Samenvatting  

Inhoud  

1. Inleiding  blz 2
2. Filosofische uitgangspunten  blz 3
3. De klokkentest in een bewegend stelsel  blz  5
4. Plaats en tijd in het stelsel-in-beweging  blz  6
5. De tijdfunctie  blz  7
6. De berekening van de integratie constante  blz 9
7. De gevolgen van de tragere tijdsnelheid  blz 11
8. De fout van Einstein  blz 14
9. De tijdsnelheid in een bewegend stelsel blz 18
10. De plaatsfunctie  blz 20
11. Het tijdlijnendiagram  blz 23
12. Voorbeeld: Tijd en plaats in bewegende stelsels  blz 26
13. Het additietheorema blz 28
14. Nabespreking  blz 29
15. Literatuur  blz 31

1.     Inleiding  

De relativiteitstheorie van Einstein staat na ruim honderd jaar nog steeds fier overeind.
Toch hoort men regelmatig bekende wetenschappers verzuchten dat onze menselijke geest tekortschiet om ons een voorstelling te maken van de vierdimensionale ruimtetijd die in de theorie zo'n belangrijke rol speelt. Aansluitend wordt de genialiteit van Einstein dusdanig  geprezen dat de wetenschapper die het 'niet begrijpt ' al lang blij is tot een normaal menstype te behoren. Einstein was een buitencategorie.  

Het probleem waar de wetenschapper mee worstelt wordt veroorzaakt door het feit dat de gevestigde wetenschap nog steeds met één been in de aethertheorie staat. Dat zit zo:
Einstein heeft aangenomen dat de lichtsnelheid voor iedere waarnemer, wat zijn bewegingstoestand ten opzichte van de lichtbron ook mag zijn, dezelfde, constante waarde heeft en hij heeft daarmee wat betreft de voortbeweging van het licht in de ruimte de aether als tussenstof overbodig gemaakt. Met de constante lichtsnelheid kon hij de resultaten van Michelson en Morley, maar ook van Fizeau en anderen, verklaren.
Dit gaf Einstein de overtuiging dat hij de aethertheorie de doodsteek had toegebracht maar onbewust heeft hij via een achterdeur de aethertheorie weer binnengehaald. Bij de uitwerking van zijn  theorie heeft hij namelijk de contractie van de 'ruimte' van een bewegend stelsel geïntroduceerd. Daarbij betreft de contractie niet alleen de ruimte maar ook ieder natuurkundig object dat zich in die bewegende ruimte bevindt. Dit wordt de  Lorentzcontractie genoemd. Deze contractie ligt aan de basis van het begrip 'gekromde ruimte'.
In eerste instantie heeft Einstein dus de uiterst ijle substantie 'aether' uit de ruimte verwijderd, om vervolgens aan de ruimte zélf fysische eigenschappen te geven. De ruimte werd door hem gevuld met een stof die kon krimpen of uitzetten.
Daarmee gaf Einstein zonder meer vorm aan een nieuwe aethertheorie.   

Deze stof heeft als eigenschap dat het een uiterst star materiaal is dat slechts bij heftige kosmische gebeurtenissen, zoals van botsende sterren, tot een meetbare trilling kan worden gebracht. Zoals een hoogleraar het Ned Tijdschrift voor Natuurkunde het omschreef  "de stijfheid van die ruimtetijd is vergelijkbaar met die van een dikke stalen plaat" (sic!).  

Hoewel uit kringen van belangstellenden in de relativiteitstheorie talloze signalen werden en worden afgegeven over de fysische onbegrijpelijkheid van de Lorentzcontractie heeft de gevestigde wetenschap ieder kritisch geluid opgevat als een laaghartige aanval op de in schoonheid onovertroffen theorie van Einstein die slechts hooghartig kon worden gepareerd door te wijzen op de voor leken niet te doorgronden wiskundige complexiteit van de theorie.

In een artikel over de Lorentzcontractie (lit 1) heb ik aangegeven dat louter op filosofische gronden de Lorentzcontractie onjuist moet zijn.
In het huidige artikel geven we daar een vervolg aan door de fouten  op te sporen  in de afleiding die Einstein in 1905 gaf toen hij de grondslag legde voor de speciale relativiteitstheorie (lit 2) . Deze fouten dwongen hem tot de aanname van de Lorentzcontractie om de theorie rond te krijgen.

2.     Filosofische uitgangspunten  

Einstein heeft op verschillende plaatsen zijn relativiteitstheorie een filosofische grondslag trachten te geven. De speciale relativiteitstheorie is er op gebaseerd dat de fysische wetten dezelfde zijn voor een waarnemer in een stelsel-in-rust als voor een waarnemer in het stelsel-in-beweging.  Dit is het relativiteitsbeginsel. Hij refereerde aan het causaliteitsprincipe (oorzaak en gevolg) om zijn algemene relativiteitstheorie te onderbouwen (lit 3 p.772). Toch is dat wat mager voor een theorie die ons wereldbeeld drastisch heeft veranderd. We zullen in de volgende verhandeling enkele natuur–filosofische gedachten formuleren die aan de natuurkundige theorie vooraf moeten gaan.
Te beginnen met de eis: "Er bestaat slechts één natuurkundige werkelijkheid".
Ik zou dit de Grondwet voor de Natuurkunde willen noemen.  
We kunnen dit definiëren als de met elkaar overeenstemmende beschrijving – na correctie voor de bewegingstoestand van de waarnemer – van alle onafhankelijke waarnemers van een natuurkundige gebeurtenis en zijn gevolgen. 

Bijvoorbeeld een gebeurtenis als het omvallen van een rij dominostenen waarbij de laatste een schakelaar in werking zet waardoor een glas water omvalt en er een plas water op de vloer ontstaat. Deze gebeurtenis zal door elke betrouwbare waarnemer op dezelfde wijze worden beschreven. Een passerende wandelaar, een passagier in een trein of een kermisgast in een achtbaan, kortom elke waarnemer die de gebeurtenis van begin tot eind onbelemmerd kan waarnemen, zal voor een buitenstaander dezelfde gebeurtenis kunnen beschrijven inclusief de plas water. Mocht er een waarnemer zijn die beweert dat een deel van de  gebeurtenis niet heeft plaatsgevonden zoals de anderen deze beschrijven, dan zal hem worden gevraagd te verklaren hoe de plas water dan op de grond is gekomen. Als hij de anderen niet kan overtuigen, zal hij als waarnemer niet serieus worden genomen: "Iedereen ziet toch dat er water op de grond ligt!" 

Het is essentieel voor de fysica dat verschillende waarnemers van een natuurkundige gebeurtenis – rekening houdend met hun bewegingstoestand – eenzelfde beschrijving geven.
Deze overeenstemming heeft echter ook zijn keerzijde. Wanneer de gevestigde wetenschap  beweert 'waar te nemen' dat de aarde plat is, zal een waarnemer die het anders ziet, worden weggehoond. Hij staat voor de taak andere waarnemers voor zijn visie te winnen. Hij zal hen de feiten voor ogen moeten houden en hen met argumenten moeten bestoken. Alleen wie dat tot een goed einde brengt, levert een bijdrage aan de ontwikkeling van de wetenschap.
Zo deed Einstein begin vorige eeuw in zijn "Dialoog" alle mogelijke moeite (lit 4) om de "Criticasters" zoals hij ze noemde - tegenover de "Relativisten" - er van te overtuigen dat de 'Tweelingparadox' een verklaarbare consequentie was van de relativiteitstheorie. Hij heeft het pleit gewonnen ondanks een rammelende argumentatie.  

