§10 Toepassing: massa hangt af van de snelheid.

Naar Uitleg E=mc2   
Naar Uitleg §9 Elektrische stromen
Naar Uitleg Inhoud 
Naar Vertaling §10 Massa en versnelling
Naar Centrale Hal

In dit voorbeeld bespreekt Einstein de beweging van een geladen deeltje met een lading ε en een massa m in een elektrisch veld E. 
Hij zit hier al heel dicht tegen de beroemde formule E = m.c² aan.

Hij gaat uit van een "langzaam versneld elektron". Deze voorzorg moet hij nemen om de elektromagnetische straling, die een snel versneld geladen deeltje uitzendt, te mogen verwaarlozen. Uit de theorie van Lorentz (Versuch §30–35), gebaseerd op de theorie van Maxwell (A treatise, ) blijkt dat de uitgezonden straling evenredig is met de versnelling van een geladen deeltje.

De term "elektron" was toen enige jaren in gebruik voor de ladingdragers van de elektriciteit, maar men wist nog niet dat een elektron een vaste, minimale hoeveelheid lading bij zich draagt. Evenmin wist men met zekerheid of het elektron een hoeveelheid "gewone" zware massa bezat (zogenaamde pondorabele massa) of dat het geheel uit elektromagnetisme was opgebouwd en hoe groot de "elektromagnetische  massa"  was. Wetenschappers uit die tijd probeerden met grote inzet en verfijnde theorieën te achterhalen voor welk deel de massa van geladen deeltjes uit zware massa en voor welk deel het uit elektromagnetische massa bestond. Max Abraham had kort daarvoor "aangetoond" dat de elektronen die bij radioactiviteit vrijkomen en de elektronen die optreden bij kathodestralen geen zware massa bezaten, doch uitsluitend elektromagnetische massa met zich meevoerden. Men had verder berekend dat de elektromagnetische massa door zijn "wisselwerking" met de ether groter zou worden als de snelheid toenam, voor gewone massa zou dat niet gelden. Experimenteel onderzoek werd vooral gedaan door W.Kaufmann, die zijn resultaten liever niet met de theorie van Einstein in overeenstemming zag (zie W.Kaufmann: Konstitution de Elektrons; Analen der Physik IV p. 487– 640).
Het was een verwarrende tijd.

De kracht op een elektron en dus ook op het "langzaam versnelde elektron" is ε.E . De drie richtingscomponenten van de kracht zijn ε.X ; ε.Y en ε.Z. Vanuit rust is de snelheid in het begin gering (waarbij de beweging kan worden benaderd met de wet van Newton: massa x versnelling = kracht) maar op zeker moment is de snelheid v zodanig groot dat de benadering niet meer opgaat. Immers, als de kracht hetzelfde blijft, moet de versnelling afnemen omdat de snelheid nooit groter kan worden dan de lichtsnelheid.

We moeten dan overschakelen op de formules zoals ze gelden voor een stelsel-in-beweging met de snelheid v. Dan veranderen de coördinaten x, y, z en t in ξ, η, ζ en τ (zie fig. 1001) en de componenten van het elektrische veld X, Y en Z in X', Y' en Z'.

Figuur 1001 Een versneld elektron in een elektrisch veld

Omdat de snelheid toeneemt, gelden de formules voor ξ, η, ζ, τ en X', Y' en Z' slechts gedurende korte tijd, namelijk zolang de snelheid nog weinig veranderd is ten opzichte van de waarde v.

Daarna moet je eigenlijk de formules aanpassen met een nieuwe waarde voor de snelheid van het stelsel-in-beweging, maar zover hoeven we niet te gaan omdat we de snelheid niet willen uitrekenen, maar een formule willen opstellen. Als volgt:

De lading ε blijft constant omdat de lading een invariante grootheid is (zie §9). Over de massa m laten we ons voorlopig niet uit. De bewegingsvergelijkingen (massa x versnelling = kracht) voor de x–, y– en z–richting in het stelsel-in-beweging zijn:

 
 

Even ter herinnering: de eerste afgeleide van de plaats naar de tijd is de snelheid en de tweede afgeleide, die we hier zien, is de versnelling

We passen het beproefde recept toe: transformeren! De transformatieformules zijn:

We bekijken de bewegingsvergelijking voor de x–richting.

