§ 5 Ingewikkeld optellen: het additietheorema

Naar Uitleg §6 Maxwell 
Naar Uitleg §5 Plus
Naar Uitleg §4 Effect op lengte en tijd  
Naar Uitleg Inhoud   
Naar Vertaling §5 Additie theorema  
Naar Centrale Hal

Wat moeten we doen als zich in het stelsel-in-beweging een bewegend voorwerp bevindt? Welke snelheid heeft dat voorwerp als je het waarneemt vanuit het stelsel-in-rust? Die vraag stelde Einstein zich. Het probleem er achter is dat als het stelsel–in–beweging bijna de lichtsnelheid heeft en het voorwerp heeft ook bijna de lichtsnelheid dan zou je denken dat het voorwerp ten opzichte van het stelsel–in–rust bijna tweemaal de lichtsnelheid heeft. Dat kan niet! De lichtsnelheid is immers de hoogste snelheid. Wij storten ons op dat probleem. We zullen ontdekken dat 2 plus 2 niet gelijk is aan 4.

We stellen ons voor dat in het stelsel-in-beweging een voorwerp met een constante snelheid in het ξ–η – vlak beweegt. Niet langs de ξ–as van het stelsel-in-beweging, maar in een willekeurige andere richting. We kiezen de assen van het stelsel-in-rust uiteraard zodanig dat het ξ–η–vlak en het x–y–vlak samenvallen, zodat het voorwerp tevens in het x–y– vlak beweegt. Het x–y–vlak en het ξ–η–vlak schuiven langs elkaar met een onderlinge snelheid v (zie figuur 501).

De snelheid van het voorwerp in het x–y–vlak zullen we vinden door consequent de transformatieformules toe te passen.

Figuur 501 Het voorwerp beweegt ten opzichte van het stelsel-in-beweging

Het voorwerp beweegt met een constante snelheid en richting w in het stelsel-in-beweging en de plaats die het voorwerp na τ seconde heeft bereikt (als we de oorsprong zo hebben gekozen dat op τ = 0 het voorwerp door de oorsprong bewoog), is te beschrijven met:

ξ = w_ξ . τ

η = w_η . τ

ζ = 0

Hierin is w_ξ de snelheidscomponent langs de ξ–as en w_η de snelheidscomponent langs de η–as. Het voorwerp beweegt in het ξ– η – vlak en blijft in dat vlak. Zijn ζ – coördinaat is nul en blijft nul. Na een tijd τ heeft het voorwerp een afstand in het vlak afgelegd, waarvan we de component in de ξ – richting en de component in de η – richting kunnen berekenen met de formules hierboven.

Hoe beweegt het voorwerp zich nu volgens de waarnemers in het stelsel-in-rust?

Het antwoord op deze vraag vinden we door de transformatieformules in te vullen.

Hier zijn ze nog een keer:

                      η = y                  ζ = z

Vul de uitdrukkingen voor ξ en τ in in de vergelijking ξ = w_ξ . τ voor de beweging in de ξ – richting. Je krijgt:

γ . (x – v . t) = w_ξ . γ . ( t – . x)

De factor γ kan worden weggestreept. Des te beter! Doe dat.
Herschik de vergelijking zo dat termen met een x er in links van het =teken komen te staan en die met een t er in rechts. Dit wordt het resultaat:

x + w_ξ . . x = w_ξ . t + v . t

Breng x en t buiten haakjes:                x . ( 1 + w_ξ . ) = (w_ξ + v) . t

Voor de beweging langs de x–as in het stelsel-in-rust heb je nu de uitkomst:

Merk op: de plaats x is gewoon evenredig met de tijd t. De ingewikkelde term vóór t is echter niet gewoon de som van de snelheden in de x–richting.

Op gelijke wijze pak je de formule aan voor de beweging in de η–richting:    η = w_η . τ . 
Eerst vul je de uitdrukkingen voor η en τ in:

y = w_η . γ . ( t – . x)

Een vreemde eend in de bijt is de x, want je was met de y–richting bezig. Die werk je er daarom snel uit door gebruik te maken van de formule voor x die je net hebt afgeleid. Dat is slim!

