Figuur 1 Een ster wordt waargenomen onder de hoek φ

 We stellen ons de sterrenkijker nu voor als een koker. Met lenzen en spiegels willen we niets te maken hebben. De bundel licht beweegt van voorpunt tot achterpunt door de koker.

We zullen laten zien dat een bewegende koker, met een waarnemer er achter, onder een andere hoek φ' naar de ster moet kijken en daarna laten we zien dat de frequentie van het licht f ' een andere waarde aanneemt.

Het is niet verwonderlijk dat de koker onder een andere hoek op de ster moet worden gericht, immers, vanwege de snelheid van de bewegende koker komt het licht de koker tegemoet. De koker moet daardoor lager worden gericht, zoals een fietser ook naar voren zal buigen als hij  door de loodrecht naar beneden vallende regen fietst om zijn gezicht droog te houden.
We zijn geïnteresseerd in de hoek die de kijker moet innemen om het licht langs de as van de koker te laten gaan. We nemen daarom een bewegende koker waarvan de voorpunt precies even hoog boven de grond steekt als de voorpunt van de stilstaande koker.  Hun verticale afmetingen zijn gelijk. De bewegende koker is dan iets langer dan de stilstaande koker.

De afstand tot de ster is langs de bewegingsrichting gekrompen. De ster staat daardoor iets hoger aan de hemel.  De koker moet dan iets meer omhoog worden gericht.  Het effect van de snelheid v op de richting blijkt echter veel groter te zijn dan het effect van de gekrompen afstand waardoor de koker toch een minder grote hoek t.o.v. de horizon inneemt. De hoekverandering door de snelheid gaat zoals uit de formule blijkt met v/c terwijl de hoekverandering door de afstandskrimp met (v/c)² gaat. De sterrenkijker verplaatst zich maximaal 2 mm als de kijker 20 meter lang is, omdat de aarde een snelheid heeft van ongeveer 30 km/sec, terwijl de krimp als gevolg van de contractie in de orde van 1/100 micrometer ligt. De verandering van de hoek is dus heel klein en de lengtekrimp van de bewegende lichtgrijze koker in de volgende figuren is verwaarloosbaar klein. 

In figuur 2 zien we de koker (in rust) terwijl een tweede koker met een snelheid +v passeert. We nemen waar dat hij onder een hoek φ* op de ster is gericht. In de tijd (1 sec in het stelsel in rust) dat het licht zich van D naar E beweegt door de rustende koker, verplaatst de bewegende koker zich over een afstand v. De lichtstraal beweegt door de rustende koker, maar als we ons de kokers doorzichtig denken, beweegt hetzelfde plukje licht ook via de bewegende koker van D naar E. Probeer je dat zo voor te stellen: terwijl de bewegende koker langs de stilstaande schuift, beweegt het snijpunt van de twee kokers met de lichtsnelheid langs de stilstaande koker. Het plukje licht bevindt zich voortdurend in dat snijpunt. Het licht legt hierbij in de stilstaande koker een afstand af van c meter en tegelijkertijd in de bewegende koker een iets grotere afstand dan c meter. Dit komt omdat 1 sec in het stilstaande stelsel overeenkomt met méér dan 1 sec in het bewegende stelsel. In het bewegende stelsel is een seconde minder waard.

De hoek φ* verschilt een heel klein beetje van de hoek φ' die de waarnemer achter de bewegende koker zelf constateert omdat hij zijn koker in de bewegingsrichting niet gekrompen ziet, hij beweegt namelijk niet t.o.v de koker. Omdat wij ons op de bewegende aarde bevinden, willen wij de hoek φ' berekenen (zie figuur 3).

Voor de waarnemer bij de rustende koker is de hoek φ* die de bewegende koker inneemt eenvoudig te bepalen uit de cosinus van die hoek: aanliggende rechthoekszijde gedeeld door schuine zijde.

waarbij voor de schuine zijde Pythagoras is gebruikt.

Figuur 2 Stilstaande koker ED wordt gepasseerd door de koker E*D die zich na 1 sec op de plaats ED* bevindt

We bekijken dezelfde situatie vanuit het standpunt van de waarnemer die zich bij de bewegende koker bevindt. Naar zijn oordeel houdt hij de koker onder een hoek φ'  op de ster gericht. Zijn koker staat voor hem stil en hij wordt met een snelheid – v gepasseerd door de eerst genoemde koker van figuur 1. Dit is te zien in figuur 3. De hoek die de passerende koker volgens hem inneemt is φ**.