In het voorliggende artikel zullen we met evenveel verve de "Relativisten" ervan trachten te overtuigen dat op basis van de natuurkundige werkelijkheid een verbetering van de relativiteitstheorie noodzakelijk is. De verbetering – het verwerpen van de Lorentzcontractie – heeft echter grote gevolgen voor ons wereldbeeld van ruimte en tijd .  

We zullen in dat verband een natuurkundige gebeurtenis definiëren als een verandering gedurende een zekere tijdsduur van een herkenbare toestand naar een nieuwe herkenbare toestand van een verzameling materiële objecten. De 'herkenbaarheid' bestaat er uit dat alle in aanmerking komende waarnemers dezelfde markante elementen van een toestand kunnen waarnemen.

Onder een stelsel verstaan we alle materiële punten die zich ten opzichte van elkaar niet bewegen en evenmin onderling een verschillende versnelling ondervinden.
Onder een stelsel-in-rust verstaan we een stelsel dat geen versnellingen ondervindt en van waaruit een bewegend stelsel wordt waargenomen.
Een stelsel-in-beweging is een stelsel dat ten opzichte van het stelsel-in-rust een zekere snelheid heeft. In dit artikel laten we versnellingen buiten beschouwing.

Uit symmetrie overwegingen mogen we stellen dat de grootte van de snelheid over en weer gelijk is tussen het stelsel-in-rust en het stelsel-in-beweging.  

De constante lichtsnelheid heeft tot gevolg dat een klok in een bewegend stelsel – afhankelijk van de snelheid waarmee het stelsel beweegt – langzamer loopt dan de klokken van de waarnemers die het bewegende stelsel waarnemen. Het fascinerende hiervan is dat de achterlopende klok juist sneller blijkt te lopen dan de klokken van de genoemde waarnemers als we ons naast die klok opstellen. Dan zijn we van stelsel gewisseld. We komen daar uitgebreid op terug.  

We zullen altijd met identieke klokken werken, dat zijn klokken die als ze naast elkaar worden geplaatst even snel lopen.
Omdat de (identieke) klokken in het stelsel-in-beweging langzamer lopen, verlopen de gebeurtenissen in het stelsel-in-beweging met een tragere tijdsnelheid.  Hieraan wordt de Lorentzfactor γ  gekoppeld: de tijd in het stelsel-in-beweging gaat γ sec/sec keer zo traag als in het stelsel-in-rust. Wij beperken ons tot v << c zodat γ weinig van één verschilt. 
Er geldt  γ ≥ 1 

De fysische gebeurtenis – zoals het eenmaal rondgaan van de lange wijzer over de wijzerplaat van een klok – zal voor verschillende waarnemers met verschillende snelheden ten opzichte van die klok volgens hun eigen klok meer tijd in beslag nemen. Het is weliswaar een vergelijkbare gebeurtenis maar op het moment dat volgens een waarnemer de lange wijzer van zijn eigen klok éénmaal de wijzerplaat heeft doorlopen, is de lange wijzer van de waargenomen, bewegende klok nog niet zover. Een gebeurtenis in het andere, met constante snelheid bewegende stelsel vindt met een tragere tijdsnelheid plaats.

Een verhelderend begrip is de punt–gebeurtenis. Dit is een gebeurtenis op één plaats op één tijdstip. Een botsing of een lichtflits. Voor de ene waarnemer zal een punt–gebeurtenis volgens zijn stelsel op een ander tijdstip en op een andere plaats plaatsvinden dan volgens de andere waarnemer.  

Wanneer een waarnemer een voorwerp met een snelheid van v m/s op het tijdstip t = 0 een bepaald punt ziet passeren, dan heeft er na t sec een gebeurtenis plaatsgevonden die bestaat uit de afgelegde afstand van v.t meter in zijn stelsel. De tijdsduur t leest hij af op de klokken in zijn stelsel. De klok op het bewegende voorwerp laat echter een kortere tijdsduur zien van t* = t/γ sec . Dan is de afgelegde afstand volgens de waarnemers in het stelsel-in-beweging gelijk aan v.t* = v.t/γ meter. Ogenschijnlijk is dat minder dan volgens de eerste waarnemer, maar beide waarnemers zien toch op dezelfde momenten het voorwerp de genoemde punten passeren met dezelfde snelheid. De tijd en de afstand moeten kennelijk op een verschillende manier worden bekeken in de twee stelsels.  

Welke identieke gebeurtenis moet de (mee bewegende) waarnemer die zich bij het voorwerp bevindt, hieraan toekennen? Deze bevindt zich in stilstand ten opzichte van het voorwerp. Het voorwerp legt een afstand af ten opzichte van het andere stelsel, maar de tijdsduur t* is minder.  
Omdat t en t* van elkaar verschillen (t* = t/γ), hebben de waarnemers met verschillende gebeurtenissen te maken. Pas als t* de waarde  t bereikt, kan de bewegende waarnemer over dezelfde gebeurtenis spreken als de waarnemer in het stelsel-in-rust. Dit betekent dat het stelsel-in-beweging tot het tijdstip γ.t* sec moet voortbewegen voordat de waarnemer in dat stelsel de identieke gebeurtenis ervaart.

Voor een identieke gebeurtenis moet de tijdsduur volgens de eigen klok even lang zijn.  We zullen nog zien dat de afgelegde afstand  in het stelsel-in-rust voor een identieke gebeurtenis van  het stelsel-in-beweging γ² keer groter moet zijn dan de afgelegde afstand die volgens het stelsel-in-rust is afgelegd. Dit verrassende resultaat wordt in  § 7 afgeleid.
 

3.     De klokkentest in een bewegend stelsel  

Einstein wees in het begin van zijn artikel over de speciale relativiteitstheorie  (lit 2 p.894) op het belang van gelijklopende, identieke klokken. Hij deed ons een methode aan de hand om te testen of twee klokken A en B in een stelsel op een vaste afstand AB van elkaar, gelijklopen.

De tijdsduur wordt door zowel waarnemers in de trein als waarnemers op de grond met behulp van de klokken uit hun eigen stelsel bepaald. Voor de waarnemers op de grond  die het experiment in het bewegende stelsel gadeslaan, beweegt de lichtpuls ook met de snelheid c van A naar B en terug, maar zij zien dat het punt B zich intussen met de snelheid v verplaatst. De afstand die de puls op de heenweg moet overbruggen is dan groter dan AB . We kunnen uitrekenen op welke plaats B zich bevindt als de puls hem inhaalt, maar voor de berekening komt het op hetzelfde neer om voor de snelheid van de puls ten opzichte van de punten A en B de waarde (c - v)  m/s te nemen. 
Op de terugweg is de afstand die de puls moet overbruggen juist kleiner dan AB. Voor de snelheid op de terugweg kunnen we om dezelfde rekenkundige redenen de uitdrukking
(c + v) m/s gebruiken.
De analyse in de volgende paragrafen laat zien dat de tijdsduur voor de heen en weergaande beweging op de klokken van de waarnemers op de grond groter is dan de tijdsduur op de klokken van de waarnemers in de trein! De klokken van de grond–waarnemers moeten dus sneller hebben gelopen dan de klokken van de waarnemers in de trein.
De waargenomen gebeurtenis vraagt meer tijd [1]  volgens de klokken van de grondploeg dan volgens de klokken van de ploeg in de trein. Je zou dat kunnen billijken want voor de grondploeg is het meer dan één gebeurtenis: de heen en weergaande lichtstraal en ook nog de verplaatsing van de trein.
De tijd speelt hier overigens een ondoorgrondelijke rol want beide 'klok–ploegen' ervaren niets van een snellere of langzamere tijd, voor hen is het gewoon de tijd voor de gebeurtenis.

