Bijlage bij §4:             " Verleden, Heden en Toekomst"

Naar Uitleg §5 Optellen
Naar Uitleg §4 Effect op lengte en tijd
Naar Uitleg Inhoud   
Naar Centrale Hal

Wie zich al eerder verdiept heeft in de Relativiteitstheorie of in de Kosmologie, zal indrukwekkende tekeningen zijn tegenkomen die de samenhang tussen tijd en ruimte verbeelden. Uitermate fraai ogende, ruimtelijke figuren die het verleden via het heden met de toekomst verbinden (zie figuur 411). Zie bijvoorbeeld de boeken van: Penrose p.189–213; Hawking p.40 – 44 ; Bondi p.143; Davies p.67 – 87 . Voor nadere informatie over de boeken: zie de rubriek "boeken".

Hoe moet een dergelijke figuur worden gelezen?

Het gaat om een hele slimme uitbreiding van onze veel gebruikte driehoeken met de bekende verhoudingen. Om dat duidelijk te maken, moeten we bij het begin beginnen.

We hebben gezien aan het eind van § 2plus bij de afleiding van de formule "te vlug geschoten" dat je leuke resultaten krijgt als je de balk in het stelsel–in–rust scheef op de balk in het stelsel–in–beweging tekent (zie figuur 228).

In figuur 412 zijn de twee stelsels getekend met de assen scheef op elkaar. Een stelsel-in-rust met een x-as en een t-as en een stelsel-in-beweging met een ξ-as en τ-as. De x–as en de ξ– as staan ongeveer verticaal.

De assen staan op een zodanige manier scheef op elkaar dat als we een loodlijn van de ene as op de andere overeenkomstige as neerlaten er altijd weer zo’n driehoek met de bekende verhoudingen c : √(c² – v²) : v wordt gevormd, of anders geschreven door de drie termen ieder door c te delen:    

     1    :      :   .

De beide stelsels zijn getekend voor het moment t = τ = 0. De oorsprong O van beide stelsels valt samen. Dat is een momentopname. Enige tijd later, op het tijdstip τ = τ*, is het nulpunt van de ξ –as langs de τ–as verschoven tot het punt τ = τ*. De gehele ξ –as (stippellijn) is verschoven. Op het tijdstip τ* heeft het nulpunt van de ξ–as de waarde (τ*, 0). Je ziet dat de ξ–as scheef op de t–as staat zodat ieder punt van de ξ–as met een andere tijd t overeenkomt. Maar, een toenemende ξ correspondeert met een toenemende tijd t. Dat is niet in overeenstemming met onze eerdere bevindingen. We komen direct met een oplossing.

Als je vanuit het punt met de coördinaten (τ*, 0) een loodlijn neerlaat op de x-as vind je de x–coördinaat x* . Dus de oorsprong van het stelsel-in-beweging heeft zich langs de x–as van het stelsel-in-rust verplaatst van x = 0 tot x = x* .

Daar klopt alweer iets niet. De oorsprong van het stelsel-in-beweging heeft zich in de negatieve richting verplaatst terwijl deze een positieve snelheid had. Daar zijn we vanuit gegaan.
Als je verder zou uitzoeken hoe het zit met de coördinaten van een willekeurig punt P blijken die niet te voldoen aan de transformatieformules.

"Leiden in last!", zou je denken. Maar er is een verbluffend handige manier om de problemen te verhelpen: Verwissel de x-as en de ξ- as ! Dat hebben we gedaan in figuur 413.

We spreken af dat de coördinaten van een punt worden gevonden door vanuit dat punt de loodlijnen neer te laten op de assen, welke assen dat ook zijn, daarin is niets veranderd.

We bekijken een punt op de t –as: t*(zie figuur 413). In dat punt is de ξ –waarde: 0. Dus zit de ξ – as op die plek (zie stippellijn). Als we nu een loodlijn neerlaten op de x – as krijgen we het punt x* . Die heeft nu een positieve waarde. Het nulpunt van het stelsel-in-beweging heeft zich dus in t* seconde verplaatst naar x*. Als we vervolgens vanuit t* de loodlijn neerlaten op de τ–as krijgen we het punt τ*. De verplaatsing in het stelsel-in-beweging duurde τ* seconde. Zoals je ziet is τ* kleiner dan t* en omdat de driehoek Ot*τ* de bekende verhoudingen heeft, is τ* = t*/γ.

