezelfde plaats als die van het magnetische veld zal ontstaan zodra het magnetische veld een component loodrecht op de verplaatsingsrichting heeft. Omdat er meestal wordt gesproken over het ontstaan van een elektrisch veld ten gevolge van een "veranderend" magnetisch veld, is het goed er op te wijzen dat er ook een elektrisch veld ontstaat als het magnetische veld homogeen en onveranderlijk is mits de bewegingsrichting een hoek maakt met het magnetisch veld. In dat geval zul je tussen de uiteinden van een rechte stroomdraad een potentiaalverschil kunnen meten. In een in zijn geheel bewegende stroomkring echter kan in dat geval geen stroom lopen omdat, als je de kring doorloopt, het veld in de ene helft van de kring tegengesteld is aan die in de ander helft van de kring.

Uit het optreden van een elektrisch veld bij het verplaatsen van een stroomkring in de buurt van een magneet, blijkt dat de effecten van de relativiteitstheorie ook bij lage snelheden opmerkelijk hoog kunnen zijn. Dit laatste is merkwaardig omdat we bij huis–, tuin– en keukensnelheden niets merken van een vertraagde tijd of een verkorting van een voorwerp en toch kan bij die snelheden het effect op magnetische en elektrische velden al zeer groot zijn!

Omdat het zeer kleine getal, de factor v/c, in de formules voorkomt, zou je denken dat in de formule voor de y–component van magnetische veld sterkte M' de term   "(v/c) . Z"   te verwaarlozen is ten opzichte van M en dat in de formule voor de z–component N' de term "(v/c) . Y"   te verwaarlozen is ten opzichte van N. Je moet echter bedenken dat bij de experimenten die men deed, lading die in een stroomdraad beweegt, er in het stelsel–in–rust geen magnetisch veld met componenten M en N was. Het magnetisch veld in het stelsel–in–rust werd nul genomen. Dan vormen de termen (v/c) . Z en (v/c) . Y het enige magnetische veld en kan je ze niet verwaarlozen. Zo ook voor het gevormde elektrische veld als men zich door een magneetveld beweegt. Verder zijn de andere verschijnselen die met de speciale relativiteitstheorie samenhangen, de tijdvertraging en de Lorentzcontractie, evenredig met de factor  1 - 1/ γ . In §4 hebben we laten zien dat γ bij benadering evenredig is met               1/2 . ( v/c ) 2.  Hier zit v/c er kwadratisch in, waardoor het effect veel minder groot is dan, zoals bij de transformatie van de Maxwellwetten, waarbij M en N en Y en Z zonder meer met v/c worden vermenigvuldigd. Niettemin, ook v/c is heel klein, maar het effect is goed meetbaar. Zie volgende punt.

Voorbeeld: Hoe sterk is het elektrische veld.
We bewegen in de x–richting met een rechte stroomdraad van 100 cm lengte, die we parallel aan  een homogeen magnetisch veld in de y-richting houden, dat loodrecht op onze bewegingsrichting staat: L = 0, N = 0 en M = 1000 gauss (we gebruiken het eenhedenstel van Einsteins tijd, het gauss-stelsel met de eenheden centimeter, gram en seconde). De stroomdraad houden we in de lengterichting van het veld en we doorkruisen het veld met een matige snelheid van 200 cm/s loodrecht op de veldlijnen  . Dan is de elektrische veldsterkte (in het gauss-eenhedenstelsel in statvolt/cm) die we waarnemen langs de stroomdraad:

Z' = γ .  ,    dus (omdat γ bij die lage snelheid praktisch gelijk is aan 1):  
1. 200. 1000/(3 x 1010 ) = ca. (2/3) x 10 –5 statvolt/cm = 2 x 10 –1 V/m = 0,2 V/m.
( 1 V/m = 3.104 statvolt/cm)

Tussen de uiteinden van de draad ontstaat dan een spanningsverschil van 0,2 volt. Wanneer je de uiteinden van de draad in verbinding brengt een eenzelfde stroomdraad die niet in beweging is, kan er een stroom gaan lopen. Een goed meetbaar relativistisch effect dat niet kon bestaan volgens de oude theorie. Wanneer je die niet bewegende draad eveneens in de y-richting opstelt, zal het aantal veldlijnen dat door de kring wordt omvat onveranderlijk zijn: toch loopt er een stroom!

