Het Artefact

 

English
Portier
Naar Deel II  
Naar onder

Het Artefact in de Relativiteitstheorie: 
            de Lorentzcontractie
 
                                Deel I

Zonder de Lorentzcontractie
wint de relativiteitstheorie aan helderheid

    Henk Dorrestijn    
    hjdorrestijn@outlook.com     
   

       Herziene versie: februari 2020

 

Samenvatting

Een veel gehoorde klacht over de relativiteitstheorie is dat we ons maar moeilijk een natuurkundige voorstelling kunnen maken van de wiskundige oplossingen die de theorie biedt. Wanneer we echter een duidelijk verschil maken tussen de begrippen lengte en afstand en verder scherp definiëren wat we in verschillende stelsels onder eenzelfde gebeurtenis moeten verstaan, blijken we ons een concreet beeld te kunnen vormen van wat er gebeurt. Met deze verbeterde interpretatie van Einsteins relativiteitstheorie wordt duidelijk waarom de afgelegde afstand van een ander stelsel met een kwadratische factor γ2 groter wordt waarbij γ de Lorentzfactor voor de tijdvertraging is. We laten zien dat de interpretatie van de Lorentz

De paragrafen 11 tot en met 15, de toepassingen, bevinden zich in Deel II.

  Blad 2
-----------

1.   Inleiding

Regelmatig verklaren bekende natuurkundigen en astronomen publiekelijk dat de resultaten van de algemene relativiteitstheorie betreffende de ruimte/tijd ons menselijk voorstellingsvermogen te boven gaan. Daar mogen we ons echter niet bij neerleggen. Het is de opdracht van de wetenschap om de natuurkundige wereld transparant en begrijpelijk te maken anders zetten we de deur wagenwijd open voor wilde speculaties en spirituele fantasieën. 

Om beter vat te krijgen op de theorie komen we met een nieuw inzicht op een natuurkundige gebeurtenis in relatie tot de tijdvertraging in een bewegend stelsel. We zullen laten zien dat de  Lorentzcontractie een overbodig begrip is.

We zullen laten zien dat het begrip contractie kan worden vervangen door de dubbele invloed van de tijd. Daarmee verkrijgen we dezelfde resultaten als Einstein terwijl de theorie aanzienlijk begrijpelijker wordt. Dit voordeel wordt geïllustreerd aan de hand van de Ehrenfestparadox,  waar "the rigid rotation stood out in Einstein's mind as an unsolved problem"  (zie..1) en de problemen van de afbuiging van het licht in het zwaartekrachtveld alsmede de afleiding van de formule voor de relativistische perihelium precessie van Mercurius. Het oplossen van deze problemen met zijn  algemene relativiteitstheorie waren voor Einstein sterke argumenten ten gunste van deze theorie. Wij laten zien dat het zorgvuldiger had gekund.

Dankzij de door ons verkregen transparantie vinden we een verrassend resultaat: een verbeterde formule voor de relativistische perihelium precessie van Mercurius. Sterrenkundigen uit de 19de eeuw wisten dat het perihelium van Mercurius met ongeveer 575''  (boogseconden) per eeuw verschoof. Ze konden het grootste deel van deze verschuiving verklaren uit de verstoringen door de andere planeten als gevolg van hun aantrekkingskracht, doch een klein deel was onverklaarbaar.

In 1915 slaagde Einstein er in om samen met zijn studievriend Michele Besso (zie..2) , vanuit Einsteins kakelverse algemene relativiteitstheorie de formule voor het onverklaarde (= het relativistische) deel van de periheliumprecessie van Mercurius af te leiden (zie..3):

                             rad/omloop     (1)         

Ø         Voor de betekenis van de symbolen: zie de tabel 1.  

 

De formule geldt voor alle objecten die in een baan rond een relatief zware massa bewegen als gevolg van de zwaartekracht van de laatste. Met de beschikbare astronomische gegevens vond Einstein een relativistische periheliumverschuiving van 43'' per eeuw, een waarde die uitstekend paste bij de 45 ± 5'' die de astronoom LeVerrier (zie..4) voor het onverklaarbare deel van de metingen had gevonden.

1.  Einstein A 1993 Collected Papers of Albert Einstein Volume 3 ed M J Klein et all (Boston: Princeton  university Press) p 479480
2.  Einstein A and Besso M 1995 Manuscript on the motion of the Perihelion of Mercury 1913, Collected Papers of Albert Einstein Volume 4  ed M J Klein et all (Boston: Princeton  university Press)  p 360.
3.  Einstein A 1915  Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie  Sitzungsberichte (Berlin Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften) p 839
 4.  LeVerrier U J 1859 Recherches Astronomique (Annales  de l'observatoir imperial de Paris) Tome V  

 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------   

 

Blad 3
------------------

In het basisartikel over de algemene relativiteitstheorie (zie..5) dat enkele maanden later in 1916 verscheen, voerde Einstein deze overeenstemming dan ook aan als sterk ondersteunend argument voor zijn theorie. Waarschijnlijk was hij niet bekend met het monnikenwerk van de Amerikaan Simon  Newcomb (zie..6) , die de berekeningen van LeVerrier  had nagelopen en gecorrigeerd en al in 1882 met een uitkomst van (afgerond)  43" per eeuw kwam.

De theoretische waarde met de huidige gegevens komt uit op 42,98''  

Einsteins verklaring van het onbegrepen deel van de periheliumverschuiving was een dusdanig groot wetenschappelijk succes dat sindsdien de opvatting lijkt te heersen dat de waarnemingen de theoretische waarde moeten bevestigen in plaats van andersom! Die waarde zelf ligt echter niet zo onomstotelijk vast als gedacht. We zullen een verbetering van de formule laten zien die tot een nieuwe theoretische waarde van 43,59'' per eeuw leidt.

 

2.    Cirkelrotatiesnelheid  

 Uit formule (1) blijkt voor de waarde ε = 0 dat er ook een 'periheliumverschuiving' optreedt wanneer de planeet een perfecte cirkel met een straal r beschrijft. Dan is a = r.

Het fictieve beginpunt van zo'n baan verschuift dan over een hoek

                   radialen per   omloop        (2)

De cirkelvormige baan zelf draait! Het beginpunt van de baan beschrijft ook deze cirkel met een snelheid:

                   rad/sec                               (3)

We stellen voor om dit verschijnsel de cirkelrotatie hoeksnelheid  te noemen.

We zullen formules (1), (2) en (3) in de paragrafen 11 en 12  op een alternatieve wijze afleiden maar eerst verdiepen we ons in de begrippen 'tijd', 'afstand', 'lengte' en 'gebeurtenis'.

3.    Tijd en de natuurkundige gebeurtenis  

Uit een symmetrie beschouwing is af te leiden dat de grootte van de snelheid van een bewegend stelsel ten opzichte van het stelsel-in-rust gelijk moet zijn aan de grootte van de snelheid van het stelsel-in-rust ten opzichte van het stelsel-in-beweging. Dit betekent dat de snelheid van een voorwerp even groot is als de snelheid die wij hebben ten opzichte van het voorwerp. Van dit feit zullen we altijd gebruik maken.

