Bijlage bij §5    "Somtekening"

Naar Uitleg §6 Maxwell
Naar Uitleg §5 Optellen
Naar Uitleg Inhoud 
Naar Centrale Hal

We zoeken een methode om de "optelformule" meetkundig voor te stellen. Wat je daarvoor moet weten van de meetkunde is:

Figuur511 Stelling van Pythagoras: a² + b² = c².

Figuur 512 Twee gelijkvormige driehoeken ABC en QBP

Figuur 513 Rechthoekige driehoek in een cirkel met hoogtelijn h.

In het artikel van Einstein komt geen enkele tekening voor. Een modern mens wil zich toch iets kunnen voorstellen bij zo’n theorie en daarom zijn de Lorentzdiagrammen voor "Verleden, heden en toekomst" in §4plus zo geslaagd. Ze intrigeren en brengen een mens op nieuwe ideeën.

Onze uitdaging was de "optelformule" :                
in een tekening weer te geven.

Een trapezewerker heeft het gemakkelijker!

Laten we de formule eens analyseren! Om het ons te vergemakkelijken drukken we alle snelheden uit in de lichtsnelheid, dus v en w zijn getallen tussen –1 en +1 en met name c = 1 . Je krijgt dan:

U =          met   c = 1   geeft dit              

We kunnen deze formule op allerlei manieren herschrijven. Twee mooie vormen zijn:

U =               en                     U =

Hierin is wel heel duidelijk te zien dat de snelheden v en w verwisselbaar zijn, ze zitten symmetrisch in de formule, Einstein zei het al.

Verder zitten er hyperbolen in! De functie f(x) = 1/x is een hyperbool. Dat biedt de mogelijkheid iets te tekenen (fig.516). In de figuur tekenen we een hyperbool y = 1/x , de gebogen lijn.

Als we een v uitzetten langs de x–as kunnen we de waarde 1/v vinden door recht omhoog een lijn te trekken tot de hyperbool en daarvandaan een horizontale lijn tot de y–as . Hetzelfde gaat op voor de snelheid w , waarbij we voor de duidelijkheid met w langs de y–as starten. Met een passer kan je de afstanden die je vindt, optellen en zo kan je som U construeren. Het is een heel gedoe, maar het klopt. In de figuur is een voorbeeld gegeven voor de snelheden v = 0,6 en w = 0,8 .

Wanneer je de pijltjes volgt, kom je via de hyperbool van v op 1/v , daar tel je w bij op. Vanuit het gevonden punt (w + 1/v) ga je weer via de hyperbool (volg de pijltjes) naar 1/(w+1/v) en die waarde kan je aflezen: ongeveer 0,41 . Op identieke wijze bepaal je 1/(v+1/w) en je leest af: ongeveer 0,54. De som komt uit op ongeveer 0,95 (keer de lichtsnelheid), in overeenstemming met de formule, waarmee je berekent U = 0,946.

Dit maakt een mens al een beetje gelukkig. Het is een illustratie, fysisch tamelijk ondoorzichtig, maar beter iets dan niets.

We blijven nog even natafelen over de formule . Zo’n simpele formule moet toch simpel zijn weer te geven. Opeens ziet iemand dat alle termen die erin voorkomen ook in het product (1+v) . (1+w) = 1 + (v+w) + v.w zijn terug te vinden. Een lichte opwinding maakt zich van ons meester. Daar moet een diepere betekenis achter zitten! Daar kunnen we iets mee.

In fig. 517 laten we zien hoe je het product (1+v) . (1+w) in de vorm van rechthoeken kan weergeven. De snelheden v en w zijn willekeurig gekozen tussen 0 en +1. Het getal één wordt gevormd door de oppervlakte van een vierkant met zijden één. De snelheden v en w zetten we uit langs de X–as en langs de Y–as. De rechthoek met de zijden 1+ v en 1+w kunnen we verdelen in vier rechthoeken met de oppervlakten 1 en v.w (met grijs aangegeven) en de oppervlakten v en w (wit). Uit dit plaatje zie je nogmaals dat v en w precies dezelfde rol spelen in de formule. De verhouding van de witte oppervlakte tot de grijze oppervlakte geeft de getalswaarde van de relativistische som U van twee snelheden volgens de relativiteitstheorie, waarbij de snelheden zijn uitgedrukt in de lichtsnelheid.