4.     Plaats en tijd in het stelsel-in-beweging

De relatie tussen de tijd en de plaats van de eigen klok in het stelsel-in-rust en de tijd en plaats van de passerende klok in het stelsel-in-beweging werd door Einstein als volgt gevonden. Hij voerde twee coördinatenstelsels in:
Ø         het coördinatenstelsel in het stelsel-in-rust met de coördinaten (x ,y, z, t), en
Ø         het coördinatenstelsel in het stelsel-in-beweging met de coördinaten (ξ, η, ζ, τ).
Ieder punt in de ruimte bevindt zich altijd in beide stelsels tegelijk en ook een bewegend object houdt zich altijd in beide stelsels tegelijk op . Iedere plaats waar het object zich op zeker tijdstip bevindt, krijgt daarom in de twee verschillende stelsels een verschillend viertal  coördinaten mee.

Het is nu de kunst om de formules te vinden die het mogelijk maken uit de set coördinaten    (x,y,z,t)     het viertal coördinaten  (ξ,η,ζ,τ)   te vinden.
Dit wordt een coördinatentransformatie genoemd.  

Omdat de constante beweging langs de X–as plaatsvindt, nemen we – samen met Einstein [1] – zonder bewijs aan dat de waarden van de plaatscoördinaten in de Y–richting en de Z–richting niet veranderen,   dus η = y  en  ζ = z . 

Om de plaats ξ en de tijd τ in het met de snelheid v bewegende stelsel te vinden als de tijd t en de plaats x in het stelsel-in-rust bekend zijn, paste Einstein de klokkentest toe op twee klokken A en B in het stelsel-in-beweging. We zullen zijn berekening exact volgen en controleren.
Op het moment dat A de oorsprong O van het stelsel-in-rust passeert (fig.1)  vertrekt uit A een lichtpuls naar het punt B. Voor dat moment gelden de beginvoorwaarden in het stelsel-in-rust x = 0 en t = 0 en in het stelsel-in-beweging ξ = 0 en τ = 0 . Het punt A vormt de oorsprong van het bewegende stelsel. Voor het punt B geldt in dit stelsel ξ_B = AB = ℓ meter. 
We zullen het stelsel-in-rust ook wel stelsel O en het stelsel-in-beweging stelsel A noemen.  

In het stelsel A zal de lichtpuls het punt B bereiken na τ_B  = ℓ/c sec .
Op welk tijdstip t_B  bereikt de puls het punt B volgens een waarnemer in het stelsel-in-rust ? Einstein ging er van uit dat de (bewegende) afstand AB voor de waarnemer in het  stelsel-in-rust mogelijk niet de lengte ℓ heeft. Hij noemt deze lengte x'.  Op het tijdstip t = 0 geldt dus voor het punt B de plaats   x_B = x' meter.
Er geldt dan na t_B  sec voor de plaats van B in het stelsel-in-rust x_B = x' + v.t_B .
We kunnen ook schrijven x' = x_B – v.t_B  meter.

 5.     De tijdfunctie

            6.     De berekening van de integratieconstante.

 De berekening van a doen we net als Einstein via een beschouwing over het gedrag van de tijd in de Y–richting. We zullen hem opnieuw  berekenen wegens onze gewijzigde aanpak.
We gebruiken de klokkentest, maar nu voor klokken langs de Y–as:  
  
                                  ½(τ_A' + τ_A) = τ_B                                                               (1A)

We laten een lichtpuls langs de Y–as bewegen vanuit punt A naar een punt B – dat zich op de afstand y₀ bevindt – en terug. Volgens de waarnemers in beide stelsels is de afstand tussen A en B gelijk aan y₀ meter. Voor de waarnemers in het stelsel-in-beweging vliegt de puls rechtstandig op en neer. Voor de waarnemers in het stelsel-in-rust beschrijft de lichtpuls een driehoekige weg (fig.2).  

Dit is de bekende Lorentztransformatie–formule voor de tijd τ in het stelsel-in-beweging die Einstein in zijn artikel over de speciale relativiteitstheorie (lit 2 p 902) presenteerde.

De  betekenis ervan is dat als op de plaats x in het stelsel-in-rust de tijd t op de klokken staat een klok uit het stelsel-in-beweging die op dat moment deze plaats passeert, de genoemde tijd τ  moet vertonen.

Een willekeurige klok uit het stelsel-in-beweging die op het tijdstip t = 0 sec gelijk wordt gezet met de klokken uit het stelsel-in-rust en dus de tijd τ = 0 vertoont, zal op het tijdstip t de plaats x = v.t bereiken, waardoor zijn tijd een waarde heeft van:

Blad 12

                  7.     De gevolgen van de tragere tijdsnelheid  

Wanneer een punt A van een stelsel-in-beweging, bijvoorbeeld een trein, na t sec een afstand ℓ = v.t meter heeft afgelegd van de oorsprong O tot een punt P in het stelsel-in-rust, staat op de klokken in het stelsel-in-rust uiteraard de tijd t sec, maar op de klok bij A staat dan de tijd t/γ , want die klok loopt langzamer. In het stelsel-in-rust komt de tijdsduur t sec bijvoorbeeld overeen met een balletje dat omhoog wordt gegooid en weer terugkomt. Wanneer men gelijktijdig in het stelsel A ook zo'n balletje even hoog had opgegooid, is dat balletje nog niet terug op het moment dat A het punt P passeert. Het balletje is pas terug als op de klok bij A ook de tijd t staat. Het balletje heeft er dan γ keer zo lang over gedaan. Dat is de identieke gebeurtenis voor de waarnemers in het stelsel-in-beweging. Voor hen heeft de gebeurtenis even lang geduurd.  
Het gevolg is dat het punt A zich dan heeft verplaatst tot γℓ meter in het stelsel-in-rust.

Uit symmetrie–overwegingen staat onomstotelijk vast dat de snelheid van het ene stelsel ten opzichte van het andere over en weer gelijk is. De afgelegde afstand als de klok t sec aangeeft, lijkt echter te verschillen.  
Dit verschil wordt veroorzaakt door het 'definiëren' van het stelsel-in-rust. Daarmee krijgt het stelsel-in-rust een andere plaats in het verhaal dan het stelsel-in-beweging. Een zogenaamde bevoorrechte positie. De klokken in het stelsel-in-rust lopen dan sneller dan de klokken in het stelsel-in-beweging. Daarmee lijkt een asymmetrie te worden ingevoerd want de afgelegde afstand  van het stelsel-in-beweging in het stelsel-in-rust na t sec op de klok in het stelsel-in-rust verschilt immers van de afgelegde afstand  van het stelsel-in-beweging in het stelsel-in-rust na t sec op de klok in het stelsel-in-beweging. 

Hoe kunnen we dit voor de bewegende stelsels omschrijven?
De oplossing zit er in dat vanuit het stelsel-in-rust gezien, de eenheid van tijd  in het stelsel-in-beweging een factor γ keer groter is dan in het stelsel-in-rust. Daarom geeft een klok minder seconden aan voor dezelfde tijd. We maken gebruik van een tijdeenheid die γ keer groter is dan de seconde. Deze eenheid geldt alleen voor een stelsel dat daadwerkelijk beweegt, dat wil zeggen dat het de tijdeenheid is die men in het stelsel-in-rust moet gebruiken om de natuurkundige gebeurtenissen in het stelsel-in-beweging te beschrijven.
Wanneer we de tijd daarin uitdrukken, wil ik over de Lorentz–tijd spreken. 
De bijbehorende  eenheid kan dan de 'Lorentz–seconde' , 
afgekort tot lorentzsec of lorsec,  worden genoemd.
Er geldt:  1 lorsec = γ  sec .