Wanneer we een voorwerp waarnemen dat een constante snelheid bezit, weten we uit de relativiteitstheorie dat de tijd op het voorwerp trager is dan onze tijd. Tegelijk zal een waarnemer op het voorwerp meten dat onze klokken langzamer zijn dan die van hem. Het stelsel-in-beweging en het stelsel-in-rust kunnen in dit opzicht worden verwisseld volgens de theorie.

Onder onze tijd zullen we de tijdsduur verstaan voor een gebeurtenis die we met onze klokken opmeten. Onze klok is de klok die we bij ons hebben. Onder  hun tijd zullen we de tijdsduur verstaan voor de zelfde gebeurtenis gemeten met een klok in een ander (bewegend of versnellend) stelsel.

Een identiek gebeurtenis in het stelsel-in-rust en het stelsel-in-beweging gaat voor de verschillende waarnemers gepaard met een identieke tijdsduur op hun klokken.
Uiteraard gebruiken alle waarnemers identieke klokken d.w.z. klokken die, als ze naast elkaar staan opgesteld, exact dezelfde tijd blijven aangeven. Ze lopen dan even snel. Ik stel voor om deze gezamenlijke eigenschap te omschrijven als: ze hebben dezelfde tijdsnelheid  .

             

5.  Einstein A 1916 Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie  Die Annalen der Physik Vol 49 p 822]  
6.  Newcomb S 1884 Transits of Mercury 1677-1881  Report of the Counsel to the Sixty
fourth Annual general Meeting of the Royal Astronomical Society  p 187

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Blad 4
--------------

Deze klokken vertonen als ze in een ander stelsel worden geplaatst een andere tijdsnelheid. Hierbij moeten we onder een stelsel alle materiële punten verstaan die zich onderling op een constante afstand bevinden en eenzelfde grootte van versnelling ondervinden. In dergelijke punten heerst een gelijke tijdsnelheid.   Uit de snelheid van een object en zijn plaats in een zwaartekrachtveld of een versnellingsveld kan de tijdsnelheid van zijn klok worden omgerekend naar de tijdsnelheid van onze klok. 

Uit de speciale relativiteitstheorie volgt dat de tijdsnelheid in een stelsel, dat zich met constante snelheid v m/s  beweegt ten opzichte van ons stelsel en geen versnellingen ondervindt, afgenomen is met de factor:

Bij benadering geldt voor deze factor  

                   of ook:  

       

Dit betekent dat een goed omschreven fysische gebeurtenis die op een bewegend object volgens hun tijd in T sec

 plaatsvindt volgens onze klokken een tijdsduur vraagt van  sec .

Ø         We zullen meestal vanwege de begrijpelijkheid de aangegeven benaderingen gebruiken. Deze gelden voor v << c .   

Ø         De uitdrukking                        wordt de

 Lorentzfactor genoemd. Er geldt γ >1 als v>0


Bijvoorbeeld: wanneer we een trein zien passeren met een snelheid van v m/s waarop een flitslicht is gemonteerd dat iedere T sec flitst, zullen wij op onze klokken meten dat de tijdsduur tussen de flitsen gelijk is aan 
    sec . Het maakt niet uit in welke richting de trein beweegt mits er wordt gecorrigeerd voor de tijdsduur van het licht over de afstand.

Als hetzelfde flitslicht in onze nabijheid wordt geplaatst, zullen we op onze klokken elke T sec een flits meten. De 
waarnemers in de trein zullen op hun klokken iedere  sec een flits waarnemen. Deze waarnemers
 zullen namelijk hun trein als het stelsel-in-rust beschouwen en de gebeurtenis van een flits als een gebeurtenis in een bewegend stelsel.

 

  
 4.        De Lorentzcontractie  

Albert Einstein leidde in zijn artikel over de speciale relativiteitstheorie (zie..7) de tijdformule af:    sec 

voor de tijd in het stelsel-in-beweging op de plaats x en op het tijdstip t in het stelsel-in-rust. Deze formule laat een vertraging van de tijdsnelheid zien met de factor 

 

voor de klokken in het bewegende stelsel.

Merk op dat het tijdsverschil tussen twee punten op de plaatsen x en   in ons stelsel gelijk is aan

   sec. 

Vanuit het stelsel-in-rust gezien, loopt de voorste klok met dat tijdsverschil achter op de achterste klok. 

De factor γ zullen we meestal verwaarlozen.

 Einstein kwam ook met een formule  meter voor de plaats ξ langs de Xas in het bewegende stelsel. De Xas wordt langs de voortbewegingsrichting van het bewegende stelsel gekozen.  

 

7.  Einstein A 1905 Zur Elektrodynamik bewegter Körper Annalen der Physik Vol 17  
_______________________________________________________________________

 

Blad 5
------------

Uit de formule volgt dat indien een bewegend voorwerp zich op t = 0  uitstrekt tussen de punten  x = 0 en x = ℓ in het stelsel-in-rust,  het heeft volgens ons dus een lengte van meter, dat dan de coördinaten in het stelsel-in-beweging op dat moment gelijk zijn aan ξ = 0 en  meter. Het bewegende voorwerp is dus langer in het stelsel-in-beweging dan in ons stelsel. Einstein gaf hier de interpretatie aan dat een voorwerp met de lengte γ.ℓ meter in het bewegende stelsel een daadwerkelijke fysieke lengtecontractie had ondergaan tot een lengte van meter in het stelsel-in-rust.
Bedenk dat het voorwerp zich gelijktijdig in beide stelsels ophoudt.  

Er bestaat veel verwarring rond dit verschijnsel dat bekend staat onder de naam Lorentzcontractie (minder gebruikelijk: LorentzFitzgeraldcontractie) zoals we kunnen concluderen uit de vele paradoxen die op deze contractie zijn gebaseerd, zoals: de 'tunnelparadox', de 'ladder en schuurparadox' en de 'Ehrenfestparadox'.
Wanneer een auteur claimt de paradox te hebben opgelost en hij komt met een verklaring hoe de tegenstrijdigheid kan bestaan dan blijkt hij altijd in conflict te komen met de natuurkundige werkelijkheid. Hier komen we op terug.

 Albert Einstein was overtuigd van zijn interpretatie. In zijn artikel uit 1905 bespreekt hij de lengte van een voorwerp dat in rust wordt opgemeten (a) of op hetzelfde moment uit de plaatsen van het beginpunt en het eindpunt (b). Hij schrijft op blz. 895:


 
Als we nu op basis van onze beide principes de lengte bepalen volgens de methode b),  die we "de lengte van de bewegende staaf in het stelsel-in-rust" zullen noemen, dan zullen we vinden dat deze lengte van    verschilt.
In de kinematica gaat men er gewoonlijk stilzwijgend vanuit dat de lengten die via de beide vermelde methoden worden bepaald, precies aan elkaar gelijk zijn, met andere woorden dat een bewegend, onvervormbaar voorwerp op zeker tijdstip geometrisch gezien volledig door hetzelfde voorwerp, als het op de betreffende plaats in rust zou zijn, kan worden vervangen. 