Figuur 517 Presentatie van de optelformule via rechthoekige oppervlakten

Uit deze presentatie kan je ook goed zien dat de verhouding altijd één wordt indien v of w gelijk is aan 1 , dat wil zeggen: de lichtsnelheid heeft.

Maar wat gebeurt er als de ene snelheid de andere kant op is gericht als de andere? Dan moet je de kleinste van de snelheden negatief kiezen. Je kan dan afspreken dat de oppervlakte w en de oppervlakte v.w negatief genomen moeten worden, maar de figuur wordt dan ingewikkelder.

Terug

Oefening 25 Probeer op een vergelijkbare manier als in figuur 517 een diagram te construeren waarbij w negatief is ten opzichte van v

Nu we een beetje warm zijn gelopen, kunnen we een illustratie (figuur 518) laten zien die gebaseerd is op de driehoek met de bekende verhoudingen. Ten opzichte van de verticale lijn met van P tot Q een lengte één, die de lichtsnelheid voorstelt, zetten we twee willekeurige snelheden v en w (kleiner dan de lichtsnelheid) langs de horizontale as in tegengestelde richting uit. De afstand AB heeft dus de lengte v + w . Die hoeven we alleen maar door 1+v.w te delen om de somsnelheid U te krijgen.
Je weet nog dat U = .? Vandaar dus!

Maar hoe teken je dat met passer en liniaal!?

Met een passer construeren we het midden M van de lijn AB . Rond dit punt trekken we een cirkel door A en B. Deze snijdt de verticale lijn (het verlengde van PQ) in E.

Dan is ABE een rechthoekige driehoek. In deze rechthoekige driehoek geldt voor de hoogtelijn EQ (de loodlijn van E op AB) het volgende: (EQ)² = v . w .

We zoeken een lijn met de lengte 1+ v . w . De afstand PE is 1 + EQ = 1 + √ (v.w) . Dat lijkt er al verdraaid veel op, maar dat wortelteken moet er uit.

De lijn EQ heeft de lengte √(v.w) maar we zoeken een lijn met de lengte v . w.

Is het mogelijk om in de tekening een lijn te trekken waarvan de lengte het kwadraat is van de lengte van EQ , met andere woorden: kan je een lijn kwadrateren?

Ja, dat kan als volgt: trek een lijn naar het punt R op de horizontale as op een afstand één (even lang als PQ) van E. Vervolgens pas je met de passer de afstand EQ af vanuit R langs RE. Het punt dat op een afstand EQ van R ligt, noemen we S .

Vanuit S laten we een loodlijn neer naar het punt T op EQ. De driehoek STE is gelijkvormig met RQE en daarom is de verhouding QT/EQ dezelfde als RS/RE. Omdat RS = EQ volgt eruit QT/EQ = EQ/RE dus QT = (EQ)² / RE. Omdat  RE = 1 volgt er uit:  QT = (EQ)².
Zo vinden we dus het kwadraat van de lengte van EQ.

Dat is de afstand die we zoeken: QT = v . w. Hiermee wordt PT gelijk aan 1 + v . w . We hadden al het lijnstuk AB = v + w .

We komen nu tot de vraag hoe je twee lijnstukken op elkaar kunt delen om de waarde van U te construeren:       .

Dat kan als volgt (zie figuur 519):

We construeren een driehoek A*B*P waarin de afmetingen (1+v.w) maal zo klein zijn als in de driehoek ABP.

Trek eerst het lijntje TB. Daarna vanuit Q een lijn evenwijdig aan TB tot het snijpunt B* . Wegens de gelijkvormigheid van de driehoeken BTP en B*QP is B*P inderdaad (1+v.w) keer zo klein als BP omdat PT zo is geconstrueerd dat deze afstand (1+v.w) keer groter is dan PQ.