We beredeneren de hoek φ' . Vanuit het eerste, rustende stelsel zagen we de bewegende koker passeren onder een hoek φ*. De hoogte van de gevormde driehoek was c . sin φ en de aanliggende rechthoekszijde was c . cos φ + v. De hoogte in de y–richting verandert niet als je van stelsel verwisselt, maar de lengte van de aanliggende rechthoekszijde verandert wél. De afstand c . cos φ + v is de horizontale component van de passerende koker D'E' zoals gezien vanuit het rustende stelsel. De waarnemer bij de bewegende koker zal een γ keer grotere lengte opmeten voor deze rechthoekszijde. Volgens hem is die lengte γ . (c . cos φ + v).

Ook de lengte van de koker zelf krijgt daarmee een andere waarde, namelijk:

Hiermee kunnen we cos φ' berekenen:

We halen γ onder het wortelteken vandaan:

We delen vervolgens de teller en noemer door γ en schrijven het kwadraat 1/γ²  onder het wortelteken uit.

Bedenk                dus:

We pakken nu c². cos² φ + c². sin² φ samen tot c² en voor v² . sin² φ schrijven we 

   v² . sin² φ =  v² .  (1–cos² φ ):

    Nu valt v² weg tegen – v²:

Onder het wortelteken blijkt nu een kwadraat te staan: (c + v. cos φ)² .

Daarmee krijgen we als resultaat:

                        of

Naar deze formule waren we op zoek! Hij wijkt een beetje af van de formule in het artikel van Einstein omdat we de snelheid van de waarnemer positief hebben genomen als hij de bron nadert, terwijl in de afleiding van Einstein de snelheid positief is als de bron zich van de waarnemer verwijdert.

(Eigenlijk bevalt deze formule mij beter dan die van Einstein, voor een snelheid + v naar de lichtbron toe staat in de hier afgeleide formule ook een +teken)

Overigens, als we eenmaal weten dat de verandering van de hoek waaronder de ster wordt bekeken vooral afhangt van de snelheid waarmee de kijker beweegt ten opzichte van de ster en dat de kokerkrimp kan worden verwaarloosd, dan kunnen we uit de formule:

zeer snel de uiteindelijke formule afleiden, want:

De omweg via figuur 2 is eigenlijk niet nodig, maar dat is achterafgepraat.
Wie zich afvraagt waar nu het relativistische aspect in dit verhaal is gebleven: dat is de aanname dat de lichtsnelheid gelijk is aan c, er wordt niet gecorrigeerd voor de tijdvertraging of de Lorentzcontractie omdat deze effecten hier te verwaarlozen zijn.

De Relativistische DOPPLERVERSCHUIVING!

Nu de kwestie van de frequentie in het stelsel–in–beweging. 
We bekijken het vanuit het stelsel–in–rust. De stilstaande koker strekt zich uit van D tot E. Op het tijdstip t = 0 valt het voorste punt van de passerende koker samen met het punt D. Op het tijdstip t = 1 valt het achterste punt van de passerende koker samen met het punt E.

De frequentie in het stelsel–in–rust is f. Dus in die éne seconde zijn er f golfjes met de golflengte λ de rustende kijker binnengetreden en ze komen precies op dat moment bij E er weer uit. In diezelfde tijd is het aantal golfjes dat de bewegende koker binnenging groter, want de koker heeft zich in de richting van de bron verplaatst. Uit figuur 4 is te zien dat het aantal golfjes dat zich in het gebied v . cos φ voor D bevindt ook de koker is ingegaan. Dat aantal is (v. cos φ)/ λ .

Dus vanuit het stelsel–in–rust zie je in 1 sec een aantal van f + (v. cos φ)/ λ golfjes de koker in verdwijnen.

De tijd in het stelsel–in–beweging tikt echter trager. Wat in het stelsel–in–rust 1 sec duurt, duurt in het stelsel–in–beweging 1/γ sec. Daarom wordt de frequentie in het stelsel–in–beweging

Bedenk dat λ = c/f en                 Daarmee wordt:

Ook in deze formule is - v  t.o.v. de formule van  Einstein door +v vervangen.

We vinden hier de formules van Einstein voor de Dopplerverschuiving  en de aberratie van het sterlicht gevonden  zonder van de Maxwellvergelijkingen gebruik te maken!    

Einstein zei direct in het begin van zijn artikel dat iedere theorie over de elektrodynamica uit moet gaan van de bewegingsleer van onvervormbare voorwerpen omdat daarmee uitspraken over de relatie tussen de voorwerpen, klokken en elektromagnetische processen kunnen worden gedaan. Dat hebben we hier aardig in de praktijk gebracht met onze starre kokers.

Het vinden van het juiste pad voor deze afleiding was een hels karwei. Het goed uit elkaar houden van de twee stelsels en het bedenken in welk stelsel je zelf zit, blijft uitermate verwarrend. Uw gids is dan ook zeer tevreden u deze praktische en uiteindelijk heldere, voorbeelden voor te kunnen leggen.

Figuur 4 De bewegende koker slokt nog wat extra golfjes op

Terug