Dat zit dus wel goed.

Menigeen zal met de vraag zitten of dat zo maar kan: een assenstelsel waarvan de assen niet loodrecht op elkaar staan. In figuur 414 lichten we dat toe. In die figuur staat de x-as schuin op de t-as en de ξ – as schuin op τ – as . Waarom dit geen probleem is, wordt duidelijk als je ziet dat de plaats van een willekeurig punt P in het stelsel ondubbelzinnig wordt vastgelegd door vanuit P de loodlijnen neer te laten op de assen van het stelsel. Er is geen tweede punt dat dezelfde coördinaten x_P en t_P in het stelsel-in-rust kan krijgen als het punt P. Ook de coördinaten ξ_P en τ_P in het stelsel-in-beweging zijn in dat stelsel de enige coördinaten die P kan krijgen. Dus ook met scheve assen wordt ieder punt op een unieke manier vastgelegd.

In de volgende figuur (fig. 415) hebben we nogmaals van het punt P de coördinaten x_P en t_P in het stelsel-in-rust en de coördinaten ξ_P en τ_P in het stelsel-in-beweging aangegeven.

We kunnen nu via eenvoudige meetkunde laten zien dat voor ξ_P en τ_P de transformatieformules gelden: 
ξ_P = γ ( x – v . t)

en τ_P = γ ( t – . x)

Daartoe trekken we twee hulplijnen, namelijk van x_P naar Q en van t_P naar R. Het parallellogram ORPQ dat nu is ontstaan, bevat verschillende driehoeken met de bekende verhoudingen. We hebben nog een hulplijn nodig: de loodlijn vanuit t_P op de x–as. Dat snijpunt noemen we S . Hiermee gaan we aan de slag. Eerst zullen we de afstand ξ_P uitdrukken in x_P en t_P.

Het punt S is de plaats op de x- as waar het nulpunt van de ξ-as zich bevindt na t_P seconde. Dit nulpunt beweegt met de snelheid v langs de x–as, dus geldt OS = v .t_P .

De afstand van S tot x_P is dus x_P – v . t_P . Wanneer je nu de afstand PT van P tot de lijn die van S naar t_P loopt, bekijkt, dan geldt ook PT = x_P – v . t_P.

We bekijken nu de driehoek PTt_P. Daarin is de afstand van P tot t_P een factor γ keer groter (wegens die bekende verhoudingen) dan de afstand van P tot T , dus Pt_P = γ. (x_P – v . t_P).

Ter herinnering: γ =

De afstand van O tot ξ_P is gelijk aan de afstand van P tot t_P , dus de waarde van de coördinaat ξ_P is γ ( x_P – v . t_P) .
De transformatie naar ξ is geslaagd: ξ_P = γ ( x_P – v . t_P)

Voor de transformatie naar τ moeten we eerst inzien dat de lijnstukken van Q naar x_P en van R naar τ_P gelijk aan elkaar zijn. In de driehoek Ox_PQ is de lengte van O naar Q gelijk aan γ . x_P en de lengte van Q naar x_P is . γ. x_P. Vervolgens maken we ervan gebruik dat als je een afstand in zo’n figuur als tijd wil uitdrukken, de afstand nog eens door c moest worden gedeeld (zie
§2plus). Zo komen we op een tijdsbestek tussen de punten R en τ_P op de τ-as gelijk aan . γ. x_P. Verder is de tijd van O tot R gelijk aan γ . t_P .

De waarde van de coördinaat τ_P wordt dan gelijk aan γ . t_P – . γ. x_P , dus

τ_P = γ . (t_P – . x_P ).

Ook de transformatie naar τ klopt als een bus!

We gaan nu nog een stapje verder. Voor de afstand zullen we als maat de lichtseconde gebruiken, dat is de afstand die het licht in 1 seconde aflegt: c meter of 3 x 10⁸ m. Als maat voor de tijd wordt gewoon de seconde genomen. In figuur 416 is dit aangegeven. De maatstrepen bevinden zich even ver van de oorsprong, of je nu in het stelsel-in-rust kijkt of in het stelsel-in-beweging.

Een dergelijk ruimte–tijd diagram wordt een Lorentzdiagram genoemd.