Blad 13

De tijdsnelheid in het stelsel-in-beweging is afgenomen. Dit uit zich er in dat vanuit het stelsel-in-rust gezien een gebeurtenis in het bewegende stelsel langer duurt, maar ook dat als zich een gebeurtenis in beide stelsels herhaaldelijk voordoet – bijvoorbeeld vanuit het stelsel-in-rust wordt er ieder uur een kopje koffie aan een bepaalde passagier in de trein overhandigd – dan is de frequentie in het stelsel-in-beweging hoger dan in het stelsel-in-rust omdat het in het bewegende stelsel minder dan een uur duurt voor het volgende kopje wordt aangeboden.  
Maar ondanks de tragere tijdsnelheid blijft de snelheid  gewoon v m/s.

Als we echter de snelheid (= afstand gedeeld door tijd) met de Lorentz–tijd weergegeven dan moet ook de lengte–eenheid γ keer zo groot worden. Het gaat hierbij om een lengte–eenheid die voor de afgelegde afstand  in de bewegingsrichting moet worden gebruikt. Een afgelegde afstand in die eenheid leidt in het stelsel-in-rust tot een γ keer grotere lengte van de afstand, de 'Lorentz-afstand'.

De grotere lengte–eenheid zouden we de 'Lorentz–meter' - afgekort tot  lormeter - kunnen noemen. Er geldt:  1 lormeter = γ  meter.

Dan volgt er uit voor de snelheid:  v lormeter/lorsec = v m/s zodat de snelheid inderdaad over en weer gelijk blijft.
De afgelegde afstand door het bewegende stelsel wordt dan: 
v  x t (lormeter/lorsec).lorsec = v.t lormeter.  

Er geldt: v.t lormeter = γ.vt meter.
Daarmee vinden we op het tijdstip t/γ lorsec voor de afgelegde afstand van het stelsel-in-beweging in het stelsel-in-rust toch gewoon v.t meter.
Daarmee wordt recht gedaan aan onze natuurkundige ervaring: op het tijdstip t heeft het object de afstand v.t afgelegd, maar op zijn klok staat t/γ. 

Ø         Deze nieuwe eenheden moeten dus door de waarnemer in het stelsel-in-rust worden toegepast als hij iets wil berekenen dat zich in het stelsel-in-beweging afspeelt

Het is voor ons onderzoek van groot belang de identieke gebeurtenis van een afgelegde afstand in beide stelsels te bepalen. Voor deze identieke gebeurtenis geldt dat de tijdsduur in het stelsel-in-beweging uitgedrukt in Lorentz–seconden even groot is als de tijdsduur in het stelsel-in-rust in gewone seconden. 
Omdat zowel de Lorentz–sec als de Lorentz–meter γ keer zo groot zijn als de seconde en de meter, wordt de identiek afgelegde afstand (=  snelheid x tijd)  na t lorsec

  een γ² keer grotere afgelegde afstand  

van het stelsel-in-beweging in het stelsel-in-rust dan de afgelegde afstand volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust na t sec is.

Blad 14

Samenvattend zijn dit drie belangrijke bevindingen

Ø         De tijdsduur van een gebeurtenis in ons stelsel is op onze klokken precies even groot als voor de identieke gebeurtenis in het stelsel-in-beweging op de klokken van het

Ø         De tijdsduur van een gebeurtenis op een vast punt in het stelsel-in-beweging is op onze klokken altijd γ keer zo groot als op de klokken in het bewegende stelsel zelf

Ø         Het stelsel-in-beweging moet een γ² keer grotere afstand afleggen in het stelsel-in-rust om de identiek afstand af te leggen die volgens het stelsel-in-rust is afgelegd.

 Verhelderend: Iemand kan over 10 minuten thuis zijn maar dan moet hij nu vertrekken. Hij treuzelt waardoor hij nog maar 9 minuten over heeft. Hij besluit snellere stappen te nemen om op tijd thuis te zijn. Met een factor 10/9 past hij het ritme van zijn stappen aan waardoor hij precies op hetzelfde tijdstip thuiskomt als wanneer hij op tijd zou zijn vertrokken. Door zijn grotere snelheid worden zijn stappen echter ook 10/9 keer zo groot. Daardoor legt hij in die 9 minuten niet de afstand af die nodig is, maar hij schiet zijn doel voorbij. Hij heeft na die 9 minuten een 10/9 keer zo grote afstand afgelegd. Terwijl hij normaal in 9 minuten 9/10 deel van de afstand tot zijn huis zou hebben afgelegd, heeft hij nu 10/9 keer die afstand afgelegd. De afstand is daarmee (10/9)² keer zo groot geworden. Een kwadratische toename.

Opmerking: Zoals de langzamere Lorentz–tijd voor het gehele bewegende stelsel geldt, zo is de Lorentz–afstand ook een eigenschap van het bewegende stelsel als totaliteit. Het gaat om de door het gehele stelsel afgelegde afstand die in lormeters wordt uitgedrukt. Het stelsel zelf blijft hierbij onvervormd, zoals we in de volgende paragraaf zullen aantonen, en kan worden beschouwd als een star object waarvan de afmetingen in meters worden uitgedrukt.

In het kritische artikel (lit 6) op deze website over de Lorentzcontractie wordt "de γ² keer grotere afstand" bij constant bewegende stelsels als uitgangspunt genomen samen met de invloed van de versnelling van een stelsel op de tijdsnelheid. Dit leidt tot een transparante verklaring van de:

Ø       Ehrenfestparadox met zijn centrifugale versnelling 

Ø       afleiding van de periheliumprecessie van Mercurius door zijn snelheid in het zwaartekrachtveld van de zon.

Deze voorbeelden werden door Einstein gebruikt als ondersteunend bewijs voor  de algemene relativiteitstheorie. In het genoemde artikel laten we zien dat de relativiteitstheorie zonder Lorentzcontractie  sneller tot dezelfde of zelfs betere resultaten leidt.

                  8.     De fout van Einstein  

Nu we de tijd met de tijdformule (6) in het stelsel-in-beweging kunnen bepalen uit de tijd en de plaats in het stelsel-in-rust (of omgekeerd) vragen we ons af of we ook kunnen begrijpen waarom Einstein de Lorentzcontractie heeft ingevoerd voor een bewegend voorwerp.
We bekijken daartoe een stelsel-in-beweging met oorsprong A dat met constante snelheid v langs de X–as in het stelsel-in-rust (met oorsprong O) beweegt en waarin in de X–richting zowel als in de Y–richting een even lange staaf met de lengte ℓ is opgesteld.

We zullen nu aan de hand van een exacte berekening van de vertrek– en aankomsttijden van de lichtpulsen laten zien dat aan de grondwet van de natuurkunde is voldaan. Mede op basis daarvan hebben we immers besloten dat de Lorentzcontractie niet bestaat.
Eerst bepalen we het tijdstip in het punt B' van het stelsel-in-rust als de lichtpuls punt B in het stelsel-in-beweging bereikt (zie fig 5). In het bewegende stelsel bereikt de lichtpuls het punt B op het tijdstip  τ_B = ℓ/c lorsec. De plaats van B is ξ = ℓ  lormeter in het stelsel-in-beweging. Plaats en tijd zijn dus bekend van het punt B in het stelsel-in-beweging.