Zijn interpretatie beperkte zich niet tot bewegende voorwerpen doch objecten die zich in een zwaartekrachtveld bevinden, zouden volgens Einstein eveneens in de richting van de versnelling van het zwaartekrachtveld krimpen.

Dit idee van Einstein is verkeerd zoals we op basis van natuurfilosofische argumenten zullen aantonen.  

5.        Argumenten tegen de Lorentzcontractie 

 

Zoals uit de tijdformule blijkt, loopt de achterste klok zoals de waarnemers in het stelsel-in-rust het zien op een voorwerp met een lengte meter en een snelheid van v m/s vóór met
  
ten opzichte van de voorste klok .

We gaan er van uit dat de klokken in het bewegende stelsel, volgens de waarnemers die meebewegen met het voorwerp, gelijklopen . De vraag is hoe deze klokken een tijdsverschil hebben kunnen ontwikkelen als ze vanuit rust toen er nog geen tijdsverschil was zijn versneld tot ze een snelheid v hadden.

Stel je het volgende voor:
In het begin stond het voorwerp stil in het stelsel-in-rust. Vervolgens werd het versneld met g m/s2 en op zeker moment zien de waarnemers in het stelsel-in-rust het voorwerp met de snelheid v m/s passeren. Het wordt niet meer versneld.

 

Blad 6
----------------

Wat is er dan allemaal gebeurd?
De waarnemers op het voorwerp ondergingen een versnelling waarbij de voorste klok snéller loopt met  
  
dan de achterste klok. De voorste klok gaat juist vóórlopen!

Dat verschil in tijdsnelheid is constant, maar daardoor bouwt zich wél een toenemend tijdverschil op!
Daarom zal op het voorwerp wanneer ten gevolge van een constante lineaire  versnelling na   

de snelheid  v = g.t  m/s is bereikt de voorste klok met
   
voorlopen op de achterste klok volgens de meebewegende waarnemers.

Volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust echter ondervinden de voorpunt en de achterpunt op ieder moment precies dezelfde versnelling  en ze zullen op exact dezelfde tijd dezelfde snelheid bereiken. Als de klokken in het begin gelijkliepen, zullen ze nog steeds gelijklopen volgens deze waarnemers.
Beide punten zullen ook op ieder moment exact dezelfde afstand hebben afgelegd in het stelsel-in-rust. De afstand tussen de twee punten kan dus niet veranderd zijn, gezien vanuit het stelsel-in-rust. De lengte van het voorwerp kan niet veranderen.
Uiteraard lopen beide klokken wel langzamer dan de klokken in het stelsel-in-rust vanwege hun snelheid, maar dat doen beide klokken in dezelfde mate. 
De waarnemers in het stelsel-in-rust vinden het een plezierige gedachte dat de klokken in het stelsel-in-beweging onderling gelijklopen. Dat doen de klokken in hun eigen stelsel ook.
Daar hebben de waarnemers in het stelsel-in-beweging echter geen boodschap aan. Volgens hun loopt de voorste klok vóór.  Zij willen dat de klokken in hun eigen stelsel ook gelijklopen. 
Daarom zullen deze waarnemers als ze een constante snelheid hebben bereikt hun klokken gelijkzetten. De voorste waarnemer moet daartoe zijn klok een stukje terugzetten of de achterste zet zijn klok een stukje vooruit. 
Dit heeft tot gevolg dat de voorste klok van het bewegende stelsel volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust plotseling met 
 
achterloopt op de achterste. Precies zoals de tijdformule voorschrijft.

Onze eis van gelijklopende klokken in het bewegende stelsel ligt dus aan de basis van het tijdsverschil op de klokken van het stelsel-in-beweging. Het spreekt vanzelf dat 'het gelijkzetten van de klokken' geen enkele invloed heeft op de lengte van het bewegende voorwerp.   De lengte van het voorwerp kan dus niet veranderd zijn door de beschreven gebeurtenissen.

 Ø         Dit is een eerste argument tegen de Lorentzcontractie.

Voor een tweede argument zoeken we een filosofische uitgangspunt dat aan de basis kan liggen van de relativiteitstheorie. De gedachte is dat voor de natuurkunde moet gelden dat alle waarnemers die een bepaalde gebeurtenis kunnen waarnemen daaraan dezelfde natuurkundige beschrijving moeten geven. Al deze waarnemers nemen dus hetzelfde waar.  

Ø         Dit zou ik de "Grondwet van de natuurkunde" willen noemen: " Er bestaat slechts één natuurkundige werkelijkheid "

 

Blad 7
--------------------

We zullen deze wetmatigheid regelmatig gebruiken voor de verdere analyse van de relativiteitstheorie.
Laten we een gedachteexperiment doen. Neem aan dat de Lorentzcontractie werkelijk bestaat. We kunnen dan twee donkere schermen bedenken die vlak langs elkaar kunnen bewegen en elkaar daarbij tijdelijk bedekken. Het grootste scherm bevat een open gedeelte. Het kleinste scherm heeft precies de afmetingen van de opening in het grote scherm. Het kan precies de opening afdekken zodat er geen licht doorheen gaat.
Als we waarnemen dat de schermen met dezelfde maar tegengestelde snelheid langs elkaar bewegen, zullen beide een Lorentzcontractie ondervinden, maar er zal geen licht door de opening kunnen komen op het moment dat het kleine scherm voor de opening langstrekt omdat beide schermen vanwege dezelfde absolute snelheid dezelfde Lorentzcontractie ondervinden.

Als we ons nu in de plaats denken van een waarnemer die zelf in het stelsel-in-rust met een tussenliggende snelheid langs dezelfde as als de schermen beweegt dan hebben de schermen verschillende snelheden ten opzichte van deze waarnemer. Dan zijn er twee mogelijkheden:  

Ø         Het scherm met de opening beweegt het snelst, dus de opening is meer gekrompen dan het kleine scherm. Gedurende korte tijd wordt er geen licht doorgelaten.

Ø         Het kleine scherm beweegt het snelst en zal het sterkst krimpen. Dan zal er nooit een moment zijn waarbij het licht volledig wordt tegengehouden.

Als er dus twee waarnemers zijn waarvan de één meebeweegt met het grote scherm en de ander met het kleine scherm constateren we dat op het moment dat het kleine scherm het grote scherm passeert de eerste waarnemer er licht langs de randen heen ziet komen omdat het kleine scherm gekrompen is volgens hem terwijl de tweede waarnemer er géén licht doorheen ziet komen omdat de opening in het grote scherm juist is gekrompen.

De twee waarnemers nemen twee verschillende natuurkundige gebeurtenissen waar. Dit gaat in tegen de door ons zojuist gedefinieerde grondwet van de natuurkunde in, met andere woorden: dat kan niet!  

Ø         Dit is een tweede argument tegen de Lorentzcontractie.

Uit de voorgaande redenering volgt dat er geen Lorentzcontractie bestaat. De opening in het grote scherm en het kleine scherm behouden dus hun afmetingen, zodat we moeten concluderen dat er een moment van totale onderbreking van het licht is als de schermen elkaar passeren.  

Ø         De twee argumenten samen lijken voldoende overtuigend om tot de conclusie te komen dat de Lorentzcontractie niet bestaat, zelfs niet als een optische illusie.