De stippellijn waar het diagram symmetrisch omheen ligt, geeft de verplaatsing aan van een lichtsignaal. Dit diagram laat zien dat na een zelfde tijd in beide stelsels het licht eenzelfde afstand heeft afgelegd. Kijk maar, bijvoorbeeld bij het tijdstip 2 seconde op de t–as vind je via de stippellijn het punt P en daar vandaan op de x–as de afstand 6 x 10⁸ m . Neem je het tijdstip 2 seconde op de τ–as van het stelsel-in-beweging dan vind je via de stippellijn het punt P* en daar vandaan op de ξ–as eveneens de afstand 6 x 10⁸ m.

Een punt E (zie fig. 417) in het vlak van een Lorentzdiagram noemen we een puntgebeurtenis E (de eerste letter van het Engelse "Event" ). Het is iets dat zich op dát moment dáár bevindt, los van het stelsel van waaruit het wordt bekeken. Een assenstelsel is immers alleen maar iets abstracts dat we ons in de ruimte denken om de gebeurtenis te kunnen omschrijven: "welk moment" en "waar" vindt de puntgebeurtenis plaats. Met een ander assenstelsel vind je een andere tijd en een andere plaats. Soms gebruikt men in plaats van "assenstelsel" de term "referentiestelsel", waarmee goed wordt uitgedrukt dat de coördinaten die je vindt afhankelijk zijn van het stelsel.   Het woord "gebeurtenis" overigens suggereert meer dan er in het algemeen aan de hand is.

Van een willekeurige puntgebeurtenis E kunnen de coördinaten x_E en t_E in het stelsel-in-rust en de coördinaten ξ_E en τ_E in het stelsel-in-beweging worden afgelezen langs de assen door vanuit E loodlijnen op die assen neer te laten.

In de volgende figuur (Fig. 418) geven we een stilstaand voorwerp aan bij P op de ξ–as van het stelsel-in-beweging met de coördinaat ξ_P . Hoewel het stilstaat op de ξ-as gaat de tijd onverdroten voort. Daarom levert een stilstaand voorwerp geen punt in het diagram, maar een lijn. De lijn is loodrecht op de ξ–as getekend van P naar Q zodat zijn ξ–coördinaat in de loop der tijd constant blijft.

De tijd neemt voortdurend toe, zowel in het stelsel-in-rust als in het stelsel-in-beweging. Voor het voorwerp geldt als het zich in het punt P bevindt in het stelsel-in-rust t = 0 sec en als het zich in het punt Q bevindt t = t_Q sec. In het stelsel-in-beweging vind je langs de τ-as geheel andere tijden, namelijk τ_P en τ_Q.

Het tijdverschil voor de punten P en Q in het stelsel-in-rust is t_Q – 0 = t_Q. In het stelsel-in-beweging is het tijdverschil τ_Q – τ_P.

Dat de punten, die op de rand van het grijze gebied liggen, de gebeurtenissen voorstellen die in de tijd samenvallen met de eerste gebeurtenis had je natuurlijk zelf al bedacht. Daarvoor geldt dat de punten op (het verlengde van) de lijn E₁t₁ gelijktijdig zijn in het x–t–stelsel en dat de punten op de lijn E₁τ₁ gelijktijdig zijn in het ξ–τ–stelsel.

Wanneer E₂  zich buiten het grijze gebied bevindt, is de volgorde in de tijd voor de twee gebeurtenissen in beide stelsels hetzelfde, maar het tijdverschil tussen beide gebeurtenissen wordt in de twee stelsels verschillend waargenomen..

Figuur 421     De gebeurtenis E₂ vindt in het ene stelsel eerder plaats dan E₁ en in het andere stelsel juist later

We moeten goed in gedachten houden dat in dit diagram gelijktijdig betekent gelijktijdig volgens het recept van Einstein: een lichtstraal die even veel tijd nodig heeft voor de heenweg als voor de terugweg. Het gaat er dus niet om welke gebeurtenis we het eerst waarnemen, want dat hangt af van de afstand tot de gebeurtenis, van de tijd die het licht nodig heeft ons te bereiken.