Blad 19

Met de tijdformule (6) berekenen we nu het tijdstip van hetzelfde punt in het stelsel-in-rust: het punt B'. Omdat de heenreis op het tijdstip t = 0  was begonnen, heeft dit tijdstip tevens de betekenis van de tijdsduur Δt_B' die de lichtpuls in het stelsel-in-rust nodig had om vanuit de oorsprong O het punt B' te bereiken.
Bedenk dat we met de tijdformule in dit geval terug moeten transformeren van het stelsel-in-beweging naar het stelsel-in-rust. Dan is de snelheid van stelsel O negatief ten opzichte van stelsel A, dus –v m/s.

We vinden voor de tijdsduur in het stelsel in rust:

Δt_B'= t_B'=== sec

Om de tijdsduur te vinden voor de terugweg van B' naar A'' in het stelsel-in-rust bekijken we de situatie vanuit het stelsel-in-beweging. Op het moment dat B de oorsprong O van het stelsel-in-rust passeerde (zie fig 6)  geven we daaraan de beginvoorwaarden t = τ = 0. Het punt B wordt dus als oorsprong van het bewegende stelsel genomen. Voor het berekenen van de tijdsduur mag dit.
In het stelsel-in-beweging bereikt de lichtpuls dan het punt A op de plaats –ℓ op het 
tijdstip τ = ℓ/c. We kunnen nu met de tijd en de plaats van punt A de tijdsduur Δt_A''  in het stelsel-in-rust berekenen voor de terugreis:  

= sec 

Blad 20

Uit de som van de tijdsduur van de heenweg en de terugweg van O naar B' naar A''  volgt de totale tijdsduur van de gebeurtenis volgens de waarnemers  in het stelsel-in-rust  :

Dit is dezelfde tijdsduur die de puls ook nodig heeft om in de Y–richting dezelfde verticale afstand af te leggen volgens het stelsel-in-rust. De pulsen bereiken gelijktijdig A" waardoor de lichtflits ontstaat. 
Daarmee wordt voldaan aan onze 'Grondwet': waarnemers in beide stelsels nemen de lichtflits waar.  Het gebruik van een gekrompen lengte van het bewegende stelsel in het stelsel-in-rust zou tot onjuiste resultaten hebben geleid.

Ø         Opnieuw zien we: "De Lorentzcontractie bestaat niet!"

10.     De plaatsfunctie 

Met de Lorentz–transformatieformule voor de tijd wordt de tijd τ  berekend 
van een klok in het met de constante snelheid v m/s bewegende stelsel die net op het tijdstip t  de plaats x in het stelsel-in-rust passeert. De berekening levert exact de tijd op die de waarnemers in het stelsel-in-beweging daadwerkelijk op het moment van passage op hun klok waarnemen. Maar ook de waarnemers in het stelsel-in-rust nemen deze tijd waar op de bewegende klok als deze het punt x passeert. De waarnemers van beide stelsels zijn het over deze waarnemingen eens.   

De tijd τ in het stelsel-in-beweging loopt trager dan de tijd t in het stelsel-in-rust, zoals de waarnemers in het stelsel-in-rust kunnen zien. Volgens de waarnemers in het stelsel-in-beweging is het net andersom. Hierover zijn ze het oneens. Hoe snel de klokken lopen hangt dus af van welk stelsel als uitgangspunt wordt gekozen.

Uit ons onderzoek blijkt dat de transformatie–formule voor de tijd boven elke twijfel is verheven. Maar omdat we hebben aangetoond dat de Lorentzcontractie niet bestaat, is het onwaarschijnlijk dat de transformatie–formule voor de plaats wel juist is.

Blad 21

Einstein leidde de volgende transformatie–formule voor de plaats af:  ξ = γ(x – vt) meter. 
De plaats ξ in het stelsel-in-beweging zou hiermee worden gevonden voor een punt dat zich op het tijdstip t op de plaats x in het stelsel-in-rust bevindt. Alles speelt zich af langs de X–as waarlangs de beweging plaatsvindt.
Bijvoorbeeld voor de oorsprong van het bewegende stelsel A geldt x = v.t  en dus is ξ_A = 0 volgens de formule. 
Hier klopt de formule: de oorsprong blijft de oorsprong, maar dat is dan ook het enige dat klopt! 
Deze formule leidt namelijk tot een andere waarde voor de lengte van een voorwerp dan de waarnemers in het stelsel-in-beweging zelf opmeten. Een stok met een lengte van Δx = ℓ meter die zich op t = 0 uitstrekt tussen x₁ = 0 en x₂ = ℓ meter krijgt in het bewegende stelsel volgens de transformatieformule de lengte ξ = γ(x₂ – vt) – γ(x₁ – vt) =  γ(x₂ – x₁) = γ(ℓ–0) = γℓ meter. De stok wordt dus langer met een factor γ.  
Dit is echter niet wat de waarnemers in het stelsel-in-beweging waarnemen. Volgens hen is de lengte gewoon ℓ meter. Dit komt, zeggen de Relativisten, omdat alles en dus ook de meetstok met de factor γ groter is geworden. Ze kunnen er dus als niet achter komen of de stok wél of niet afwijkt van de stok in het stelsel-in-rust!    

Ø           Dit stukje theorie is dus niet falsifieerbaar. Dit maakt het tot een onwetenschappelijke theorie volgens de wetenschapsfilosoof Karl Popper.

Dit komt niet overeen met het gedrag van een klok. Die loopt weliswaar ook weer even snel als hij wordt teruggebracht naar het stelsel-in-rust, maar we kunnen de tijd op de klok in het stelsel-in-beweging vanuit het stelsel-in-rust aflezen en dus meten. We weten dat een tragere klok steeds meer achter gaat lopen op een klok in het stelsel-in-rust. Die achterstand wordt niet goedgemaakt als de klok in het stelsel-in-rust wordt teruggebracht. De klok loopt dan volgens iedere waarnemer achter.  
We zien iets dergelijks in de lengte van de stok niet terug, deze is niet van lengte veranderd als hij enige tijd met grote snelheid heeft rondgezworven en weer terugkomt in het stelsel in rust.

Er zit hier duidelijk een asymmetrie in de theorie van Einstein: de bewegende waarnemers zijn het met de rustende waarnemers eens over de tijden op de klokken, maar niet over de lengte van de stokken.

Uit het voorgaande blijkt dat het tijd is om onze visie op de Lorentzcontractie te wijzigen. Er is namelijk wel degelijk sprake van krimp, maar niet van de lengte van een bewegend object,  maar van de afgelegde afstand door het object.    

Een lengte is een fysische eigenschap van een voorwerp. Een afgelegde afstand daarentegen –product van snelheid en tijd – is een fysische gebeurtenis, een reis, nauw verwant aan de tijdsduur. Een afgelegde afstand tussen twee punten is met de klokken van het stelsel-in-rust gemeten altijd groter dan gemeten met de klokken in een bewegend stelsel omdat de eerste klokken een grotere tijdsnelheid hebben. Over de aard van de gebeurtenis zijn alle waarnemers het met elkaar eens en ook de tijdaanwijzing op de klokken op het moment dat het voorwerp de punten passeerde wordt door alle waarnemers bevestigd, maar de tijdsduur op de klokken van de bewegende waarnemers is minder dan op de klokken van de waarnemers in het stelsel-in-rust. Volgens de waarnemers in het stelsel-in-beweging is de grootte van de gebeurtenis, de afgelegde afstand in het stelsel-in-rust , kleiner dan volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust. De afgelegde afstand van de bewegende waarnemers is dus minder groot  terwijl de lengte tussen de punten hetzelfde is.   