In de volgende paragrafen zullen we het werkelijke effect van de tijdvertraging op bewegende voorwerpen onderzoeken.

Blad 8
-------------

 

6.        De afgelegde afstand en het tijdlijnendiagram  

We stellen ons voor er dat een gebeurtenis plaatsvindt in een stelsel-in-beweging. Dit kan worden waargenomen vanuit het stelsel-in-rust. Op onze snellere klokken vraagt de gebeurtenis meer tijd dan op de klokken in het bewegende stelsel. We gaan uit van stelsels die een constante, rechtlijnige snelheid ten opzichte van elkaar hebben.  

Het afleggen van een zekere afstand door een bewegend voorwerp in het stelsel-in-rust is een bijzondere natuurkundige gebeurtenis omdat het stelsel-in-rust dan ook een afstand aflegt in het aan het bewegende voorwerp gekoppelde stelsel-in-beweging.

Het is een wederzijdse gebeurtenis. Het bewegende stelsel legt met een zekere snelheid een afstand af in ons stelsel en ons stelsel legt met dezelfde snelheid een afstand af in het bewegende stelsel. In beide stelsels gebeurt hetzelfde met het andere stelsel.
Op het moment dat de tijdsduur op de klokken van het stelsel-in-beweging dezelfde waarde heeft aangenomen als de tijdsduur op onze klokken die gemeten was toen het bewegende stelsel een zekere afstand had afgelegd in ons stelsel, heeft ons stelsel dezelfde afstand heeft afgelegd in het bewegende stelsel. 
We weten dat de tijd in het stelsel-in-beweging achterloopt.
 Het eind van de gebeurtenis vindt dus op een later moment plaats in het bewegende stelsel dan in het stelsel in rust.

We definiëren eerst het begrip afgelegde afstand. De afgelegde afstand van een voorwerp  (of een golfverschijnsel) in een stelsel is het product van gemeten tijdsduur en snelheid (ten opzichte van dat stelsel). 
De tijdsduur hangt af van het stelsel van waaruit men deze gebeurtenis opmeet. Als we de tijdsduur opmeten voor het afleggen van de afstand tussen twee punten met de klokken in het stelsel-in-rust  'waarin de afstand wordt afgelegd' is de afstand gelijk aan de lengte van de afstand tussen de punten. De lengte is dus een speciaal geval van de afgelegde afstand. 
Als we de tijdsduur gebruiken van een klok in een stelsel dat in beweging is ten opzichte van het stelsel waarin de afstand is uitgezet dan heeft de afgelegde afstand een kleinere waarde dan de lengte vanwege de langzamere tijdsnelheid van die klok.
De afgelegde afstand is een identieke gebeurtenis voor beide stelsels als de tijdsduur op de klokken in beide stelsels gelijk is. Voor de waarnemers in beide stelsels bestaat de gebeurtenis er uitsluitend uit dat er een zekere tijdsduur voor wordt opgemeten want ze beschouwen zichzelf in het stelsel-in-rust.  Om de identieke gebeurtenis van eenzelfde afgelegde afstand te bereiken, moet het andere, het bewegende stelsel vanwege zijn tragere klok dus nog enige tijd voortbewegen. 

We stellen ons nu een trein voor met de lengte  tussen de achterpunt B en de voorpunt A. De lengte is in rust gemeten. De snelheid van de trein is v m/s. We beschouwen het punt A dat  van een punt K naar het punt L langs de spoorbaan beweegt.  Deze afstand heeft eveneens een lengte van  meter. We noemen KL het spoorbaanstelsel.

Het punt K beweegt met dezelfde maar tegengestelde snelheid tussen A en B in de trein. Het stelsel AB noemen we het treinstelsel.
De klokken in het stelsel KL lopen onderling gelijk evenals de klokken in het stelsel AB.
Uiteraard, zo zullen we nog zien, lopen de klokken van beide stelsels over en weer  niet gelijk.
Als A het punt K passeert, worden de tijdstippen op de klokken die zich in K en A bevinden als de nulpunten T = 0 genomen.  

We zullen het tijdverloop in beide stelsels samen in één grafische figuur (fig 1) weergeven. Dit is het tijdlijnendiagram. Horizontaal loopt de Xas. De tijd in de trein vertoont op zeker moment een verloop volgens de waarnemers langs de spoorbaan. Geheel volgens de tijdformule (p 4). Dit wordt weergegeven met de dalende lijn BA en zijn verlengden. Op vergelijkbare wijze verloopt de tijd langs de spoorbaan volgens de waarnemers in de trein zoals weergegeven met de stijgende lijn KL en zijn verlengden.
De trein en de spoorbaan bevinden zich langs de Xas. 

Blad 9
-----------

Het tijdverloop op zeker moment wordt dus weergegeven door de lijnen die een hoek met de Xas hebben. Omdat de trein zich verplaatst, zal de lijn BA naar rechts of naar links verschuiven als we de situatie op een ander tijdstip willen bekijken.
In deze figuur wordt recht gedaan aan de symmetrie tussen de waarnemingen vanuit de trein en vanaf het talud langs de spoorbaan.

De tijdschaal in verticale richting is meestal sterk vergroot (als v<<c) om de tijdsverschillen tot uiting te laten komen. De tijden op de klokken van de trein en langs de spoorbaan op een zeker punt zijn, zoals we zien, overal verschillend behalve in een punt waar de lijnen elkaar snijden. Daar zijn de tijden gelijk.  
De hoek tussen de lijnen weerspiegelt het tijdsnelheidsverschil tussen de stelsels. 

In de figuur bevindt de trein zich links van de verticale lijn PP . Het punt A van de trein passeert het punt K van de spoorbaan. Voor dit moment kiezen voor de tijd: 
 
TA = TK = 0 .

Het tijdsverschil op de plaats x = (waar B zich bevindt) en het stelsel van de spoorbaan is op die plaats:  

 

Ø         Voor v << c is γ ≈ 1.  

In het volgende tijdlijnendiagram (fig 2) zien we aan de rechterzijde van de verticale lijn PP de tijdlijn van de trein AB aangegeven op het moment dat de voorpunt A het punt L langs de spoorbaan passeert.  

 

Blad 10
--------------

      

Volgens de waarnemers in het spoorbaanstelsel KL heeft punt A de trein er T = ℓ/v sec over gedaan om L te bereiken. Dit is een afstandsgebeurtenis in het stelsel van de waarnemers langs de spoorbaan: de afstand   wordt met de snelheid v in T = ℓ/v sec afgelegd.

Met de tijdformule van Einstein kunnen we eenvoudig berekenen welke tijd er op de klok van A moet staan:


Een identieke gebeurtenis moet in het stelsel van de trein ook T = ℓ /v sec beslaan.

Wanneer het punt A het punt L passeert, vertoont  A echter de tijdsduur 
 
Hij heeft een kleine tijdachterstand van

De afstandsgebeurtenis is dus nog niet voltooid volgens de waarnemers in de trein ondanks dat het punt A en het punt L op exact dezelfde plaats zijn. Het punt A zal nog een stukje
 
moeten afleggen.  
 