Wat je krijgt, maakt echter niet vrolijk: wat een wilde formule! Dat ga je fatsoeneren. Pak alleen de term tussen haken aan! In stapjes:

Stap 1: De t buiten de haken halen en van de tweede term de tellers respectievelijk de noemers met elkaar vermenigvuldigen:

Stap 2: Het getal één anders schrijven door ‘m dezelfde noemer te geven:

Stap 3: De termen met dezelfde noemer optellen:

Stap 4: De teller en de noemer door c² delen:

Stap 5: Gebruikmaken van γ² = 1/(1-v²/c²):

Hiermee wordt y:

          of:

met als eindresultaat: 
Ziet dit er nou zoveel beter uit? Nou, eh…..ja, iets.

Merk op: de plaats y in de y–richting is (net als x in de x–richting) eenvoudigweg evenredig met de tijd t , maar de snelheid is op wel zeer ingewikkelde wijze afhankelijk van v , w_η en w_ξ. Daar is verder weinig aan te doen.

Voor de derde coördinaat: ζ = 0 kan simpelweg worden geschreven z = 0 . Er is geen beweging in de ζ– of z–richting. Was het maar altijd zo eenvoudig.

Even op een rijtje gezet:

                                  z = 0 .

Je ziet hier de afgelegde afstanden in de x – , y – en z – richting. Bedenk dat de afstand gelijk is aan de snelheid maal de tijd. De snelheden in de x – richting en de y – richting in het stelsel-in-rust zijn dus die ingewikkelde termen waarmee de tijd t wordt vermenigvuldigd. Als w en v constante snelheden zijn, dan zijn die ingewikkelde termen ook constant en dan neem je toch in het stelsel-in-rust een éénparige rechtlijnige beweging waar.

De noemer speelt in beide uitdrukkingen een belangrijke rol. Als v en w_ξ dezelfde richting hebben, is de noemer groter dan één, bij een tegengestelde richting is hij kleiner dan één. De noemer heeft de neiging om de somsnelheid in te tomen als de snelheden gelijk gericht zijn en de somsnelheid wat extra’s te geven als de snelheden tegengesteld gericht zijn.

In de y–richting wordt de snelheid bovendien ingeperkt door de wortelterm .

Wat hier bijzonder aan is, is dat je de snelheden v en w niet vectoriëel kan optellen met behulp van het gebruikelijke parallellogram (figuur 502). 

Even opfrissen: dat werkte als volgt. Als een voorwerp, gezien vanuit een stelsel-in-rust, tegelijkertijd aan twee snelheden (twee vectoren), die gesymboliseerd worden door twee pijlen v en w, deelneemt, vindt je de uiteindelijke snelheid U als de pijl die de diagonaal van het parallellogram is. Dat is vectoriëel optellen.

Denk aan iemand die van de linker– naar de rechterkant loopt in een rijdende trein, of een schip dat vaart op een stromende rivier, enzovoort. Wanneer je de snelheden netjes op schaal tekent, kan je gewoon de lengte van U opmeten en de zodoende grootte van U bepalen.

Figuur 502 Parallellogram voor het optellen van snelheden

Maar je kan er ook aan gaan rekenen. Dan is het handig om de snelheid w in componenten te ontbinden, waarvan de ene component in de richting van v wordt genomen en de andere er loodrecht op. Dat doen we in figuur 503. We verkrijgen de componenten door vanuit de punt van de pijl w twee loodlijnen neer te laten op de horizontale as respectievelijk de verticale as. De snelheidscomponent w_ξ heeft dezelfde richting als v en vergroot daarmee de snelheid in de richting van v (en vermindert die snelheid als w_ξ naar links gericht zou staan). De verticale component w_η draagt bij, noch vermindert de snelheid in de richting van v , maar voegt een snelheid w_η toe in een richting loodrecht op de snelheid v.

Met w_ξ , w_η en w kan een driehoek worden gevormd met w als schuine zijde en w_ξ en w_η als rechthoekszijden. Volgens de stelling van Pythagoras geldt voor de zijden van de driehoek:

w² = w_ξ² + w_η² .