Blad 22

In §7  hebben we laten zien hoe we tot de lorentzmeter als lengte–eenheid met een lengte van γ meter zijn gekomen. In het stelsel-in-beweging moet met een langere eenheid voor de tijd, namelijk de lorentzsec , worden gewerkt anders zou er op de klokken van het bewegende stelsel geen kortere tijdsduur worden opgemeten voor eenzelfde gebeurtenis. Daaruit volgt dat ook de eenheid voor de afgelegde afstand groter moet zijn dan een meter, namelijk γ meter, omdat het bewegende stelsel in minder tijd een afstand met dezelfde lengte aflegt als volgens het stelsel-in-rust.

We zullen nu aantonen met behulp van de geïntroduceerde eenheden dat een lengte in het stelsel-in-rust dezelfde lengte is als in het stelsel-in-beweging.
We schrijven daartoe een lengte als een afgelegde afstand  Wanneer we twee punten x₁ en x₂  in het stelsel-in-rust hebben, kunnen we hun onderlinge afstand Δx = x₂ –x₁ in de X–richting omschrijven als het verschil in afgelegde afstand:  

Hierin zijn t₂ en t₁ de tijden die nodig zijn om met de snelheid v vanuit de oorsprong van het stelsel-in-rust de punten x₂ en x₁  te bereiken.

Nu kunnen we Δx transformeren naar het bewegende stelsel waarbij de transformatie neerkomt op een transformatie van de tijden met de tijdformule:

 Deze formule vervangt de Lorentztransformatie–formule voor de plaats waarbij we goed moeten beseffen dat de waarnemers in het stelsel-in-rust de Lorentz –eenheden moeten gebruiken in het stelsel-in-beweging.

Blad 23

Deze transformatie voor de plaats gaat even gemakkelijk als de Lorentztransformatieformule, we moeten echter rekening houden met de eenheid. In het algemeen berekenen de waarnemers in het stelsel-in-rust een in getalswaarde kleinere afgelegde afstand door een object, maar omdat de eenheid groter is, moeten ze concluderen dat de lengte van de afgelegde afstand even groot is (bij een kortere tijdsduur). Ook de lengte van het object blijft even groot.

Het lijkt er dus op dat er weinig verandert, maar het subtiele verschil zit erin dat het bewegende stelsel een afstand met een zekere lengte in het stelsel-in-rust in minder tijd heeft afgelegd. Voor de meebewegende waarnemers is de identieke gebeurtenis nog niet af. Voor dezelfde gebeurtenis zullen zij een grotere afstand moeten afleggen. Bij cirkelvormige bewegingen zal het bewegende voorwerp volgens de waarnemer in het stelsel-in-rust méér dan de cirkel afleggen voor de cirkel volgens de waarnemer in het stelsel-in-beweging is afgerond. Dat speelt bij de Ehrenfestparadox en de perihelium precessie van Mercurius (zie lit 6  "Artefact") een rol.  

Hiermee is de Lorentzcontractie definitief  naar de prullenbak verwezen.

Wij stellen daar tegenover:  

Het zijn de afgelegde afstanden die door de tijdsnelheid worden beïnvloed, niet 
de afmetingen van de objecten noch de afstanden tussen de objecten of hemellichamen.

Toelichting: We zien dat de tijd bij deze transformaties de hoofdrol speelt en de ruimte geen enkele. De ruimte is een abstract begrip en heeft dientengevolge geen fysische eigenschappen. We kunnen nooit stellen dat een voorwerp een afstand in de ruimte heeft afgelegd omdat er nu eenmaal in de ruimte geen merktekens te vinden zijn. Een afgelegde afstand is echter een fysische grootheid die (net als de tijdsnelheid overigens) betekenis krijgt in een stelsel: het voorwerp legt een bepaalde afstand af ten opzichte van de materiële objecten die samen het stelsel vormen. Wanneer het voorwerp een extreem grote snelheid heeft, zoals kosmische deeltjes, wordt vanwege de extreem trage tijdsnelheid de afgelegde afstand tussen sterrenstelsels 'zeer klein'. De afgelegde afstand is dus – net als de tijd –  een relatief begrip omdat de grootte van afgelegde afstand afhangt van de snelheid ten opzichte van het stelsel waarin de afstand wordt afgelegd.
In bepaalde opzichten is het hier besproken probleem vergelijkbaar met de lengte van de afstand tussen Brussel en Londen die in kilometers gerekend een grotere waarde heeft dan in Engelse Mijl maar toch eenzelfde afstand vertegenwoordigt. Maar als er een hardloopwedstrijd in Brussel over 10 km wordt gehouden, zullen de lopers daar een aanzienlijk kortere tijdsduur voor nodig hebben dan voor de 10 mijl die in Londen op het programma staat.

11.     Het tijdlijnendiagram  

Zonder Lorentzcontractie  krijgen we een beter beeld  van het gedrag van de tijd in een bewegend stelsel. We zullen ons hier voor een verdere toelichting beperken tot een bewegend stelsel dat een constante rechtlijnige beweging uitvoert.

Blad 24

Wanneer op t = τ = 0 sec de oorsprong A van het stelsel-in-beweging de oorsprong O van het stelsel-in-rust passeert, zal het punt A zich op het tijdstip t  op de plaats x = v.t meter bevinden in het stelsel-in-rust . Plaats en tijd van het punt A zijn op dat moment bekend in het stelsel-in-rust, dus kan de tijd van de bewegende klok A worden berekend met de tijdformule (6):
             Lsec.

Omdat γ >1 is de tijd τ  kleiner dan de tijd t. De klok in het stelsel-in-beweging loopt zoals bekend langzamer dan de klok in het stelsel-in-rust. Tegelijk moet de klok in het stelsel-in-rust ook langzamer lopen dan de klok in het stelsel-in-beweging. Deze tegenstrijdigheid lijkt ons voorstellingsvermogen te boven te gaan. De grafieken die in de literatuur worden gebruikt, zijn bedoeld om er mee te werken, je krijgt een uitkomst, maar ze geven geen verklaring voor het basisprobleem, namelijk hoe we ons de paradoxale situatie dat klokken ten opzichte van elkaar langzamer lopen, kunnen voorstellen.
Omdat dit een probleem is voor leken om het te begrijpen en voor geleerden om het uit te leggen, zullen we een nieuwe manier van visualiseren laten zien die hierbij behulpzaam kan zijn. Daarvoor gebruiken we een tijdlijnen–diagram (fig 5) gebaseerd op de tijdformule

We maken gebruik van de verplaatsing die de klokken ondergaan. De  stelsels O en A hebben een snelheid v ten opzichte van elkaar. De beweging van de stelsels vindt plaats langs de X–as. Dankzij het feit dat we geen rekening hoeven te houden met de Lorentzcontractie liggen de objecten (bijvoorbeeld treinen) over hun volle lengte langs de X–as. De tijd van het andere stelsel wordt uitgezet tegen van de tijd van het eigen stelsel.