Terwijl het stelsel-in-beweging k met de snelheid v voortvliegt, krijgt het elektron in dat stelsel een snelheid die ongelijk is aan 0 . De snelheid van het deeltje zal vanuit het stelsel-in-rust gezien dan ook niet meer gelijk aan v zijn, dus – v ≠ 0.

Met dit in gedachten zullen we uitzoeken hoe Einstein van de formule op de formule komt.
Eerst transformeren we de uitdrukking .   We maken zoveel mogelijk gebruik van de afgeleiden uit de tabel hierboven:

Dit was een eerste stap, die kwam mooi uit want de differentiatie naar x viel weg.
We moeten dit nog een keer herhalen:

Het is lastig, even geduld, we zijn er bijna!

Bedenk verder dat X' = X en het zal duidelijk zijn hoe Einstein 
van          op            komt.

Het is belangrijk te zien dat de massa, noch de elektrische lading een rol spelen in deze transformatie.

Misschien welt onstuitbaar de vraag in je op: "Hoe kan dat nou, de massa m is toch geen invariante grootheid zoals ε? De massa is toch afhankelijk van de snelheid, dus moet je m toch ook transformeren!?" Dan wil ik je  wijzen op het patroon dat zichtbaar wordt in de manier waarop de transformatieformules voor verschillende grootheden worden gevonden. We zoeken een vergelijking waarin de transformatieformules voor alle grootheden op één na bekend zijn. We transformeren de vergelijking en uit het resultaat halen we de onbekende transformatieformule voor de grootheid waar we naar opzoek waren. Het lijkt op het oplossen van een vergelijking met één onbekende!

De transformaties voor de y– en de z–richting zijn wat eenvoudiger. Probeer ze maar.
Zo verkrijgen we de volgende versnellingen van het "elektron" voor de drie richtingen:

Einstein bespreekt vervolgens de massa van het elektron op de manier, zoals hij met enige terughoudendheid stelt, die in die tijd gebruikelijk was. Men onderscheidde de "longitudinale" en de "transversale" massa. De eerste is de trage massa die zich voordoet en bepalend is voor de versnelling, als een deeltje een kracht ondervindt in de x–richting en de transversale massa is de trage massa die zich voordoet als een deeltje een kracht ondervindt in een richting die loodrecht staat op de x–richting.  

Hierboven staan de versnellingen. De bijbehorende krachten zijn:

voor de x–richting :             ε . X
voor de y–richting :             ε . γ .  
voor de z–richting :             ε . γ ..

Einstein: "Deze krachten zouden met een veerbalans in het stelsel-in-beweging kunnen worden gemeten". 
Dat is nou zo schattig van Einstein, zit je midden in de relativiteitstheorie en dan komt hij met een veerbalans! Zullen we de Maagdenburger halve bollen er maar buiten laten!
Het zet ons echter wel met beide benen op de grond: de kracht in het stelsel-in-beweging kan gewoon worden gemeten. Als daar 10 newton wordt gemeten en men seint dat over, dan verandert dat onderweg niet in 12 newton, het blijft gewoon 10 newton!

Uit een vergelijking van de drie krachten en de drie versnellingen zoals ze net zijn opgesomd,  volgt voor de massa:

in de x–richting (longitudinale massa):                 

in de y– en de z–richting (transversale massa):    

Het wordt steeds bonter, niet alleen dat de massa geen invariante grootheid is, de massa is in de ene richting ook nog eens een andere dan in de andere richting. Je verwacht eigenlijk dat de massa alleen in de x–richting beïnvloed wordt, want dat hebben we ook gezien bij de lengte. De transformatieformules voor de y– en de z–richting zijn immers : y = η en z = ζ dus verwacht je ongewijzigde bewegingsvergelijkingen in die richtingen. Maar dan heb je buiten de "tijd" gerekend: in het stelsel-in-beweging gaat alles trager, ook de versnelling in "transversale" richting, dus moet de grotere, trage massa daar de"oorzaak" van zijn.