We kunnen het verwisselen van de volgorde in de tijd misschien beter begrijpen als we een puntgebeurtenis E₂ bekijken in figuur 423 die zich tussen de t–as en de τ–as bevindt. We nemen de puntgebeurtenis E₁ in de oorsprong. Het punt E₂ bevindt zich in een vergelijkbare situatie als een punt tussen de x–as en de ξ–as zoals in figuur 421. Je ziet nu dat in het stelsel-in-rust het punt met x₂ een plaats vóór E₁ inneemt langs de positieve x–as, terwijl dat punt in het stelsel-in-beweging zich met ξ₂ achter E₁ bevindt. Als beide punten stilstaan in het stelsel-in-rust en je loopt op je gemak in positieve richting langs de positieve x–as, dan passeer je eerst E₁ en daarna neem je aan je rechterhand E₂ waar. Tijdens het waarnemen even stilstaan! Doe je hetzelfde in het stelsel-in-beweging dan zie je aan je rechterhand eerst E₂ en daarna pas E₁. Het lijkt op een perspectivische vertekening waardoor, bijvoorbeeld een cowboy in de verte, alleen al door hem afwisselend met het linker of het rechter oog te bekijken, links of rechts van een nabij raamspijltje kan komen te staan. Je kan dus zeggen dat je een punt in het stelsel-in-beweging vanuit een andere hoek waarneemt dan in het stelsel-in-rust. Datzelfde gebeurt ook met de tijd: twee punten worden vanuit een ander tijdsperspectief bekeken.

Figuur 423 Een punt E₂ kan zich ook links of rechts van E₁ bevinden

Als laatste zullen we een Lorentzdiagram laten zien waarin "verleden, heden en toekomst" worden geïllustreerd. We zetten het diagram op zoals figuur 416 en we voegen de negatieve assen toe. De gestippelde symmetrieas tussen de positieve x–as en de positieve t–as, de 1^ste symmetrieas, geeft de plaats in het Lorentzdiagram weer van een lichtsignaal dat vanuit de oorsprong in de positieve richting langs de x–as is verzonden. Omdat de lijn ook symmetrisch tussen de positieve ξ–as en de positieve τ–as ligt, mag je ook zeggen dat het om een lichtsignaal gaat dat langs de positieve ξ–as is verzonden. De lijn is in wezen de wereldlijn van het lichtsignaal.

Vervolgens tekenen we een stippellijn, de 2^de symmetrieas, die de wereldlijn voorstelt van een lichtsignaal dat vanuit de oorsprong in negatieve richting langs de x-as en de ξ–as beweegt. Deze deelt de hoek tussen de negatieve ξ–as en de positieve τ–as in tweeën en staat loodrecht op de eerste symmetrieas (zie figuur 424). Zo krijgen we een compleet, maar behoorlijk onoverzichtelijk diagram.

Figuur 424 Compleet Lorentzdiagram

We laten nu de tijd–assen weg. Dat ruimt op. Het gebied waar "eerder" of "later" een relatief begrip is, geven we donkergrijs aan. De gebieden er omheen tot aan de twee symmetrie–assen maken we lichtgrijs en we krijgen figuur 425. Geef toe: het oogt fraai!

Het heeft ook betekenis. In het donkergrijze gebied geldt dat een puntgebeurtenis E₂ zich eerder of later had voorgedaan dan de puntgebeurtenis E₁ afhankelijk van het stelsel van waaruit het wordt waargenomen. Verder hadden we vastgesteld dat er geen "oorzaak en gevolg" verband kan bestaan tussen E₂ en E₁ want anders kan je oorzaak en gevolg omkeren.

Het lichtgrijze gebied stelt bij toenemende snelheid van het stelsel–in–beweging de maximale uitbreiding voor van het donkergrijze gebied. Als het stelsel-in-beweging de lichtsnelheid heeft ten opzichte van het stelsel-in-rust dan valt de x–as samen met de 1^ste symmetrie–as en de ξ–as valt samen met de 2^de symmetrieas.

Een puntgebeurtenis, die niet in één van de grijze gebieden ligt, kan nooit gelijktijdig zijn met de gebeurtenis E₁. De puntgebeurtenis E₃ in het blanco gebied rechts van E₁ vindt altijd later plaats dan de gebeurtenis E₁, vanuit welk snel bewegende stelsel je het ook bekijkt en een puntgebeurtenis E₄ vindt altijd eerder plaats dan E₁ van waaruit je het ook bekijkt. De eerste gebeurtenis E₁ wordt het "nu" of het "heden" genoemd. De gebeurtenis E₃ moet dan een gebeurtenis in de "toekomst" zijn en de gebeurtenis E₄ moet een gebeurtenis uit het "verleden" zijn.