Einstein blijft gelukkig even stilstaan bij de betekenis van de formules (blz. 909). "We moeten het ons zo voorstellen", zegt hij, "als op een elektrische lading Q ter grootte één in het stelsel-in-rust ten gevolge van een elektrisch veld E een kracht wordt uitgeoefend ter grootte F = Q x E, dan zal deze, omdat Q = 1, de grootte F = 1 x E = E = (X , Y , Z ) hebben en gericht zijn langs de veldlijnen van het veld E . In het stelsel-in-beweging is de grootte van de lading eveneens één, maar de kracht heeft nu de waarde (X’ , Y’ , Z’ )". 
De grootte van de kracht is een andere en de richting van de kracht is eveneens veranderd. Maar de wetten van Maxwell zijn in beide stelsels geldig. Hierbij gaat hij er vanuit dat de grootte van de lading niét verandert als de lading ten opzichte van de waarnemer beweegt. Dat is geen vanzelfsprekendheid want, zoals we nog zullen zien, is de mássa van een voorwerp wél afhankelijk van zijn snelheid. (Zie ook §9  en §10)

Zie J.D.Jackson p.374 (Bibliotheek) Een grootheid die onveranderlijk blijft onder de Lorentztransformatie wordt een scalaire grootheid of een Lorentzscalar genoemd

We zitten hier in een fundamenteel gebied van de natuurkunde. Het gaat om de gelijkvormigheid van natuurwetten in verschillende, in eenparige beweging ten opzichte van elkaar verkerende, stelsels. Einstein formuleert het zo (zie p. 895):  De wetten waaraan de verandering van de fysische toestand van een natuurkundig verschijnsel moet voldoen, zijn onafhankelijk van de keuze van het stelsel, van twee ten opzichte van elkaar in eenparige translatiebeweging verkerende coördinatenstelsel, van waaruit deze verandering wordt onderzocht.

Elektrische lading verandert dus niet. We gaan er - dankzij Einstein - ook al van uit dat de lichtsnelheid niet afhangt van het stelsel. Naast de elektrische lading is dus ook de lichtsnelheid een invariante grootheid.
 Nog een belangrijke Lorentz-invariante is de afstand tussen twee punten
(x1, y1, z1)
en (x2, y2, z2) , maar dan moet je niet de gewone afstand
 s =   nemen, want die krimpt als de snelheid toeneemt. Je moet de "ruimte–tijd" afstand nemen tussen (x1, y1, z1, ct1) en (x2, y2, z2, ct2) waarbij c weer de lichtsnelheid voorstelt .

De volgende oefening moet je alleen maar doen als je het echt wil weten. Hij is niet noodzakelijk om deze paragraaf te begrijpen.

Oefening

De invariante afstand  S  tussen de punten  ( x1, y1, z1, t1)   en  ( x2, y2, z2, t2) is:

In het bewegende stelsel zijn het de punten (ξ1, η1, ζ1, c.τ1) en (ξ2, η2, ζ2, c.τ2) waarbij

ξ2 – ξ1 = γ. {(x2 – x1) – v. (τ2 – τ1)}
y2 – y1 = η2 – η1 ,
z2 – z1 = ζ2 – ζ1 , en
τ2 – τ1 = γ . {(t2 – t1) – (v/c2).(x2 – x1)}

Vul dit in in de formule

en je zult zien dat dit gelijk aan s is.

Wie van simpele kost houdt, zal weinig gevoelens van dankbaarheid jegens Einstein koesteren, want de gezellige formules van Newton zijn wegens de eis van gelijkvormigheid (covariantie) in het rustende en het bewegende stelsel verworden tot akelig ingewikkelde formules (zie de volgende opmerking).

In het stelsel-in-beweging zal een versnelling in de bewegingsrichting tengevolge van een kracht F op een voorwerp met een massa m0 kleiner moeten zijn dan in het stelsel-in-rust omdat het voorwerp dat versneld wordt al dichter bij de lichtsnelheid zit. Naarmate je dichter bij de lichtsnelheid komt, worden de snelheden meer op elkaar gedrukt. We dachten altijd dat voor de versnelling a geldt  a = Nu blijkt de formule a = moet worden toegepast. De versnelling is afhankelijk van de snelheid die het voorwerp al heeft! Als de kracht niet samenvalt met de bewegingsrichting worden de formules aanmerkelijk ingewikkelder. We lichten dat niet toe, dat is te ingewikkeld. 
 Zie Horst Melcher p.76 of P.G. Bergmann p. 103

Een fraai gevolg van de getransformeerde Maxwellvergelijkingen is de verklaring van de Lorentzkracht (die toen nog niet die naam had). Dit is de kracht die een geladen deeltje Q ondervindt dat zich door een magnetisch veld B beweegt. Lorentz voerde deze kracht in, maar wist hem niet te verklaren, immers een magnetisch veld heeft geen krachtwerking op een elektrische lading (die stilstaat in het veld ). Waarom dan wel op een bewegende lading! 