Omdat γ groter dan 1 is, neemt de massa toe met de snelheid, in de x-richting met de derde macht van γ  en in de richting loodrecht daarop met het kwadraat van γ . 
In §5 hebben we gezien dat de snelheid moeizamer toeneemt als je twee snelheden bij elkaar optelt waarvan er één al dicht bij de lichtsnelheid is. Dat klopt goed met dit verhaal over de toenemende massa, het effect van de kracht op de snelheid wordt steeds minder naarmate de snelheid groter wordt. Als v de lichtsnelheid nadert, gaat de massa naar oneindig! 
(Omdat de term onder het wortelteken 0 wordt en delen door 0 , nou dan weet je het wel…….). 
Dan wordt het langzamerhand onmogelijk nog iets aan de snelheid toe te voegen.

Het is een vervelende gedachte dat de massa van een voorwerp afhankelijk is van de richting waarin het wordt versneld. Einstein vond het kennelijk ook een weinig fraaie theorie met zijn transversale massa en longitudinale massa, zoals blijkt uit zijn tussenzin "…,waarbij we de gebruikelijke beschouwingswijze volgen… ". Het was echter de gangbare manier om er tegenaan te kijken. Hij maande al tot voorzichtigheid omdat het resultaat afhankelijk is van de definitie van de kracht en de versnelling, maar hij had kennelijk geen zin of tijd dat allemaal nog eerst uit te zoeken..

Max Planck ¹) begreep de hint en ging direct op zoek naar de juiste definities voor de versnelling en de kracht om tot een eenduidige massa te komen. De oplossing van het probleem lag niet voor de hand. Pas driekwart jaar na Einsteins artikel publiceert Planck zijn aanvulling. Hij laat via enige gruwelijk ingewikkelde berekeningen zien dat als je de snelheid van het elektron v niet langs de x–as, maar in een willekeurige richting, met componenten (v_x, v_y, v_z), laat verlopen, de relatie tussen massa, versnelling en kracht (F_x, F_y, F_z) voor het bewegende elektron de volgende vormen aanneemt, de bewegingsvergelijkingen:

Zo geschreven behoudt de formule zijn vorm in het stelsel-in-beweging en voldoet aan het relativiteitsprincipe.
Het product m .v (massa maal snelheid) wordt de impuls van een bewegend voorwerp genoemd. Volgens Max Planck is de kracht niet gelijk aan de massa maal de verandering van de snelheid, maar de kracht is de verandering van het product van massa en snelheid. De massa zelf is eveneens afhankelijk van de snelheid, de "relativistische massa" of "impulsmassa": , waardoor je een andere uitkomst krijgt. 
De massa is op deze manier geschreven, niet afhankelijk van de richting.
De formules van Einstein klopten voor een snelheid langs de x–as. Plancks formules gelden ook voor de transversale richtingen en je ziet: het voorwerp heeft maar één massa.
Alleen al met het narekenen van het verhaal van Planck is een normaal mens een week bezig, want het is een gedoe met coördinatentransformaties en draaiingen van assenstelsels waar je tureluurs van wordt. Hoe verzon hij het. Daarom: "Driewerf hoezee voor Planck!"

¹) Max Planck: Das Prinzip der Relativiteit und die Grundgleichungen der Mechanik; VhDPG band 8 1906 p.136-141. Duits natuurkundige 1858-1947 Geboren in Kiel. Van 1889 tot 1928 was hij hoogleraar theoretische natuurkunde in Berlijn. Samen met Einstein grondlegger van de kwantumtheorie. Een moedig man in zijn strijd om de Duitse wetenschap te behoeden voor een teloorgang gedurende het tijdperk van het nationaal socialisme.

Terug 

Verder merkt Einstein op dat de formules voor de massa, afgeleid voor een geladen deeltje, ook gelden voor zware massa’s zonder elektrische lading, omdat er altijd een geladen deeltje van kan worden gemaakt door er enige lading aan toe te voegen. De versnelling die een massa krijgt als reactie op een kracht wordt bepaald door zijn trage massa. Daar gelden die formules voor. Of die trage massa nu is opgebouwd uit zware massa en "elektromagnetische massa" of uitsluitend uit "elektromagnetische massa", dat maakt voor de afgeleide formules niet uit.