Het is van belang te zien dat we het verloop van de tijd in het andere stelsel tot uitdrukking brengen.
Dat zit in de term vx/c²  sec die met toenemende x en een positieve v een aflopende schuine lijn oplevert voor het stelsel-in-beweging . We zetten de tijd van ons stelsel-in-rust in hetzelfde diagram uit tegen de tijd van het stelsel-in-beweging . Dat levert een oplopende schuine lijn op. Zo krijgen we twee schuine lijnen symmetrisch ten opzichte van de X–as.

 Een schuine lijn vertegenwoordigt de tijd op de gelijklopende klokken van een stelsel op zeker tijdstip. We noemen het de tijdlijn van het stelsel voor dat tijdstip. De tijdlijn van het stelsel O loopt van linksonder tot rechtsboven. De tijdlijn van het stelsel A loopt van linksboven tot rechtsonder. Het stuk BA stelt de tijdlijn voor van de rijdende trein B*A (waarin alle klokken gelijklopen) . De tijdlijn van het bewegende stelsel beweegt mee met het stelsel.

Blad 25

In de figuur passeert punt A het punt O en de klokken zijn in die punten op de beginwaarden t = τ  = 0 gezet. De punten A en O kunnen we als de oorsprongen van de stelsels nemen. Het stelsel O en ook het stelsel A bevinden en bewegen zich langs de X–as . 
Met de tijdlijnen vinden we de tijden op zekere plaats (een zekere x–waarde) van een klok uit één van de stelsels. De bovenste lijn geeft de tijd van de op die plaats vóórlopende klok van de twee stelsels en de onderste lijn die van de achterlopende klok.
Stelsel O zou de tijdlijn van een spoorbaan kunnen voorstellen, een zogenaamd stelsel-in-rust, maar kan ook de tijdlijn van een andere trein (ook een bewegend stelsel) voorstellen die met gelijke maar tegengestelde snelheid langs de X–as beweegt als de eerste trein. De X–as bevindt zich dus symmetrisch tussen de twee stelsels in. De onderlinge snelheid van de twee stelsels bepaalt de hoek tussen de tijdlijnen.
Merk op dat in deze voorstelling een stelsel-in-rust vanuit het stelsel-in-beweging ook als een stelsel-in-beweging wordt weergegeven. Dit past in het beeld van 'relativiteit': als de snelheid van het bewegende stelsel v is ten opzichte van ons, heeft ons stelsel de snelheid v volgens hun.
De verticale afstand tussen de tijdlijnen geeft het tijdsverschil weer dat op de klokken is af te lezen van klokken die zich op dezelfde plaats x bevinden maar deel uitmaken van verschillende stelsels. Als men vanuit het ene stelsel op die plaats de klok in het andere stelsel ziet voorlopen  – dan ligt de tijdlijn hoger – dan moet men vanuit het andere stelsel op die plaats de klok van het eerste stelsel zien achterlopen (dan bevindt die lijn zich onder de eerste).  

Ø         De relativiteitstheorie is een concrete theorie. Waarnemers uit verschillende stelsels zullen allen op zekere plaats dezelfde tijdstippen op de bij die plaats behorende al of niet bewegende klokken  aflezen.

 Het tijdlijnen–diagram is een dynamisch diagram. In fig 7 werd de situatie weergegeven op het moment dat de oorsprong A van stelsel A de oorsprong O van stelsel O passeerde. Ten opzichte van stelsel O verplaatst stelsel A zich naar rechts.
We kunnen in gedachten het punt A van O naar een punt P in het stelsel O laten bewegen. Dan krijgen we fig 8. We geven de tijdlijn weer op het moment dat A het punt P passeert. Merk op dat A langs de X–as verschuift.
De tijd van A ligt nu op de plaats van A onder de tijdlijn van P terwijl zijn tijd eerst (fig 7) nog gelijk was met de tijdlijn van stelsel O in het punt O . Maar evenzo ligt de tijd van punt O nu aanmerkelijk beneden de tijdlijn van het stelsel A (zie het punt Q ). We zien dat beide klokken A en O achter zijn gaan lopen ten opzichte van het andere stelsel, dus A loopt achter op klok O en O loopt achter op klok A.

Zo is te begrijpen dat beide klokken langzamer lopen ten opzichte van elkaar!

Blad 26

Het gemak van het tijdlijnendiagram is dat je in gedachten de tijdlijnen kunt verschuiven om de tijdverschillen te begrijpen. Met wat meetkunde kunnen de tijdverschillen in eenvoudige situaties direct worden vastgesteld.

Opmerking:  In een punt x is het afgelezen tijdverschil Δt of Δτ . In het stelsel-in-rust komt het verschil Δt echter met γ keer zoveel seconden overeen als de Δτ  gezien vanuit het stelsel-in-beweging in lorentzsec .  

In het tijdlijnen–diagram zijn de tijdlijnen van de treinen als vaste lijnen aangegeven. De treinen zelf bewegen zich als projecties van de tijdlijnen langs de X–as maar zijn niet aangegeven omdat we ons op de tijden willen concentreren.

Waarnemers O en B zullen elkaar volgens de neutrale waarnemer gelijktijdig met de waarnemers A en P een high five geven. Uit de symmetrie dat de klok B dan de tijd t_B = ℓ/v sec en klok O de tijd t₀ = t_B /γ  sec moet vertonen. 
We nemen op dat moment dus een viertal tijden waar [1]:

Ø         op de klokken van P en A respectievelijk t_P= ℓ/v sec én   sec

Ø         op de klokken van B en O respectievelijk t_B = ℓ/v  sec én   sec

In stelsel O vinden we de tijden  sec en t_P = ℓ/v  sec en in stelsel A de tijden  sec  en t_B = ℓ/v sec op een moment dat voor de neutrale waarnemer gelijktijdig is.  

De vraag is wat we daarmee moeten: twee soorten tijd in één stelsel. De betekenis daarvan is dat we de voorpunt en de achterpunt van de bewegende trein niet op hetzelfde moment waarnemen in hun stelsel. Als we naar de achterpunt kijken, bevindt de trein in zijn geheel zich al iets verder dan wanneer we naar de voorpunt kijken.
Daardoor is de trein schijnbaar korter.  

Uit de tijden blijkt ook dat men in stelsel A vindt dat de ontmoetingen bij A respectievelijk B niet gelijktijdig plaatsvinden en in stelsel O geldt dit voor de punten O en P. 

Blad 28

In stelsel A vindt men dat de ontmoeting bij B later plaatsvindt dan bij A, namelijk met een verschil van t_B – t_A = ℓ/v –(1/γ).ℓ/v ≈ ½(v²/c²).ℓ/v sec. In die tijd zal B zich over een afstand van ½(v²/c²).ℓ meter hebben verplaatst in de richting van A .  
Vanuit P vindt men dat de ontmoeting bij O eerder plaatsvond dan bij P met hetzelfde tijdsverschil. Daarmee vindt men dat O zich toen ook op een afstand van  ½(v²/c²).ℓ meter dichter bij P bevond. Op die manier konden B en O elkaar toen toch een high five te geven.

De conclusie is dat we dit probleem helder en overtuigend met de tijdlijnendiagrammen kunnen beschrijven. Eens te meer blijkt dat het begrip Lorentzcontractie een overbodige aanname is geweest.

[1] Misschien aardig om te weten: de tijd in het punt S halverwege is T_S =  sec  

 13.            Het additietheorema

Onder deze naam staat de somformule voor twee snelheden bekend. Het gaat om een voorwerp dat zich met een zekere snelheid beweegt in het bewegende stelsel.  Vanuit het stelsel-in-rust nemen we dus een stelsel waar dat zich met een snelheid +v m/s verplaatst en binnen dat stelsel beweegt een voorwerp met de snelheid +w m/s.
We beperken ons hier tot snelheden langs de X–as.

