8b         Oumuamua en het Hoekeffect

 Omdat vanuit de komeet de zon wordt waargenomen op een plaats die deze r/c sec eerder innam, is de zwaartekrachtversnelling  niet exact op het zwaartepunt van de echte zon gericht. In Newtons theorie is dat wel het geval. Het grootste deel van zijn vlucht naar de zon en er vandaan zal dat weinig invloed hebben, maar dichtbij de zon bereikt dit effect wel een aanmerkelijke waarde omdat de hoek y een substantiële grootte krijgt. Daarom komt het hoekeffect tijdens de passage langs de zon maximaal tot uiting. 

De component van de gravitatieversnelling in het punt B* (zie fig.7) die de snelheid van de komeet in de baan verlaagt als hij zich verwijdert van de zon is met de

 formule van Newton te berekenen:   m/s². De versnelling is gericht naar de (gekleurde) zon.

Fig.7      Versnellingscomponent door het hoekverschil tussen de werkelijke plaats van de zon en de plaats waar hij wordt waargenomen.

Volgens de Belemmeringstheorie echter is de gravitatieversnelling de waarde die (zie fig 7) gevonden wordt langs de verbindingslijn naar de waargenomen (niet gekleurde) zon. De component daarvan vinden we met  m/sec^2.   Deze laatste waarde is kleiner dan de eerste waarde die met de theorie van Newton wordt berekend.

Volgens de Belemmeringstheorie wordt de komeet dus door dit effect minder afgeremd als hij zich van de zon verwijdert dan in Newtons theorie. Hij houdt dus meer snelheid over als hij zich van de zon verwijdert. Dat gaan we berekenen. 

De versnellingscomponent volgens de Belemmeringstheorie langs de baanrichting verschilt dus van die van Newton met:

Met y in radialen. Voor  y  vinden we    radialen.

Daarmee vinden we: m/sec².

Wanneer de komeet de zon nadert, heeft het hoekeffect een omgekeerde uitwerking. Dan is de component in de richting van de zon volgens de Belemmeringstheorie juist groter dan volgens Newton. In fig 7 wordt dit verduidelijkt bij punt D*.  

Bij de nadering van de zon wordt de versnelling die de komeet ondergaat vergroot en bereikt de komeet een extra grote snelheid, bij het verwijderen van de zon wordt de komeet minder afgeremd en houdt hij dus meer snelheid over. Bij elkaar wordt de snelheid van de komeet dubbel extra vergroot.

Als we hiermee aan de slag gaan, is het resultaat echter dat een planeet ook voortdurend sneller moet  gaan bewegen. Dat is in strijd met de ervaringen. 

We hebben kennelijk iets over het hoofd gezien. Het blijkt dat de waarde van de hoek y  niet geheel juist gevonden is. Met behulp van  fig 8 wordt duidelijk gemaakt onder welke hoek de zon wordt gezien vanaf de komeet.

Fig 8 Berekening van de hoek ψ.

De zon wordt waargenomen op de plek waar hij zich ten opzichte van de komeet r/c sec eerder bevond. Toen bevond de zon zich (r/c)v meter meer naar rechts ten opzichte van zijn actuele positie en bewoog zich vanuit de komeet gezien in de tegenovergestelde richting met de snelheid van dat eerdere moment. Als de komeet de zon nadert en het punt D* bereikt, heeft de komeet een zekere afstand afgelegd sinds het licht door de zon werd uitgezonden.

Op het moment dat het licht de zon verliet bevond de komeet zich in het punt D**. Gedurende de tijd dat de komeet zich van D** naar D* bewoog, is de  richting van de komeet enigszins veranderd door de aantrekkingskracht van de zon. Daarom moet de hoek y  worden gecorrigeerd. 

De vraag is dus hoeveel de komeet van richting is verandert. In D** was zijn richting nog Dj groter, dus (j+Dj). In de figuur is de richting waarin de zon bewoog toen de komeet zich in D** bevond en de richting waarin hij beweegt nu de komeet in D* is, is aangegeven met twee streepjes lijnen. De hoek tussen de twee richtingen is Dj. Bij de komeet in D* is het richtingsverschil met twee vette streeplijnen verduidelijkt.