Figuur 503 Het ontbinden in componenten

Wanneer we nu naar de vectorsom U kijken, dan heeft deze twee componenten:

U_x = w_ξ + v , de horizontale component van U, en

U_y = w_η , de verticale component van U .

Ook hier geldt Pythagoras: U² = U_x² + U_y² = (w_ξ + v)² + w_η².

De snelheid U van een vliegtuig dat een snelheid v door de lucht heeft, waarbij de lucht zelf met een snelheid w in één of andere richting stroomt, ten opzichte van de grondstations wordt dus verkregen met de gebruikelijke manier van vectoriëel optellen:

         "gewone vectorsom"

Terug naar de formules die Einstein had gevonden voor de verplaatsing in het stelsel-in-rust in de x–richting en de y–richting:

         en            

Hieruit halen we de snelheidscomponenten U_x en U_y door te delen door t:

         en            

In de originele tekst maakt Einstein gebruik van de afgeleiden en om de snelheidscomponenten te vinden. Wij hebben hier de plaats (x of y) gewoon gedeeld door de tijd t om de snelheidscomponenten Ux en Uy te vinden. Dat mag omdat de termen vóór t niet afhangen van de tijd. Ze zijn constant.

De somsnelheid U is dus te vinden uit de componenten via de stelling van Pythagoras:

U² = U_x² + U_y².

en wordt:

Dat ziet er knap ingewikkeld uit en het wijkt sterk af van de "gewone vectorsom" die we eerder hadden gevonden.

Terug

De uitdrukking wordt misschien overzichtelijker als we de hoek α er in betrekken, de richting van de beweging van het voorwerp in het stelsel-in-beweging w ten opzichte van de ξ – as.

Einstein heeft het voor ons uitgezocht. Het levert een wat andere schrijfwijze op waaraan hij laat zien dat v en w symmetrisch in de formule voor de vectorsom U zijn opgenomen. Daarmee is gezegd dat beide snelheden dezelfde rol in de formule spelen; voor het resultaat maakt het niet uit of de snelheid v gelijk is aan 100.000 km/s en de snelheid w gelijk aan 140 km/s of dat v gelijk is aan 140 km/s en w gelijk aan 100.000 km/s. Meer doen we er niet mee. Goed voor het archief. Einstein kiest vervolgens voor een beweging met α = 0, waarmee dit uitstapje overbodig lijkt.

We zullen zijn berekening volgen, maar, voor de luiaards onder ons: ga verder bij >>>►►►►

Nu komen we ineens in de goniometrie terecht. Wat zijn ook alweer de sinus, de cosinus en de tangens? Even kort herhalen:

Figuur 504 Sinus, cosinus en tangens

In een rechthoekige driehoek (zie figuur 504) kan je bij de hoek α de sinus van α aanwijzen als de verhouding van de zijden: a/c. Voor de cosinus van α vind je b/c en voor de tangens van α neem je a/b. Kort genoteerd:

sin α = a/c en dus a = c . sin α

cos α = b/c en dus b = c . cos α

tg α = a/b en dus a = b . tg α

Omdat in een rechthoekige driehoek de stelling van Pythagoras geldt: a² + b² = c² , volgt daaruit de belangrijke goniometrische formule sin²α + cos²α = 1.

In figuur 505 is de snelheid w van het voorwerp in het stelsel-in-beweging aangegeven. De snelheid w maakt een hoek α met de ξ–as. Met de definities voor de sinus en de cosinus kunnen we nu voor de componenten van w schrijven:

w_ξ = w . cos α en w_η = w . sin α

Figuur 505 De componenten van w

De hoek α is te vinden met de sinus, de cosinus of de tangens, dat maakt niet uit. Omdat we ons richten op de componenten van de snelheid w gebruiken we de tangens: de hoek α is te vinden met: tg α = .

Dit wordt geschreven als de hoek (arc) die bij die waarde van de tangens hoort:

α = arctg .