Je verwacht dat vanuit het stelsel-in-rust gezien de gezamenlijke snelheid de som van die twee snelheden zal zijn, maar dat is niet zo omdat het voorwerp in het bewegende stelsel met een gewijzigde tijdsnelheid te maken heeft.

Voor een gewoon object (in plaats van een lichtstraal) dat zich met de snelheid w beweegt in het stelsel-in-beweging levert de verplaatsing ook een kortere tijdsduur op. Over een lengte ℓ vindt volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust een tijdsafname plaats van vℓ/c² lorsec  en het voorwerp legt de afstand af in ℓ/w lorsec dus is de tijdsnelheidsvertraging over de afstand ℓ  het quotiënt vw/c² sec/sec.

De afstand die het stelsel heeft afgelegd is in ℓ/w lorsec gelijk aan: γv.ℓ/w meter. Het voorwerp heeft intussen een afstand afgelegd van ℓ lormeter (=γℓ meter). Totaal heeft het object dus γ(ℓ+vℓ/w) meter afgelegd. 

14.     Nabespreking

Uit de hier gepresenteerde aanscherping van de speciale relativiteitstheorie blijkt dat de theorie een cruciale fout vertoont die er na honderd jaar nog steeds niet was uitgehaald. Symptomen van de fout zijn de bekende paradoxen zoals de "ladder- en schuurparadox".
Het moet gezegd dat het probleem diep verborgen zat in Einsteins wiskundige afleiding van de tijdvertraging in het bewegende stelsel. Omdat hij wel de juiste tijdvertraging vond, die uit en te na experimenteel is bevestigd, is over het hoofd gezien dat hij een fysisch onacceptabele oplossing (want ingaand tegen de "Grondwet der Natuurkunde") moest gebruiken om zijn afleiding kloppend te krijgen. Dit lukte hem door de Lorentzcontractie (als een "Deus ex machina") als oplossing in te voeren voor een bewegend object.

Wiskundigen uit zijn tijd hebben dit direct geïnterpreteerd als een schoolvoorbeeld van een 4–dimensionale ruimte, een wiskundig begrip, waarmee de relativiteitstheorie aan de natuurkundigen werd ontfutseld. Vanuit wiskundige kring wordt zelfs gezegd dat de relativiteitstheorie een te fraaie theorie is om aan natuurkundigen over te laten.
Vanuit de natuurkundige wereld werd Einsteins niet–begrepen afleiding als geniaal bestempeld en het stuk ondoorgrondelijke natuurkunde werd gezien als een deel van de relativiteitstheorie waar het menselijk voorstellingsvermogen tekort schiet. Dit alles stond een nuchtere kijk op de theorie in de weg.  

Toch hebben we door de afleiding nauwgezet over te doen en te analyseren boven water kunnen halen welke fouten Einstein in zijn artikel van 1905  heeft gemaakt .

Blad 30

We ontdekten dat Einstein bij zijn berekening voor de tijdsduur die een lichtstraal nodig heeft om zich tussen twee punten in het stelsel-in-beweging te verplaatsen, vergeten heeft rekening te  houden met het feit dat de punten van dat stelsel zich ook hebben verplaatst.

Door wel met de verplaatsing van de genoemde punten rekening te houden, konden we laten zien dat de Lorentzcontractie niet nodig is om een consistente theorie te verkrijgen.

We hebben daarentegen laten zien dat er wel een zekere contractie bestaat voor een bewegend object, maar dat betreft de lengte van de afstand die het object heeft afgelegd. Daarbij blijven de afmetingen van de bewegende objecten buiten schot.
We hebben via een formule – die de Lorentztransformatie van de plaats vervangt – aangegeven   hoe de plaats van een bewegend object kan worden gevonden. Hierbij moet de eenheid van lengte voor de afgelegde afstand van het stelsel-in-beweging in dezelfde mate groter worden genomen als de eenheid van tijd ten opzichte van het stelsel-in-rust. Deze eenheden hebben we de lorentzmeter en de lorentzsec genoemd.  

Voor de praktijk is het interessant dat een identieke gebeurtenis van een afgelegde afstand door het bewegende stelsel leidt tot een γ² keer grotere afstand in het stelsel-in-rust voordat dezelfde gebeurtenis is volbracht. Het resultaat is eenvoudig toe te passen voor de berekening van de perihelium precessie van Mercurius.
Met onze theorie worden uiteraard dezelfde of betere resultaten verkregen als met de theorie van Einstein, maar de natuurkundige interpretatie is ten opzichte van Einsteins theorie een stuk helderder. Het gaat daarbij vooral om ons wereldbeeld.

Het verwerpen van de Lorentzcontractie is  een belangrijke stap voor de natuurkunde want de aether–theorie kan nu definitief worden verworpen. Einstein toonde weliswaar aan dat er geen eigenschappen van de ruimte – in de vorm van een zeer ijl gas, de aether, waarmee deze gevuld zou zijn – nodig waren om het gedrag van licht in de ruimte te verklaren maar hij pakte de aethertheorie er direct weer bij voor zijn afleiding van de afbuiging van licht en het gedrag van Mercurius. Ditmaal was het geen aether maar 'gekromde ruimte'. Het zal duidelijk zijn dat het toekennen van eigenschappen aan de ruimte een nieuwe variant van de aethertheorie is . 

Wij hebben laten zien dat alle resultaten van de relativiteitstheorie die nu aan de gekromde ruimte worden toegeschreven, kunnen worden verklaard met het begrip tijdsnelheid.
De recent opgemeten zwaartekrachtgolven worden dan ook ten onrechte als 'rimpelingen van de ruimte' omschreven: het zijn rimpelingen in de tijdsnelheid. 

Onze nieuwe inzichten hebben met name gevolgen voor onze kijk op het universum. Er is rond het vermeende verschijnsel van de Lorentzcontractie een fantasierijk wereldbeeld ontstaan waarbij de baan die een lichtstraal of een object in het universum volgt, wordt gestuurd door de kromming van de ruimte zelf. De ruimte zou eindig zijn. Uiteindelijk zijn zelfs de uitdijing van het heelal en de oerknal het resultaat van de Lorentzcontractie. 
Ons resultaat maakt deze denkbeelden zeer discutabel.

15.   Literatuur  

1                    Dorrestijn H J 2016  "Een Kritische Blik op Einsteins Relativiteitstheorie",  Filosofie  2, p.44; Antwerpen Garant Uitgevers

2                     Einstein A 1905 "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik 17, p.891          (zie de vertaling op www.einsteingenootschap.nl).

3                     Einstein A 1916 "Die Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie",  Die Annalen der Physik 49, p. 822 (gedeeltelijk vertaald zie website "Einsteingenootschap").

4                    Einstein A 1918 "Dialog über Einwände gegen die Relativitätstheorie", Die Naturwissenschaften 48, p.697 (zie vertaling als "De tweelingparadox" op de website "Einsteingenootschap")

5                    Dorrestijn H J 2015 Op het Spoor van de Tijd  (Den Haag ISBN 9789087595289)

6             Dorrestijn H J 2018 "De Lorentzcontractie is een Artefact in de relativiteitstheorie" (zie de website "Einsteingenootschap")  

7             Dorrestijn H J 2018 "Het Klokkenpostulaat", (zie de website "Einsteingenootschap")