De volgende, in die tijd gebruikelijke stap is het bepalen van de kinetische energie van het elektron als het een snelheid v* heeft bereikt. Daar werden toentertijd lange en ingewikkelde artikelen ²) over geschreven. De behandeling hiervan door Einstein is kort en helder.

²) Max Abraham: "Prinzipien der Dynamik des Elektrons"; Annalen der Physik , 10, 1903, p. 107 . In dit artikel doet Abraham een bijna wanhopige poging de energie van het elektron te bepalen. Hoe ontnuchterend moet het artikel van Einstein voor hem zijn geweest.

Ga uit van een elektron met een lading ε en een veldsterkte X die langs de x–as is gericht. De kracht op het elektron is dan ε.X. De arbeid die het veld op het elektron verricht als dit zich verplaatst over een afstand dx is gelijk aan ε.E.dx.  Je vindt de arbeid W die over een bepaalde afstand door het veld op het elektron wordt verricht eenvoudig met de integraal:

De arbeid die het veld op het elektron heeft verricht, is gelijk aan de kinetische energie die het elektron heeft verkregen.

Omdat we de arbeid willen uitdrukken in de snelheid van v = 0 tot de eindsnelheid v* zullen we de integraal moeten herschrijven met de snelheid v als variabele.

Zoals we net hebben gezien is de bewegingsvergelijking van het elektron :

Hierin is de versnelling gelijk aan de verandering van de snelheid .
We vullen onder de integraal de uitdrukking m . γ³ . in voor ε . E en vervolgens vervangen we door :

We lopen hier tegen het probleem op dat we van variabele moeten wisselen. We hebben de variabele x en we willen de variabele v. We hebben al een stapje in die richting gezet: van hebben we gemaakt. Zonder al te diep op de wiskundige randvoorwaarden in te gaan, kunnen we stellen dat een afstandje dx wordt afgelegd bij een snelheid v in een tijd dt zodat dx = v.dt. Als we dit gebruiken, krijgen we:

. dx = . v. dt = v . dv.

De twee dt’s hebben gewoon tegen elkaar weggestreept! Nu krijgen we een integraal die we aankunnen:

Het zal niet voor iedereen duidelijk zijn hoe we aan de primitieve functie zijn gekomen. Daar valt weinig aan te doen. Het vinden van een primitieve functie is een kwestie van proberen. Hoe vaker je het doet, hoe sneller je de oplossing vindt. Het enige wat de beginner altijd moet doen, is aantonen dat de veronderstelde primitieve functie dat ook daadwerkelijk is. Dat doe je door hem te differentiëren en dan moet je de functie krijgen waar je de integraal over hebt genomen. Dat laten we zien:

We integreerden over de snelheid v dus we moeten de primitieve functie ook differentiëren naar v. We maken gebruik van de kettingregel (zie §3 blz 20) en het is handig om    

     te schrijven als

Dan krijgen we het volgende:

De laatste uitkomst is de uitdrukking die onder het integraalteken stond, dus de veronderstelde primitieve functie is de juiste functie.

Omdat de eerder gevonden uitkomst voor elke waarde v* geldt, mogen we v* vervangen door de willekeurige snelheid v. De uitkomst van de integraal wordt dus:

Dat is wel wat anders dan de vertrouwde E_kinetisch = ½ m v² . Het heeft er echter wel veel mee te maken. Let maar op:

Om te beginnen is        

Als we nu terugkijken naar Uitleg §4 blz.10 dan zien we daar de volgende benadering staan

Dus            

Voor snelheden die klein zijn ten opzichte van de lichtsnelheid is g bij benadering gelijk aan 1, zodat  W = ½ m v². De energie E_kinetisch = ½ m v² is dus een benadering voor de werkelijke energie.