De wereldlijn van een stoffelijk punt dat door "heden" gaat, kan niet in het grijze of donkere gebied komen. Daartoe zou zijn snelheid groter dan de lichtsnelheid moeten zijn. De wereldlijn van een signaal dat met de lichtsnelheid beweegt, valt precies samen met de symmetrieassen.

Als we in het punt E₁ een lichtflits veroorzaken, zal het licht zich bolvormig uitbreiden. In de tweedimensionale figuur 425 zal het licht in de vorm van twee punten langs de symmetrie–assen in de richting van de toekomst bewegen, naar rechts in de tekening.

We krijgen een suggestief beeld als we er een driedimensionaal uiterlijk aan geven. We nemen daartoe figuur 425 en laten alleen het stelsel–in–rust toe. Het stelsel–in–beweging laten we weg, maar we geven wel de grenzen aan van het grijze gebied waar de begrippen eerder en later relatief zijn. Dat wordt figuur 426.

Figuur 426 De wereld vanuit het stelsel–in–rust

Vervolgens maken we er een omwentelingslichaam van door de figuur om zijn tijd–as rond te draaien. Dan krijgen we figuur 427. De x–as ligt nu in een vlak loodrecht op de tijd–as.  Op deze manier beelden we de tijd uit plus twee ruimtedimensies.

De heldere kegelvormige oppervlakken worden zeer toepasselijk "lichtkegels" genoemd. Wanneer in het punt "heden" een lichtflits wordt geproduceerd dan zal de bolvormige lichtgolf in dit Lorentzdiagram als een steeds groter wordende cirkel langs de rand van de lichtkegel bewegen.

De ruimte binnen de kegels is de ruimte waar de wereldlijn van een stoffelijk punt dat het punt "heden" passeert binnen moet blijven.

Figuur 427 Een 3D–suggestie

De ruimte buiten de lichtkegels is nog steeds het gebied waar de begrippen "eerder" of "later" relatief zijn, afhankelijk van het stelsel van waaruit je twee gebeurtenissen bekijkt.

Om een nog suggestiever beeld te verkrijgen, zet je de diabolo rechtop (figuur 428). Je krijgt de vorm van een zandloper. Voeg nog wat schaduweffecten toe en je hebt een intrigerend plaatje voor de ruimte en de tijd.

In die vorm wordt de relatie tussen "Ruimte en Tijd" in de populaire literatuur weergegeven. De tijd wijst omhoog, naar de "absolute toekomst", het verleden beneden heet nu het "absolute verleden". Het horizontale vlak vormt de ruimte, waarvan we slechts twee dimensies zichtbaar kunnen maken. De lichtkegels zijn de uitdijende cirkels die gevormd worden op het snijvlak van een bolvormige lichtuitbreiding en een plat vlak.

De wereldlijn van een stoffelijk punt door het "Heden" moet binnen de grenzen van de "zandloper" worden getekend. Informatie die het punt "Heden"bereikt, moet afkomstig zijn uit de lichtkegel "Absolute verleden" en informatie die uit het punt "Heden" afkomstig is , blijft binnen de lichtkegel "Absolute toekomst".

Figuur 428 Ruimte en tijd in lichtkegels gevat

De gebieden terzijde vormen de gebieden die zover verwijderd zijn van de plaats waar het "Heden" zich bevindt dat er geen informatie-uitwisseling plaats kan hebben gevonden in de tijd die er bij hoort. Bijvoorbeeld: Precies opzij van het punt "Heden" geldt dezelfde tijd als in het punt "Heden". Een gebeurtenis in het punt "Heden" kan natuurlijk niet op hetzelfde moment ook in zo’n punt bekend zijn, want dan zou de informatie zich met een oneindige snelheid hebben verplaatst.

Juist voor dit gebied geldt dat de begrippen "eerder en later" relatief zijn.  Hier kan dat want deze punten en het punt "heden" zijn ontkoppeld,  het principe van  "oorzaak en gevolg" geldt hier niet.

Terug 
Naar Uitleg §5 Optellen