We vinden  A* door vanuit B* een lijn evenwijdig aan BA te trekken tot deze PA snijdt.
De afmetingen van A*B*P zijn dus (1+v.w) keer zo klein als van ABP , precies zoals gewenst.

Dan is ook A*B* = .        Met AB = v + w volgt A*B* = U = .

Dat is wat we zochten.

Uit de tekening is op te meten, door de lengte van AQ te delen door de lengte van PQ, dat v = 0,756. c en w = 0,306 . c . We meten via de lengte van A*B* uit de tekening voor U = 0,863. c .

Als we dit controleren met de formule, krijgen we:         Dit zegt genoeg!

 Intermezzo!

Deze volgende oplossing werd ons in augustus 2014 toegezonden door Jan van der Heijden uit Maarn.

Hij is uitgegaan van zijn stelling dat voor de relativistische som U geldt : 

U / (v+w) = γ_v x γ_w / γ_U . 

Hierin betekent γ_v 

Voor γ_w  en γ_U geldt iets vergelijkbaars   

De vette lijn BG is de voorstelling van de somformule.

De dikke lijnen QC en PE hebben de lengte c, evenals SD en RM.

Verder is CG = 0,8xc en  AC = EG = 0,6xc.

Voor de constructie met passer en liniaal geldt FG = ½xPQ en FS = QG + FG.

Vanuit S wordt dan het punt D gevonden omdat SD = c.

Vervolgens wordt de afstand DN uitgezet, want die is gelijk aan GS.

Vanuit N een loodlijn op GS levert R.

Langs de lijn RA wordt de afstand c afgepast om M te vinden.

Vervolgens een loodlijn op AG geeft B.

 

Deze stelling van Jan klopt. Reken maar na (is wel even puzzelen!).

QG = c/γv en PG = c/γw (driehoeken met de bekende verhoudingen).

Er geldt GS/GR = DS/DN. Daaruit volgt GS² = c x GR.

PG x QG = GS² = c x GR (zie de aantekeningen bij deze figuur en de uitleg bij figuur 518)

U / (v+w) =  γv x γw /γU , dus U x γU = c² x AG / (PGxQG) = c x AG/GR. Dus AG/GR = U/(c/γU).

Dit betekent dat driehoek AGR een rechthoekige driehoek is met de bekende verhouding tussen U en c.

U/c = AG/AR = BG/MR = BG/c. 

Hieruit volgt: U = BG.

Kortgeleden (oktober 2017) kregen we tekeningen toegezonden van Walter Laukens die deze al lang geleden had uitgewerkt. Bijzonder fraai is dit exemplaar: 

Al deze vrolijke tekeningen hebben geen fysische betekenis. Ze zijn er voor het plezier en ze ondersteunen het voorstellingsvermogen. Maak je geen zorgen als je desondanks nog steeds geen goed beeld van de ruimte en de tijd onder relativistische omstandigheden voor ogen hebt. Wanneer dat eenvoudig was, zouden geleerden vanuit hun voorstelling van de fysische wereld tot weidse, nieuwe theorieën kunnen komen, maar de praktijk wijst uit dat vernieuwingen meestal een gevolg zijn van het moeizaam verder uitpluizen van de formules en van het verwerken van de resultaten van laboratoriumproeven en andere waarnemingen.

De grootheid van Einstein was dat hij autonoom een nieuw inzicht in de natuurkunde ontwikkelde dat niet gebaseerd was op experimenten of een vergaand wiskundig onderzoek. Er waren slechts experimenten (Michelson) die de bestaande ideeën niet bevestigden! Vanwege zijn uitzonderlijke, natuurkundige inzicht kon Einstein een reeks voorspellingen doen over verschijnselen waarvan men soms het bestaan nog niet vermoedde!

Oefening 26 Probeer de somsnelheid van twee relativistische snelheden te construeren, waarbij de hoogste snelheid positief en de laagste snelheid negatief is.

Terug 
Naar   Uitleg §6 Maxwell