Bedenk verder dat op het moment dat de klokken in A en L elkaar ontmoeten de tijdaanwijzing op de klokken de gebeurtenis markeren. Iedere waarnemer, in welke bewegingstoestand hij zich ook bevindt, zal deze zelfde tijdaanwijzingen waarnemen als A en L elkaar passeren,  conform de eis van onze grondwet:
 " Er bestaat slechts één natuurkundige werkelijkheid ".

Ø         Een voorbeeld: over de populaire bezigheid van het wedstrijdtaartbakken. Als twee taartbakkers even snel zijn, dan zal de bakker in het stelsel-in-rust net de laatste twee kersen op zijn taart hebben geplaatst terwijl de bakker in het bewegende stelsel de laatste kers nog ter hand moet nemen. 
Volgens de juryleden in het stelsel-in-rust heeft "hun" bakker gewonnen.
De juryleden in het bewegende stelsel zien echter dat op het moment dat "hun" bakker de laatste twee kersen heeft geplaatst zijn tegenstrever in het stelsel-in-rust de laatste kers nog ter hand moet nemen. 
Zij menen dat "hun" bakker heeft gewonnen.

Blad 11
------------

  
7.        Consequenties voor de Lorentzcontractie


Wanneer een 'neutrale' waarnemer op de plaats P  naar de gebeurtenis kijkt (fig 3) vanuit een stelsel dat met de halve snelheid voortbeweegt, zal hij waarnemen als gevolg van de symmetrie dat op het moment dat A het punt L passeert, het punt K ook het punt B passeert. Het is niet nodig de tijden op de klokken van K en B uit te rekenen omdat deze vanwege de symmetrie precies de tijden aangeven die al op de klokken van A en L stonden, namelijk 
  
respectievelijk TL = ℓ/v sec ,  maar dan verwisseld.  

De neutrale waarnemer, die slechts de halve snelheid  bezit, hoeft vanwege de grondwet van de natuurkunde evenmin de tijden te berekenen die op de klokken van A en L staan tijdens de ontmoeting. Ze zijn al bekend.

De klok van K moet dus de tijd
 
 laten zien, dezelfde tijd als A, en de klok B moet dezelfde tijd als L, namelijk

 
vertonen.
We vinden nu een interessant resultaat. Op het moment dat A de tijd  

vertoont, moet het nog

voortgaan voor de gebeurtenis in ℓ/v  sec  is voltooid. Dan is de gebeurtenis identiek met de gebeurtenis in het stelsel KL.

Dit komt overeen met een afstand van
 
naar rechts in het spoorbaanstelsel .

De 'neutrale' waarnemer zal constateren dat het punt K ook gedurende eenzelfde tijd
 

in de tegenovergestelde richting moet bewegen om de identieke afstandsgebeurtenis te voltooien. Dit komt overeen met


naar links in het stelsel AB. Op het moment van de ontmoetingen is de afgelegde  afstand tussen A en K  dus 

 

minder dan de afgelegde afstand
  die nodig is  om de identieke gebeurtenis te realiseren.

Dus op het tijdstip TL = TB = ℓ/v sec  heeft A een afstand van
 

afgelegd in het stelsel van KL en K heeft dezelfde afstand afgelegd in het stelsel van AB.
 

Blad 12
--------------

Wanneer het punt A zijn afstandsgebeurtenis heeft voltooid, zal het zich dus in het stelsel-in-rust op een afstand 
 
van K bevinden. 
Dit is
   
rechts van het punt L .

Voor K geldt hetzelfde:

  van A en
  
 links van het punt B .

Dit resultaat kan door iedere waarnemer worden waargenomen want het is een puntgebeurtenis: de bereikte afstand

van A ten opzichte van K kan op het tijdstip TA = ℓ/v  sec worden opgemeten in het stelsel-in-rust.

Omdat de afgelegde afstand met de lengte  willekeurig is gekozen, geldt het voorgaande  voor ieder voorwerp dat met een snelheid van v m/s een afstand van meter aflegt.
In het stelsel-in-rust vraagt dit  t =ℓ/v sec . Op de klok van de meebewegende waarnemers staat τ = t/γ sec . Het voorwerp zal een extra afstand van

                                     
moeten afleggen om dezelfde afstandsgebeurtenis in τ = ℓ/v sec te volbrengen. 
De afgelegde afstand door het voorwerp zal dan in het stelsel-in-rust een lengte hebben van   γ2.ℓ meter. De klokken in het stelsel-in-rust vertonen op dat moment de tijd γ. t  sec .

We zullen dit resultaat gebruiken om de perihelium precessie van Mercurius te bepalen.

Toelichting: Wanneer het punt A de plaats γ2.ℓ meter heeft bereikt in het stelsel-in-rust verwachten we ten onrechte dat de tijd de waarde γ2.T sec moet hebben in het stelsel-in-rust. Bedenk het volgende: de plaats van A in het stelsel-in-rust na 2T sec is 2 meter. De tijd op de klok van A is dan 2T/γ sec . 
Omdat A γ keer zoweinig tijd nodig heeft om een afstand af te leggen, kan je zeggen dat A γ keer zoveel afstand aflegt in dezelfde tijd. Als A de identieke afstand heeft afgelegd, staat op de klok van A de tijd 2T sec . Op de klokken in het stelsel-in-rust staat dan de tijd 2γT sec . De afstand die A heeft afgelegd in dezelfde tijd is dan γ keer zo groot:  γ2.2T meter.

In het parallel geplaatste artikel (zie..8)" Einsteins Lorentzcontractie .. " wordt in §7-10  uitgebreid ingegaan op dit probleem.

8.  Dorrestijn H J 2018 De uitglijder van Einstein" ,  www.einsteingenootschap.nl   
___________________________________________________________________________

Blad 13
-------------

 

  8.    Tijdsnelheid in een versnellingsveld  

In de algemene relativiteitstheorie spelen bij de bewegingen van voorwerpen ook versnellingsvelden een rol. Einstein nam aan dat van een star voorwerp ook in dit geval de lengte zou afnemen in de richting van de versnelling. 
Wij zullen laten zien dat we de resultaten die Einstein berekende ook kunnen vinden door af te zien van de Lorentzcontractie en uitsluitend gebruik te maken van de tragere tijdsnelheid in het versnellingsveld en de verandering op de afgelegde afstand die dit tot gevolg heeft.

Eerst moeten we enig idee krijgen van het gedrag van de tijd in een versnellingsveld. Het is belangrijk te weten dat het zwaartekrachtveld van een massa M een versnellingsveld is. Zelfs een lichtstraal wordt in een versnellingsveld versneld met andere woorden de lichtstraal valt even hard naar beneden als een gewoon stoffelijk voorwerp. Daaruit blijkt al de zwaartekracht niet gelijk moet worden gesteld aan de kracht op een stoffelijk voorwerp, maar eerder moet worden gezien als een eigenschap van de omgeving van de massa M.
We beginnen met een homogeen versnellingveld. Een trein die door zijn motoren een constante versnelling ondergaat, is een voorbeeld van een dergelijk homogeen veld. Het is echter niet de trein die zich in een homogeen versnellingsveld bevindt, maar het homogene veld bevindt zich in de versnellende trein. Een balletje dat waar dan ook op de vlakke grond in het gangpad wordt gelegd, zal met een steeds grotere snelheid naar de achteruitgang rollen.