Wij weten dat nu wel: omdat de bewegende lading wél een elektrisch veld  ervaart. 

Neem de getransformeerde Maxwellformules.

X' = X                             L' = L

Y' = γ . (Y – . N)         M' = γ . (M + . Z)        waarbij γ =

Z' = γ . (Z + . M)         N' = γ . (N – . Y)

We gaan in het stelsel-in-rust uit van een afwezig elektrisch veld, d.w.z. X = 0, Y = 0 en Z = 0 terwijl er een magnetisch veld is in de y–richting, d.w.z. L = 0 en N = 0, maar M (loodrecht op de bewegingsrichting) heeft een zekere waarde. Wanneer we nu uitzoeken aan welk veld een met snelheid v in de x–richting bewegende lading Q wordt blootgesteld, dan zien we: X' = 0; Y' = 0, maar (let op!) Z' = γ. (v/c).M en verder L' = 0; N' = 0 en M' = γ . M. Voor de lading bestaat er dus een elektrisch veld Z' dat evenredig is met de sterkte van het magneetveld M en met de snelheid v zodat de lading een kracht ondervindt, evenredig met de magnetische veldsterkte, de snelheid en de lading van het deeltje, in een richting die loodrecht staat op de bewegingsrichting en de richting van het magnetisch veld, van  Q . γ.( v / c). M .  
Voor gewone snelheden is γ = 1 (bij benadering).

Het bijzondere van deze elektrische kracht is dat hij in de z–richting werkt, terwijl het deeltje in de x–richting beweegt en het magnetische veld in de y–richting staat. De kracht staat dus loodrecht op het magnetische veld en op de snelheidsvector van het geladen deeltje, zoals uit de formules die Einstein had afgeleid, zonneklaar volgt. Toch wordt dit de Lorentzkracht genoemd omdat Lorentz als eerste een praktisch bruikbare formule 1 voor het verschijnsel had gegeven.

                1Zie H.A.Lorentz Versuch einer Theorie 1895 p.21

Op dit punt gekomen, moet Einstein een gevoel van grote triomf hebben ervaren, want hij stelt voor om niet meer zo ingewikkeld te doen met het in dit verband overbodige begrip ‘elektromotorische kracht’ (blz. 909 onderaan punt 1), maar dit te vervangen door een fysisch juiste omschrijving waarin de transformatie van het veld een rol speelt (blz.910 bovenaan punt 2). Dit pleit heeft hij zonder meer verloren, iedereen spreekt gewoon over de Lorentzkracht, de fictieve elektromotorische kracht. Blijkbaar is een handige formule van groter belang dan een juist begrip.

Hoe kan dat ? De resultaten met de Lorentzkracht kloppen heel behoorlijk, maar niet exact. Lorentz stelde de volgende formule voor. Als een lading q zich met een snelheid v door een magnetisch veld B beweegt, ondervindt de lading een kracht F die loodrecht staat op zijn bewegingsrichting én ook loodrecht staat op de richting van het magnetisch veld. De grootte van de kracht wordt gegeven door

waarbij φ de hoek is tussen de richting van de snelheid en van het magnetisch veld. 
Om het eenvoudig te houden, nemen we aan dat de snelheid en het veld loodrecht op elkaar staan. De snelheid in de x–richting en het veld in de y–richting. Net zoals in het omkaderde voorbeeld van de berekening van de sterkte van het elektrisch veld. 
Dan is de Lorentzkracht:

Dat is bijna dezelfde uitdrukking die we ook in het voorbeeld hebben gebruikt. Het verschil zit in de γ die we bovendien in het voorbeeld mochten verwaarlozen. Voor hoge snelheden moet de Lorentzkracht worden aangepast met de factor     .