Vervang in de uitdrukking de w_ξ en de w_η door w . cosα en door w . sinα . Je krijgt de uitdrukking:

Werk dit uit tot:

Maak nu gebruik van de bekende goniometrische formule sin²α + cos²α = 1 , dus 

w² .sin²α + w² .cos²α = w² ,

zodat je deze twee termen in de formule bijeen kan nemen.

Je krijgt de uitdrukking die bovenaan blz. 906 van het origineel is te vinden:

      "goniometrische uitdrukking"

Deze schrijfwijze laat zien dat als je v verwisselt met w de uitdrukking hetzelfde blijft. De snelheden v en w zitten symmetrisch in de formule. Het maakt dus niet uit of het stelsel-in-beweging een bepaalde hoge snelheid heeft en het voorwerp een minder hoge of andersom.

Tegenwoordig wordt U de "relativistische som" genoemd.

Bereken de componenten in het stelsel-in-beweging w_ξ en w_η .

Bereken de componenten in het stelsel-in-rust U_x en U_y .

Bereken de "relativistische som" U

Als we het ons eenvoudig maken, nemen we α = 0. Dan heeft sinα de waarde 0 en cosα de waarde 1. Het voorwerp beweegt in het stelsel-in-beweging in de positieve ξ–richting. De formule voor het optellen van twee parallelle snelheden, het "additietheorema", wordt dan:

   U =          "optelformule"

Hiermee wil Einstein vervolgens laten zien dat de som van twee snelheden altijd kleiner blijft dan de lichtsnelheid. Dat is geen overbodig bewijs.  Over de snelheid van voorwerpen zijn geen aannames gedaan. 

We passen de transformatieformules toe op de snelheid van gewone voorwerpen. Zou een voorwerp sneller kunnen gaan dan het licht dat het zelf uitzendt, zoals een vliegtuig sneller kan gaan dan het geluid dat het voortbrengt?

Dat zou wat zijn als de snelheid groter dan de lichtsnelheid zou kunnen worden!

We kijken over de schouder van Einstein mee: Neem voor v een snelheid c – κ en voor w een snelheid c – λ , waarbij κ (de Griekse letter kappa) en λ (de Griekse letter lambda) een positieve waarde hebben en kleiner zijn dan de lichtsnelheid.

Ingevuld in de "optelformule":

Er moet worden aangetoond dat de relativistische som van twee snelheden, die kleiner zijn dan de lichtsnelheid, ook kleiner is dan de lichtsnelheid. Dus U moet kleiner zijn dan c .

Dat is het geval als        < 1

Dat is inderdaad zo, want: (2c– κ– λ) is kleiner dan (2c– κ– λ + κ . λ /c) omdat κ . λ /c een positief getal is.

Dan is het quotiënt kleiner dan 1 , dus U < c.

De sommatie van twee gelijkgerichte snelheden onder de lichtsnelheid levert weer een snelheid onder de lichtsnelheid op met dezelfde richting. Vanuit de wiskunde bekeken, vormen de "parallelle transformaties" een "groep". Einstein zegt het. Er wordt mee bedoeld dat alle gelijkgerichte snelheden die kleiner zijn dan de lichtsnelheid, opgeteld in willekeurige combinaties, altijd weer een gelijkgerichte snelheid opleveren die beneden de lichtsnelheid is. Dat soort wiskunde gaan we maar niet op in.

Je zou je kunnen afvragen: "En als de snelheden een hoek met elkaar maken, wat dan?"

Het is te verwachten dat twee snelheden in dezelfde richting elkaar maximaal versterken, dus dat snelheden onder een hoek altijd een minder grote snelheid opleveren, maar eigenlijk moet het worden aangetoond. Dat zou te ver voeren, maar we maken het aannemelijk door het aan te tonen voor een snelheid w die loodrecht staat op de snelheid v. 
Dus met α = 90°, waarbij sinα = 1 en cos α = 0.

Dan wordt de "goniometrische uitdrukking":

We maken hiervan:

Als v = c en/of w = c wordt de uitdrukking onder het wortelteken precies gelijk aan één. Dan is U = c. Dus als één van de twee snelheden de lichtsnelheid is, of beide, dan is de somsnelheid ook de lichtsnelheid en niet meer dan dat.

