Naar Deel I Inleiding

Naar Deel III 

 

2          De werkelijke snelheid

 In het boek T&C (p.152–153) wordt de volgende uitleg gegeven voor wat er moet worden verstaan onder de werkelijke snelheid. We gaan daar uit van een object met de lengte ℓ meter tussen de voorpunt A en de achterpunt A* – dat is stelsel A waarin alle klokken gelijklopen –  dat beweegt ten opzichte van een ander object dat zich uitstrekt van de voorpunt B tot de achterpunt B* – stelsel B – met eveneens de lengte ℓ meter en eveneens gelijklopende klokken. Deze twee objecten (stelsels) bewegen ten opzichte van elkaar in de lengterichting (zie fig 1) .

Ø           Figuur 1 stelt een tijdlijnendiagram voor waarin de voorwerpen op zeker tijdstip scheef ten opzichte van elkaar zijn getekend om daarmee de tijdvoorsprong (bovenste lijn) of de tijdachterstand (onderste lijn) op een plaats x langs de X-as van het ene stelsel ten opzichte van het andere weer te geven.

Uiteraard geldt – omdat de Lorentzcontractie wordt afgewezen – dat de lengte van de stelsels gelijk zijn aan elkaar onafhankelijk van hun snelheid.
De voorpunt A van het stelsel A verplaatst zich van punt B naar punt B*. De tijdsduur van  deze gebeurtenis is  t =ℓ/v sec volgens de klok in punt B*, dus de snelheid waarmee het object voortbeweegt, is volgens de waarnemer in B* gelijk aan v = ℓ/t    m/s.

 

 

 

 

 

 

_{Fig 1  De streepjeslijnen  geven de plaats aan waar de stelsels zich op het tijdstip t = ℓ/v sec – volgens de klokken in hun stelsel – bevinden, gezien vanuit de voorpunten. Op dat tijdstip bevinden de voorpunten A2 en B2 zich γ⁴ ℓ meter van elkaar. De vette lijnen geven de plaats van de stelsels aan op dat tijdstip gezien vanuit de achterpunten. De onderlinge afstand van deze punten klopt wel met de traditionele opvattingen, maar we moeten bedenken dat deze punten zich op het tijdstip t=0 zelf γ⁴ ℓ meter van elkaar bevonden.}  

De klok op de voorpunt A van het ten opzichte van B bewegende object vertoont op dat moment de tijd t/g sec immers, de klokken in het bewegende stelsel A zijn trager als ze worden bekeken uit stelsel B (en omgekeerd).  
Het eindpunt A* van het ten opzichte van B bewegende voorwerp passeert – gezien vanuit Q – op datzelfde moment precies het punt B . Ze zijn immers even lang. De klok van A* moet dan de tijd t vertonen want het punt B heeft op dat moment precies de afstand ℓ in het stelsel A afgelegd.  

De klok in A* zou echter ook de tijd t/g  sec moeten laten zien want de klokken A en A* in dat stelsel lopen gelijk volgens de 'waarnemers' in dat stelsel. Dat kan natuurlijk niet. Deze zelfde tegenstrijdigheid speelt ook voor klok B* . We moeten concluderen dat de gebeurtenissen aan de voorpunt en de achterpunt op de voorwerpen niet op hetzelfde moment plaatsvinden volgens de 'waarnemers' in dat stelsel. De klokken op een voorwerp lopen wel gelijk, maar de gebeurtenis op de achterpunt vindt op een iets eerder tijdstip plaats dan de gebeurtenis op de voorpunt.  

We zien hieruit dat zelfs de natuurkundige tijd een zeer subjectieve grootheid is. De bewegingstoestand van de waarnemer vergeleken met het object dat waargenomen wordt, bepaalt het tijdregiem waarmee hij werkt.

Als we een bewegend stelsel waarnemen waarvan de "waarnemers" hun klokken gelijk laten lopen, zal de klok op een verder naar voren gelegen punt in het bewegende stelsel achterlopen op een klok die verder naar achteren staat opgesteld. Alle klokken in het bewegende stelsel lopen echter wel even snel voor de waarnemers in dat stelsel . Van achter naar voor is er een tijdverloop van afnemende tijd voor de waarnemers die naar het bewegende stelsel kijken.  