Een uitvoerig onderzoek (zie "Het Klokkenpostulaat" op deze website) naar het gedrag van de klokken  in de versnellende trein (versnelling g m/s2 en lengte meter)  vergeleken met de klokken op het perron laat het volgende zien:


Blad 14
---------------


In het zwaartekrachtveld moet een waarnemer die in vrije val verkeerd worden gezien als een waarnemer in het stelsel-in-rust terwijl de waarnemer die de aantrekkingskracht van de massa daadwerkelijk voelt zich "in de trein bevindt".

 

Met deze uitdrukking kan door integreren de tijdsnelheid in een willekeurig punt van een bekend versnellingsveld zoals van de zwaartekracht, middelpuntvliedende kracht, Corioliskracht, de elektrostatische kracht, enzovoort worden berekend. In de genoemde velden is immers de versnelling g in ieder punt bekend.

We gaan nu onderzoeken hoe groot de afgelegde afstand is in een gravitatieveld vergeleken met een identieke gebeurtenis (van een afgelegde afstand) in de verre ruimte. 

We beschouwen een object P dat zich met de snelheid v verplaatst van punt A naar B op een lange materiële staaf. Zie fig  4. De snelheid v is zo langzaam dat het effect daarvan op de tijdsnelheid te verwaarlozen is in vergelijking tot de tijdvertraging door de zwaartekracht. 
Op zeker moment passeert het object P het punt A. De klokken worden op T = 0 gezet.  Iedere waarnemer ziet het en leest ook de tijd  T = 0 sec af op de klokken van A en P .  Het punt B behoort tot het stelsel A met gelijklopende klokken en geeft op dat moment ook T = 0 aan.


Blad 15
---------------



De afstand wordt dus γr2 keer zo groot.
We zien dus dat in een zwaartekrachtveld een vergelijkbaar resultaat geldt als wat we hebben gezien bij een constante, rechtlijnige beweging: het bewegende object moet een  γr2 langere afstand afleggen voor een identieke gebeurtenis.

Ook dit resultaat zullen we gebruiken voor de perihelium precessie van Mercurius (§12/13).

 


Ø   In het geval de tijdvertraging door de snelheid niet kan worden verwaarloosd, kan deze gewoon bij de tijdvertraging door het zwaartekrachtveld worden opgeteld.  

Blad 16
-------------

9.    De Ehrenfestparadox

In 1909 werd Einstein geconfronteerd met een probleem dat door Paul Ehrenfest (zie..9) was geformuleerd en dat hem de nodige hoofdbrekens bezorgde: een roterende starre schijf. Als namelijk de Lorentzcontractie werkelijk zou bestaan, dan zou de omtrek 2πR  van de schijf vanwege zijn snelheid krimpen terwijl de straal  R niet zou krimpen. Dat zou in strijd zijn met de gewone (Euclidische) meetkunde. Einstein kwam hier niet uit en nam zij toevlucht tot een wiskundige oplossing waarbij de ruimte gekromd kan zijn. Het invoeren van de foutieve Lorentzcontractie lokte opnieuw een foutief begrip uit: de gekromde ruimte.  

We zullen dit probleem analyseren in het licht van de verworpen Lorentzcontractie. Daarbij moeten we bedenken dat de cirkelvormige beweging van een materieel punt van de schijf een naar buiten gerichte versnelling op dat punt zal veroorzaken. We mogen dit versnellingsveld op dezelfde wijze behandelen als het zwaartekrachtversnellingsveld Veronderstel dat de omlooptijd T sec is volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust. De afgelegde is dan 2πr meter volgens deze waarnemers. 

Op de afstand  r van het centrum van de schijf is de snelheid van het punt v = 2πr/T   m/s.

Vanwege de snelheid is de tijdsnelheid dan trager met een factor
  

 Het punt ondervindt echter ook een versnelling ter grootte van v2/r m/s2

Dit leidt andermaal tot een tragere tijdsnelheid met de factor
  
 

Samen leidt dat tot een tragere tijdsnelheid met de factor
  
voor een klok op een draaiende schijf die een snelheid v m/s heeft ten opzichte van de klokken in het stelsel-in-rust.  
Een klok op een draaiende schijf moet ook de gebeurtenis van één omloop volbrengen in T sec volgens zijn eigen klok. Op de klokken van de waarnemers in het stelsel-in-rust vraagt dat  γ2T sec .  

Hieruit volgt dat een punt op de plaats r op de draaiende schijf de omloop niet beëindigt op de plek waar hij startte volgens de waarnemers in het stelsel in rust , maar
  
verder. Daar bevindt zich het volgende beginpunt volgens de meebewegende waarnemer.  

Ø       Het beginpunt zelf van de omloop verplaatst zich dus en beschrijft dezelfde cirkel. Laten we dit verschijnsel de "cirkelrotatie" noemen. In §2 bespraken we dit verschijnsel al met betrekking tot de baan van Mercurius. De cirkelrotatie heeft een zekere snelheid, de cirkelrotatie snelheid die gelijk moet zijn aan
  

De conclusie is dat er geen deformatie van de schijf van Ehrenfest optreedt. We moeten het zo begrijpen dat de tijdsnelheid er de oorzaak van is dat ieder punt van de draaiende schijf
 
meer afstand nodig heeft dan 2πr meter om de omloop volgens de klok te voltooien. Een punt op de schijf heeft voor één omloop dus


 nodig gezien vanuit het stelsel-in-rust. Dat komt neer  ( mits v<<c op  γ4.2πr meter. Op dat moment laten de klokken in het stelsel-in-rust de tijd t = γ2.T  sec zien.  

Blad 17
-----------

Wanneer we de Ehrenfestparadox op deze manier bekijken, blijkt dat de omtrek van de schijf helemaal niet is gekrompen. Alles kan worden verklaard aan de hand van de kloktijden. De Euclidische meetkunde behoudt zijn geldigheid. Het begrip 'gekromde ruimte' is een misvatting.

Ø       In het artikel "Het Klokkenpostulaat" op deze website is veel meer te vinden over het tijdgedrag van klokken in draaiende stelsels.  

___________________________________________________________________________
9. 
Ehrenfest P 1909 Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie 
Physikalische Zeitschrift
23  p 918

____________________________________________________________________________

 

    10.    De afbuiging van een lichtstraal nabij een ster


Het blijkt dat een lichtstraal in een zwaartekrachtveld een afbuiging vertoont alsof de lichtstraal door de massa wordt aangetrokken. Dat is natuurlijk niet te verwachten voor licht dat geen massa heeft. Einstein stelde dat de afbuiging het dubbele is van wat met de valversnelling wordt berekend want het effect van de kromming van de ruimte moest er nog bij worden opgeteld. 