Uit de figuur is te zien dat de hoek waaronder vanuit de komeet de zon wordt waargenomen ten opzichte van zijn bewegingsrichting gelijk is aan: j–y+Dj radialen.  
Voorbij het perihelium  wordt de bijdrage Dj positief.
We berekenen de grootte van   Dj .

De tijdsduur voor het licht om van de zon bij de komeet te komen is r/c sec. De afgelegde afstand in die tijdsduur is : r/c x v meter. Door de zwaartekracht van de zon is de snelheid in de richting van de zon in die tijd toegenomen tot g_zon x r/c. 
Dan is de snelheid loodrecht op de baanbeweging  m/sec.   Dan wordt      rad.  
De waarde van y  wordt dan:   rad .

Daarmee vinden we:

m/sec²  , of 
 m/sec² .

Ø           Voor cirkelvormige bewegingen geldt ,
                waaruit volgt .  Hiermee krijgen we:  
              .

We constateren hieruit dat de snelheid van een planeet door het hoekeffect niet kan veranderen. Dat gold ook al voor het optisch afstandseffect omdat de afstand bij een cirkelvormige beweging constant blijft. Dit geldt voor alle cirkelvormige bewegingen van de planeten.  

De effecten zijn wel van toepassing op Oumuamua. Opnieuw hebben we dit probleem numeriek aangepakt om met de gevonden formule de extra snelheid te berekenen die de komeet door het hoekeffect krijgt. 

Bij de berekeningen voor de volgende Tabel 3 hebben we dezelfde gegevens gebruikt als bij Tabel 2. We hebben ook dezelfde schattingen van de hoek  j   gebruikt.

 

                                Tabel 3    Het snelheidsverschil tussen de Belemmeringstheorie en de theorie van Newton door het hoekeffect. 

In kolom I van de tabel staat de versnelling die de komeet op de aangegeven afstand ten gevolge van het hoekeffect ondervindt. In kolom K zien we de sommatie van de snelheidstoenames over de opeenvolgende afstanden tussen de punten van kolom A. Daarmee vinden we hoeveel sneller de komeet Oumuamua gaat op verschillende afstanden nadat het perihelium  is gepasseerd als gevolg van het hoekeffect. We zien bijvoorbeeld dat de snelheid op de afstand van de baan van Venus door dit effect is toegenomen met 20,9 m/sec.

We zagen al eerder (Tabel 2) dat ter hoogte van de baan van Venus de snelheid  door het optisch afstandseffect vertraagd werd met 4,2 m/sec.

Door de uitkomsten als gevolg van het hoekeffect te verminderen met die van het afstandseffect vinden we in Tabel 4 een toegenomen snelheid  op verschillende afstanden van de zon. In kolom F vinden we de uitkomsten, bijvoorbeeld ter hoogte van de baan van Venus is de snelheidstoename 20,9 - 4,2 = 16,7 m/sec.  

We zien verder in de tabel dat de snelheid in de buurt van Mercurius oploopt tot ongeveer 20 m/sec. Op grote afstand voorbij de aardbaan neemt de snelheidstoename af tot ongeveer 12 m/sec.

Deze waardes geven het vertrouwen dat met de Belemmeringstheorie het afwijkende snelheidsgedrag van de komeet kan worden verklaard. We moeten er echter bij opmerken dat de waarden nog variëren met de schattingen die we voor de hoek j  hebben gemaakt. We zullen het aan de sterrenkundigen, die zich met het verloop van de baan van Oumuamua bezighouden, moeten overlaten om de juiste resultaten te verkrijgen.



         Tabel 4 De snelheidswinst van Oumuamua bij een acceptabele 
                schatting voor de hoek  j .

  Een bijkomend gevolg van deze bevindingen is dat iedere komeet die zich in een ellipsbaan rond de zon beweegt met een grotere snelheid zich van de zon verwijdert dan de snelheid waarmee hij de zon nadert. Hoe de snelheid over de hele omloop van een elliptische baan precies verloopt, moet nader worden  onderzocht.