Als (v/c)² en (w/c)² kleiner zijn dan één is de uitdrukking onder het wortelteken ook kleiner dan één. Dat is niet zo één, twee, drie uit de formule voor U te zien. Om dit aan te tonen, gebruiken we dezelfde methode die Einstein net hiervoor ook gebruikte. We schrijven voor

(v/c)² = 1 – κ en voor (w/c)² = 1 – λ waarbij κ en λ een waarde hebben tussen 0 en 1.

De uitdrukking onder het wortelteken wordt dan:

1 – κ + 1 – λ – (1 – κ).(1 – λ) = 1 – κ + 1 – λ – 1 + κ + λ – κ.λ = 1 – κ.λ.

Omdat het product van κ en λ kleiner is dan 1, is 1 – κ.λ ook kleiner dan één.

Dan geldt dus U < c .

Einstein toont vervolgens aan dat de "optelformule" in overeenstemming is met de 2^de aanname dat de snelheid van het licht niet afhangt van de snelheid w van het voorwerp dat het licht uitzendt. De snelheid U, van het door het met de snelheid w bewegende voorwerp uitgezonden licht wordt namelijk, als je voor v de snelheid c neemt:

Dus U , de "som" van de lichtsnelheid en de snelheid van het bewegende voorwerp, is weer gewoon de lichtsnelheid c !

In de laatste alinea op blz. 906 vermeldt Einstein dat de formule voor het samenstellen van twee parallelle snelheden (die dezelfde of tegengestelde richting hebben) gemakkelijk gevonden wordt als je de transformatieformules toepast op een bewegend voorwerp met snelheid w langs de ξ–as in een stelsel-in-beweging k (snelheid v ). Dat is gemakkelijk omdat je niets te maken hebt met componenten in de η–richting.

Yes, laten we dat eens doen!

De benodigde transformatieformules zijn:          en    

We kiezen het stelsel-in-beweging zo dat op τ = 0 het voorwerp door de oorsprong gaat.

Ter herinnering: De transformatieformules zijn gebaseerd op de afspraak dat t = τ = 0 als de oorsprongen van het stelsel-in-beweging en het stelsel-in-rust samenvallen. Doe je het anders, dan worden ze nodeloos ingewikkeld met extra constanten.

Voor de afstand die het voorwerp heeft afgelegd geldt: ξ = w . τ

We vullen de transformatieformules in:

γ . (x – v . t ) = w . γ . ( t –. x )

Gelukkig, de γ kan worden weggestreept. Die zijn we kwijt en we houden over:

x – v . t = w . ( t – . x )

We brengen alles waar een x in zit naar links en alles waar een t in zit naar rechts:

x + w . x = w . t + v . t

We schikken het wat netter :

x . ( 1 + w . ) = ( w + v ) . t

en schrijven het zo dat de snelheid er in te zien is :

x = . t

Dat is hem al! De term voor de tijd t is U , de "optelformule". Die komt nu aanmerkelijk sneller te voorschijn dan via de eerste afleiding. Er staat tegenover dat we nu geen enkel inzicht krijgen in de afhankelijkheid van de richting, de hoek α .

Het zou aardig zijn om de "somformule" aan de hand van een plaatje met driehoeken aanschouwelijk te maken. Dat moet toch heel gemakkelijk zijn. Een fluitje van een cent als je daarbij de driehoeken gebruikt met de bekende verhoudingen. Met passer en liniaal willen we in een figuur ( en de figuur mag best wat ingewikkelder zijn) een lijntje kunnen trekken dat de somsnelheid U voorstelt.

Dat nu blijkt enorm tegen te vallen, daarom staat het resultaat van deze door niemand gevraagde, dus mogelijk overbodige, "Spielerei" in   §5plusSomtekening.

Wie echter zelf naar de oplossing wil zoeken, verdient ontzag (oefening 24 ).

Terug 
Naar Uitleg §6 Maxwell 
Naar Uitleg 5plus