We onderzoeken nu waar de voorpunt A, die de tijd t/g vertoonde toen hij zich bij B* bevond,  zich op het tijdstip t zal bevinden. We bekijken dus waar A zich bevindt als hij dezelfde tijd op zijn klok heeft als punt A* met zijn synchroon lopende klok. De tijd van A is dan g  keer zo groot geworden.
Dit punt zal zich dan hebben verplaatst over een afstand (2g–1)ℓ meter ten opzichte van het punt waar het B* passeerde.
Als we de Lorentzfactor gebruiken, komt dit neer op een afstand van (ℓ+v²/c².ℓ)  meter.  
Dit resultaat vraagt om een toelichting. Men is geneigd te denken dat de afstand g  keer zo groot moet worden, maar men vergeet dat de afstand ℓ in minder dan t sec werd afgelegd door A, namelijk in t/g sec. Zijn snelheid – gezien vanuit het andere stelsel – was kennelijk g keer groter. Als we beide aspecten in rekening brengen, wordt afgelegde afstand g ² keer groter. De extra afgelegde afstand wordt dan  
  (g ²–1)ℓ≈(2g–1)ℓ mits (g–1)<<1. Zo zal het punt B zich op het tijdstip t op zijn klok ook over een afstand van (g –1)ℓ  meter de andere kant op hebben verplaatst.  

Op het tijdstip t sec zullen de punten A en B zich dus op een afstand van (ℓ+2v²/c².ℓ) meter van elkaar bevinden. Dit mogen we schrijven als  g ⁴ ℓ m.  
De snelheid die punt A en punt B aan elkaar moeten toeschrijven, 
is dan g ⁴ ℓ/t = g ⁴ v   m/s.  

Twee waarnemers in een stilstaande stelsel  meten dus traditioneel de snelheid v van een object dat over een afstand ℓ van de ene naar de andere waarnemer beweegt door het moment van aankomst op de klok van de andere waarnemer vast te leggen en het tijdsverschil te noteren:  t sec.  Op het moment dat het object ook deze tijd t vertoont, heeft het echter een afstand van   g ⁴ ℓ m ten opzichte van de eerste waarnemer afgelegd.   ℓ m ten opzichte van de eerste waarnemer afgelegd.  

De vraag is nu: Wat is zijn snelheid. 
Wij beweren dat de snelheid gelijk is aan g ⁴ v m/s.

Deze snelheid hebben we de werkelijke snelheid:  g ⁴ v       m/s genoemd.

Het resultaat geldt algemeen: een object dat zich verplaatst,  heeft altijd een snelheid g ⁴ v   m/s ten opzichte van zijn beginpunt als we de snelheid v op klassieke wijze hebben vastgesteld.  
De Lorentzfactor   geeft hier de tijdvertraging weer als gevolg van de snelheid. 
Als g zeer weinig van 1 afwijkt mogen we voor de werkelijke snelheid schrijven 

                         m/sec. 

Ook in een zwaartekrachtveld hebben we ook te maken met een tijdvertraging. 
In het zwaartekrachtveld geldt op de afstand r een Lorentzfactor:  . 
De tijdvertraging in het zwaartekrachtveld heeft dezelfde invloed op de snelheid als de tijdvertraging door de snelheid.  
We kunnen daarom voor de werkelijke snelheid v* van een voorwerp dat zich in een zwaartekrachtveld beweegt, schrijven  m/s 
of – als zowel g als g_r zeer weinig van 1 verschillen – de benadering  

          m/sec . 

De werkelijke snelheid is dus groter dan de traditioneel geformuleerde snelheid en verschilt daarmee met:     
 m/sec.  

Merk op dat wanneer een object een snelheid heeft die een hoek j  ten opzichte van de zichtlijn heeft dat de werkelijke snelheid dan wordt:           m/sec.

We zullen in §4 zien dat de werkelijke snelheid vanwege zijn afhankelijkheid van de afstand r  (vanwege de term ) tot de zon ook een extra versnelling met zich meebrengt die een belangrijke rol speelt bij het oplossen van de raadselachtige versnelling van de Pioneers.

Terug
Naar Deel III