Uit metingen bleek dat de afbuiging precies overeenstemde met de berekening (lit.5) die Einstein had uitgevoerd. De 'kromming van de ruimte' is echter een gedachte die geïnspireerd is op het wiskundig onderzoek naar abstracte ruimtelijke vormen in een wereld met vele dimensies. Hoewel ieder natuurkundig verschijnsel in wiskundige termen kan worden beschreven, geldt niet dat iedere wiskundig resultaat één op één met een natuurkundig verschijnsel samenhangt. Het begrip 'gekromde ruimte' in de wiskunde betekent niet dat de reële ruimte gekromd moet zijn. De 'gekromde ruimte' is slechts een (bruikbaar) wiskundig model voor wat er zich in de ruimte afspeelt.

Wij zullen laten zien dat weliswaar een lichtstraal door een grote massa wordt afgebogen maar dat deze fysische eigenschap daarom nog niet aan een eventuele 'kromming' van de ruimte hoeft te worden toegeschreven. Wij zullen bewijzen dat met de tragere tijdsnelheid in het zwaartekrachtveld van de massa de afbuiging van een lichtstraal volledig kan worden verklaard.  

Volgens het filosofische principe dat "Het scheermes van Ockham" wordt genoemd, geldt dat een theorie steviger is gefundeerd naarmate er minder gebruik wordt gemaakt van aannames.  We mogen daarom tot ons grote genoegen de aanname dat de ruimte gekromd zou zijn uit de relativiteitstheorie verwijderen.

Wat gebeurt er als een lichtstraal langs de grote massa van een ster beweegt? Om dit te begrijpen moeten we twee lichtstralen met elkaar vergelijken, één straal die op zeer grote afstand van de massa, dus in de verre ruimte - waar de invloed van zwaartekrachtvelden te verwaarlozen is  een zekere afstand aflegt en één die dezelfde afstand aflegt in het zwaartekrachtveld van een ster. Voor de afstand gebruiken we een lange, starre staaf met twee merktekens  P1 en P2 op een afstand met een lengte van meter van elkaar. We gaan er in onze theorie van uit dat de lengte van een object niet verandert door een snelheid of een versnelling. We kunnen dus een tweede staaf maken waarop precies dezelfde lengte is aangegeven tussen twee merktekens P1*en P2*(zie fig 5) die we voor een experiment met een versnelling of een snelheid kunnen  gebruiken.

Blad 18
---------------

De eerste staaf wordt op grote afstand van de sterren in stilstand in de verre ruimte geplaatst. We noemen dit stelsel A. 
De tweede staaf wordt nabij een ster op een afstand van r meter in het zwaartekrachtveld geplaatst. Dit is stelsel B . 
Dit stelsel staat ook stil ten opzichte van de ster maar moet daarbij een versnelling tegen de aantrekkingskracht van de ster in ondervinden.  De staaf moet met raketmotoren op zijn plaats worden gehouden om niet naar de ster vallen. 
We laten een lichtstraal in stelsel A de afstand afleggen van het merkteken P1 naar het merkteken P2  . De tijdsduur voor deze gebeurtenis moet gelijk zijn aan T0=ℓ/c sec . 
Vervolgens laten we via spiegels of anderszins dezelfde lichtstraal in stelsel B de afstand overbruggen tussen de punten P1*en P2*. 
De tijdsnelheid van een klok in stelsel B is echter een factor γr trager dan in de verre ruimte. De lichtstraal zal de afstand van meter op de tweede staaf volgens de tragere klok van de waarnemer in stelsel B in een tijdsduur van  Tr  = T0r  lorsec afleggen.
 

Omdat de tijdsnelheid nabij de ster trager is, moet de tijdeenheid er groter zijn dan in het stelsel in rust. We noemen deze eenheid de lorsec (zie kader). 

In stelsel A is de lichtsnelheid uitgedrukt in m/s. In het stelsel B hebben we te maken met een tragere tijd, dat wil zeggen dat de eenheid van tijd groter is. We hebben dat al eerder besproken bij de eenparig bewegende stelsels (zie Einsteins Lorentzcontractie § 7) en voorgesteld deze eenheid de lorentzsec te noemen. Er geldt 1 lorsec = γ sec . Daarin is γ de factor waarmee de tijd trager is in het bewegende stelsel.

We hebben in die paragraaf de conclusie getrokken dat we naast de eenheid van lengte een nieuwe eenheid moesten introduceren voor de afgelegde afstand  van een stelsel. We hebben de afgelegde afstand gedefinieerd als het product van snelheid en tijdsduur in een stelsel. Het is een abstracte fysische grootheid die – net als de tijd – afhankelijk is van het stelsel waarin  de waarnemer zich bevindt. In een stelsel-in-rust zonder invloeden van de zwaartekracht is de afgelegde afstand gelijk aan de lengte van de afstand, maar in het bewegende stelsel zelf krijgt de afgelegde afstand een kleinere waarde dan de lengte. Dat kan alleen als de eenheid van afgelegde afstand in het stelsel-in-beweging een grotere waarde heeft dan de meter. De eenheid van afgelegde afstand hebben we de lorentzmeter genoemd. Er moet gelden 1 lormeter = γ meter. Met deze eenheden blijft de snelheid van een stelsel ten opzichte van het andere gelijk. Ook de lichtsnelheid behoudt zijn constante waarde.

In het geval van de tragere tijd in een stilstaand stelsel in het zwaartekrachtveld ligt het voor de hand voor de eenheid van tijd ook de lorentzsec te gebruiken, waarbij 1 lorentzsec = γr sec . Hierin is γr de factor waarmee de tijd trager is in het zwaartekrachtveld. 
De vraag is of de eenheid van afgelegde afstand nu ook moet worden aangepast want de stelsels staan in dit geval stil ten opzichte van elkaar. De lengte is in beide stelsels gelijk, dus is de afgelegde afstand tussen de twee punten in beide stelsels ook gelijk. De lorentzmeter is dan gelijk aan de meter. Het enige dat beweegt is de lichtstraal. In het zwaartekrachtveld moet dan gelden dat de lichtsnelheid gelijk is aan c m/lorsec, dus de waarde van de lichtsnelheid blijft dezelfde mits de juiste stelsel–gebonden eenheden worden gebruikt.
In het zwaartekrachtveld moeten we dus voor de eenheid van tijd de lorentzsec gebruiken en voor de eenheid van afgelegde afstand door het licht de meter
Ingeval van een bewegend object in een zwaartekrachtveld moet de vertraging van de tijd door de snelheid en de zwaartekracht bij elkaar worden opgeteld en daarbij hoort dan wél  de eenheid voor de afgelegde afstand, de lorentzmeter.

 

Blad 19
---------------

 Ø         Deze gedachtegang brengt ons op een scherpere omschrijving van één van de peilers van de relativiteitstheorie die meestal wordt omschreven als: "de lichtsnelheid is constant". Wij willen dit liever omschrijven als: Iedere waarnemer moet dezelfde lichtsnelheid meten in de stelsel–gebonden eenheden van het stelsel waarin de waarnemer zich bevindt .