Uit de formule rot E = volgt dat een veranderend magnetisch veld een elektrisch veld teweegbrengt dat rotatie bezit en zich lokaal loodrecht op de magnetische veldlijnen opstelt. In fig. 607 is een dergelijke situatie geschetst. De getrokken lijnen stellen het veranderende magnetisch veld voor en de gestreepte ellipsvormige lijnen zijn het elektrisch veld. Wanneer je in dat elektrisch veld een kringvormige geleider plaatst, zal vanwege de wet van Stokes, die we ook in het intermezzo "Wervelwinden en draaikolken" hebben gezien, gelden

  rot E =

Door het plaatsen van de geleidende kring realiseer je de kringintegraal, want langs het gehele pad van de kring geldt een elektrische veldsterkte. In de kring krijg je een rondlopende stroom, zonder dat er een bron, de elektromotorische kracht, in de kring zit. Dus de kringintegraal heeft altijd een waarde zolang de kring de elektrische veldlijnen min of meer volgt. Zowel Lorentz als Einstein konden met behulp van de wetten van Maxwell  de stroom in de kring te verklaren.
Wanneer echter het magnetisch veld constant in de tijd is en je beweegt de stroomkring er doorheen, dan bieden geen van beide wetten van Maxwell

rot E =              rot B =

uitkomst om het ontstaan van een stroom te verklaren, immers B is constant en E is nul. Alle termen worden dan nul. Lorentz voerde de naar hem genoemde kracht in om het verschijnsel te verklaren. Einstein heeft echter laten zien, via het getransformeerde veld, dat er voor de bewegende geleidende kring wel degelijk, naast het magnetische veld, een elektrisch veld aanwezig is (een relativistisch effect)!

Figuur 607 Rot E als gevolg van een veranderend magnetisch veld

Ook de ‘magnetomotorische kracht’, de kracht die een magneetje ondervindt dat door een elektrisch veld beweegt, wordt door Einstein als een overbodig begrip naar de prullenbak verwezen. Het is zinloos om naar de "zetel" van deze geheimzinnige kracht te zoeken. Het bewegende magneetje bevindt zich gewoon in de mengvorm van een magneetveld en een elektrisch veld dat bij beweging in een elektrisch veld als verschijningsvorm ontstaat. Een elektrisch veld is alleen maar een elektrisch veld in het stelsel–in–rust en het gaat steeds meer over in een magnetisch veld bij toenemende snelheid. Het omgekeerde geldt voor een magnetisch veld.

Daarom praten we over elektromagnetische velden, omdat zo'n veld zowel een elektrisch karakter als een magnetisch karakter kan tonen.

De vraag waar de kracht nou precies zit bij zogenaamde ‘unipolaire machines’ is in één klap opgelost, stelt Einstein in de laatste zin van deze paragraaf. Dat brengt ons op de vraag wat een unipolaire machine is.

 

Figuur 608 Unipolaire machine (Zie H.A.Romeijn  p.204)

Een unipolaire machine heeft als basis een ronddraaiende koperen schijf op een as. Loodrecht op de schijf wordt een magneetveld aangelegd. De meebewegende elektronen in de koperen plaat ondervinden dan naast een magnetisch veld ook een elektrisch veld dat, afhankelijk van de draairichting, de elektronen naar de as drijft of naar de buitenrand van de schijf. Dit elektrische veld levert dus een spanningsbron.
De beste machines leverden ongeveer 10 V spanningsverschil en hadden een laag rendement, te laag om enige praktische waarde te verkrijgen, maar er was in de tijd van Einstein veel discussie over de werking.

Er is nog één begrip waar we aandacht aan moeten besteden. Op blz. 908 vlak boven de Maxwell vergelijkingen in het stelsel-in-beweging, spreekt Einstein over "ponderomotorischen Wirkungen’. Onder de ponderomotorische werking wordt de krachtwerking verstaan van het veld op een deeltje met massa en lading. De genoemde velden kunnen namelijk alleen onderzocht worden aan de hand van de werking die op het massadeeltje wordt uitgeoefend omdat lading altijd gebonden is aan massa. Je kan de werking op de lading zelf dus niet onderzoeken, wat de vraag met zich meebracht of de uitkomsten wel klopten. 
De term wordt tegenwoordig niet vaak meer gebruikt.

Zo, nu weten we alles over §6. Dat was niet eenvoudig!

Terug 
Naar Uitleg §6plus Wervelwinden en draaikolken    
Naar Uitleg §7 Sterren