Het is overigens ongelofelijk hoe dicht Einstein hier met de formule

al bij de beroemde formule E = m. c² zit. Die formule komt in Uitleg E=mc2 aan de orde. Maar Einstein zag het hier nog niet!

Onnodig op te merken dat als de snelheid v de lichtsnelheid c nadert, de kinetische energie naar een oneindig grote waarde groeit. Nogmaals benadrukt Einstein dat snelheden boven de lichtsnelheid niet kunnen bestaan.

Niet ten onrechte, in de artikelen uit zijn tijd werd nog zonder blikken of blozen gesproken over het bereiken van de lichtsnelheid. Zie bijvoorbeeld Max Abraham "Zur Theorie der Strahlung und des Strahlungsdruckes"  Annalen der Physik, 14, 1904: p.287.

Het resultaat dat berekend is met een elektrische kracht moet ook voor een gewone massa gelden, stelt Einstein nogmaals, want je kan een gewone massa van een elektrische lading voorzien en weer hetzelfde verhaal houden. Het soort massa, trage massa of "elektromagnetische massa" speelt geen rol in de beschouwing.

Tot slot suggereert Einstein een drietal experimenten om de juistheid van de bewegingsvergelijkingen van blz. 5 van deze paragraaf na te gaan.

Ten eerste:
Als de elektrische veldsterkte Y gelijk is aan . N , waarbij N de magnetische veldsterkte in de z–richting is, dan is gelijk aan nul. Als er verder geen andere componenten van het elektrisch veld of het magnetisch veld aanwezig zijn, zal, indien Y = . N het langs de x–as bewegende elektron een rechte lijn beschrijven, terwijl voor zijn snelheid dan geldt: . Op die manier is de snelheid eenvoudig te bepalen uit de verhouding van de elektrische en de magnetische veldsterkte. De snelheid kan op onafhankelijke wijze met behulp van snel oscillerende elektrische en magnetische velden worden gemeten, stelt Einstein, zodat daarmee de bewegingsvergelijking kan worden getoetst ³)

Ten tweede:

Als je een elektron een elektrisch potentiaalverschil P (dat is een spanningsverschil in bijvoorbeeld: volt) laat doorlopen, moet de snelheid voldoen aan de vergelijking:

  .

Deze vergelijking hangt direct samen met de arbeid W die het veld op het elektron heeft verricht om hem die snelheid te geven (zie blz. 7). Het verlies aan potentiële energie Δ ε . P van het elektron in het elektrisch veld moet gelijk zijn aan de arbeid die het veld op het elektron heeft verricht, en dit is weer gelijk aan de kinetische energie die het elektron heeft verkregen. Op deze wijze kan aan een elektron een gewenste snelheid worden gegeven, die weer op onafhankelijke wijze kan worden gecontroleerd.

Ten derde:

Als loodrecht op de snelheid in de x–richting van het elektron een magnetisch veld N in de z–richting wordt aangebracht, als enige afbuigende kracht, dan ondervindt het elektron een afbuiging in de y–richting (zie bewegingsvergelijkingen op blz.3).

De versnelling wordt dan:          

Het bijzondere daarvan is dat het elektron in het XY–vlak blijft bewegen, zodat de kracht die van N uitgaat loodrecht op de snelheid blijft werken. (de Lorentzkracht) en even groot blijft. De grootte van de snelheid verandert daardoor niet, maar wel de richting. Het elektron gaat een cirkel beschrijven. "Iedereen" weet dat de middelpuntzoekende kracht die een deeltje met massa m en snelheid v in een cirkelbaan met een straal R houdt, gelijk is aan: .

De bijbehorende versnelling is dan: . Stel beide uitdrukkingen voor de versnelling aan elkaar gelijk:

Hieruit volgt             

Hier geeft Einstein de volgende "mooie" vorm aan:      

In deze vorm kan je de snelheidsverhouding mooi gebruiken die uit zijn eerste experiment volgt.
Met deze drie experimenten gaf Einstein nog wat huiswerk mee aan zijn tijdgenoten.

Na nog enige woorden van dank aan zijn goede vriend Michele Besso besluit Einstein het artikel.

                                                        Einde