Hier kunnen we de volgende opmerkingen bij maken:
1ste       Door als ruimte–eenheid de afgelegde afstand te nemen in drie dimensies wordt de ruimte bevrijd van zijn fysieke eigenschappen. Een object kan een lengte hebben uitgedrukt in meters, maar de afgelegde afstand hangt af van hoe de waarnemer door de ruimte beweegt is daarom geen eigenschap van de ruimte. Het een eigenschap van de tijd en de snelheid. 
2de        Dit heeft tot gevolg voor stelsel B dat de lichtsnelheid in het zwaartekrachtveld volgens een waarnemer in A effectief langzamer is geworden.

We zullen nu de beschreven gebeurtenis van fig  5  in detail onderzoeken door de lichtstraal een bepaalde frequentie f0 te geven. Deze is zodanig dat zich precies N golven op de lengte ℓ in stelsel A bevinden. De golftrein heeft dus een lengte van meter. De golflengte van een trilling is λ0 = ℓ/N meter. Na T0 = ℓ/c seconden legt de lichtstraal de afstand van P1 naar P2 af en bevinden zich N golven tussen de punten. 
Een gebeurtenis in stelsel B vraagt minder tijd dan dezelfde gebeurtenis in stelsel A. De passage van één golf  vraagt TA= 1/f sec in stelsel A. In stelsel B zal de tijdsduur voor dezelfde gebeurtenis korter zijn, namelijk TB =  1/γr f0 lorentzsec . De frequentie fr  in B is dan gelijk aan fr = γr f0 per lorentzsec
[1]. Dat is een hogere frequentie. De passage van N golven vraagt N/γr f0 lorentzsec en de lengte van de golftrein wordt cN/γr f0 meter = ℓ/γr meter. De golftrein is daadwerkelijk korter in stelsel B dan in stelsel A. 

De 1ste  reden voor een hogere frequentie in het zwaartekrachtveld: de tijd is er trager.  

Verder moeten we ons realiseren dat de lichtstraal in het voorbeeld van fig 5 niet op voorhand aanwezig was in het zwaartekrachtveld van stelsel B, maar er heen werd geleid van P1 naar P1* . De frequentie zal dan onderweg van stelsel A naar stelsel B veranderen van f0  per seconde naar fr= γr f0 per lorentzsec in stelsel B . 

Dit is de 2de  reden waarom de golftrein korter wordt: door de hogere frequentie die de lichtgolf krijgt als hij van stelsel A naar stelsel B wordt gebracht.  

De frequentie is dus opnieuw met de factor γr  toegenomen. 
Eenzelfde lichtstraal die gesplitst wordt waarbij een deel door stelsel A gaat en een deel door stelsel B gaat, zal dus een frequentieverschil met de factor γr2 vertonen tussen de twee delen als deze zich langs de twee verschillende stelsels bewegen.  
Hoe groot is nu de golflengte van deze golven? We hebben gesteld dat de lichtsnelheid  gelijk is aan c meter per lorentzsec. Dan wordt de golflengte c x 1/γr2.f0 = λ0r2 meter.

Het voorste punt van de golftrein heeft dan een afstand afgelegd van  N.λ0r2  meter.

De golftrein is dus korter geworden, namelijk ℓ/γr2 meter.


[1] Dit is de frequentieverandering die we kennen als de gravitationele roodverschuiving.

 

Blad 20
----------------

                Opmerking: Bij de voorgaande formule geldt dat γr zeer weinig van 1 verschilt.
We kunnen nu de totale afbuiging van een lichtbundel berekenen die op een afstand van  R meter een massa passeert. De buitenkant van de bundel passeert op R+ΔR meter de massa.
De berekening gaat als volgt: we beschouwen twee lichtstralen die deel uitmaken van een bundel. Op zeker moment (zie fig 6), bevindt de onderste lichtstraal zich op een afstand r van de massa en de bovenste op de afstand r +Δr meter. 

Dat Einstein tot deze noodgreep kwam, moet dus een gevolg zijn van 
een doodgewone fout in zijn uitwerking!
 
       
Wij zetten hier een éénduidige, heldere benadering tegenover waarbij we uitsluitend gebruik maken van de tijdvertraging


Blad 21
----------


Blad 22
--------------------

Opmerkingen:

Ø         We moeten ons realiseren dat de wiskundige formules die in de gevestigde relativiteitstheorie worden gebruikt voor het overgrote deel geldig blijven omdat het gezamenlijke effect van zwaartekracht en 'ruimtekromming' even groot is als het door ons boven water gehaalde dubbele effect van de tijdvertraging.

Ø         In de gevestigde wetenschap worden de problemen uit de relativiteitstheorie vaak afgedaan met de dooddoener dat het denken in 'ruimtetijd' ons voorstellingsvermogen te boven gaat. De dooddoener is hier een boosdoener: de natuurkunde wordt gedegradeerd tot een geloof.

Ø         Sommige 'wetenschappers' reageren op de bevindingen dat de Lorentzcontractie, noch de 'gekromde ruimte' bestaan met de opmerking: "Wat maakt dat nou uit!"? Daarop is het antwoord dat het voor de mensheid enkele eeuwen geleden ook niet uitmaakte of de aarde om de zon draaide of de zon om de aarde. Wij weten nu dat ons wereldbeeld door de juiste kennis veel rijker is geworden. Zo zal ook een theorie zonder 'gekromde ruimte' inspireren tot een nieuw en nog onbekend wereldbeeld.

 Toelichting op Einsteins resultaat:

De afbuiging Δψ van het licht in het zwaartekrachtveld werd door Einstein voor het eerst in 1911  [[i] p 496] berekend. Later publiceerde hij een tweede berekening [5 p 822], maar in beide gevallen kwam hij niet verder dan de formule:

         

We zien dat Einstein er een factor 2 naast zat. Hij vond in de eerste publicatie 0,83'' maar in de tweede vond hij met dezelfde formule op wonderbaarlijke wijze het dubbele: 1,7''.

In zijn populaire  boekje voor het grote publiek uit 1916 [[ii] p 100] verklaarde hij: "We moeten hieraan toevoegen dat deze afbuiging voor de helft het resultaat is van het (Newtoniaanse) zwaartekrachtveld van de zon, voor de andere helft van de geometrische verandering ('kromming') van de ruimte door de aanwezigheid van de zon".

Hij bedoelde met de Newtoniaanse bijdrage dat als we aan een lichtfoton een massa toekennen zoals met de formule E = m.c2  kan worden gedaan de afbuiging door de aantrekkingskracht van de zon kan worden berekend. Waarschijnlijk heeft Einstein enige aarzeling gevoeld om de twee waarden op te tellen en zodoende de bijdrage van een zogenaamd massaloos deeltje te moeten accepteren. Zijn fysische intuïtie dwong hem hier echter toe. Waarom blijft een raadsel. We zien dat Einstein niet doorzag dat de tragere tijdsnelheid ook doorwerkt in een afgelegde afstand.  

                  Onze verbeterde relativiteitstheorie kent deze problemen niet.


[i] Einstein A 1911 Über den Einfluss der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes; Collected Papers of Albert Einstein Volume 3  (Boston: Princeton  university Press) p.496

[ii] Einstein A 1916 Mijn Theorie (Utrecht; Het Spectrum 1998) ISBN9027457581


Voor het vervolg van dit artikel: Het Artefact deel II

         Naar boven