§ 3 Wiskundig avontuur

Naar Uitleg §4 Natuurkunde
Naar  Uitleg §2 Balken  
Naar Uitleg Inhoud
Naar Vertaling §3 Theorie
Naar Centrale Hal

In dit deel van het avontuur voert Einstein ons langs een paar vervaarlijke wiskundige obstakels. Schijnbaar spelenderwijs leidt hij wiskundige formules af waarmee hij tijd en plaats in een bewegend stelsel berekent, maar wij dreigen ons lelijk te stoten en we verliezen het houvast. Helmen op! De balken komen in beweging. Er worden afstanden afgelegd. De tijd lijkt ongrijpbaar. We vinden echter een hangbrug voor de omrekening van het ene stelsel naar het andere. Iedere plaats en ieder tijdstip in het stelsel–in–rust wordt verbonden met een plaats en een tijd in het bewegende stelsel. Het geheim zit in de transformatieformules.

Denk niet dat we de tocht in korte broek en op sandalen aankunnen. Een goede voorbereiding wordt gevraagd. Een degelijke uitrusting is vereist.

Waar gaat het om? Wat is zo’n omrekening?

Een voorbeeld: je weet dat als we in een rijdende trein een euro recht omhooggooien we de munt weer op dezelfde plaats kunnen opvangen. Je hoeft je hand nauwelijks te bewegen. De munt gaat recht omhoog en valt weer recht naar beneden op je hand en als je goed oplet, zie je dat de munt onderweg naar boven steeds langzamer beweegt en naar beneden steeds sneller valt: daar zit de zwaartekracht achter. Ondertussen reizen we mee in het stelsel dat door de rijdende trein wordt gevormd, maar dat schijnt geen invloed te hebben op de beweging van de munt.

Als we buiten op een grasveld op dezelfde manier een euro recht omhooggooien, beweegt hij ook vertraagd omhoog om daarna versneld naar beneden te vallen. De beweging is precies hetzelfde.

Maar als we nu vanaf het gras naar een passerende trein kijken, waarin we iemand zien die een euro opgooit, dan is de trein al een heel eind verderop tegen de tijd dat de munt wordt opgevangen. Het muntstuk is dus geenszins recht omhoog gegaan en vervolgens weer recht naar beneden gevallen, beslist niet! Iedere boerenpummel (zeker als hij in militaire dienst is geweest) weet dat de munt een kogelbaan heeft beschreven en met een kogelbaan wordt een parabolische baan bedoeld.

De passagier in de trein en wij op het gras bekijken hetzelfde verschijnsel. Toch doorloopt het muntje twee zeer verschillende banen: de passagier ziet een verticale rechte lijn en wij zien een kogelbaan . Omdat het uiteindelijk om dezelfde beweging van hetzelfde muntje gaat, moet de beschrijving van de passagier "vertaald" kunnen worden in de beschrijving die wij er aan geven en omgekeerd. Dat wordt de omrekening genoemd, de transformatie.

Hoe rekenen we de kogelbaan om naar dat rechte op en neer gaande lijntje dat de passagier ziet. Dat is de kunst. Het uitgangspunt is dat zowel in de trein als buiten in het gras dezelfde wet geldt, namelijk dat als je een voorwerp recht omhoog gooit dit voorwerp volgens de wet van Newton weer recht naar beneden valt omdat er maar één kracht op wordt uitgeoefend, de zwaartekracht. De natuurkunde is in de trein dezelfde als op het gras. Het voorwerp moet rechtlijnig bewegen met een versnelling in neerwaartse richting. In welk stelsel we ons bevinden, doet er niet toe: altijd een recht lijntje. Maar als je het rechte lijntje in de trein bekijkt vanaf het gras, is het een kogelbaan, dus vanuit wélk stelsel je het verschijnsel bekijkt, doet wél terzake!

De omrekening werd al door Galileo Galileï bedacht en toegepast. De oude wijsgeer had ook als eerste doorzien dat een voorwerp waarop geen enkele kracht wordt uitgeoefend, zich eenparig rechtlijnig voortbeweegt. Wij gaan zijn omrekeningsmethode gebruiken in combinatie met de bewegingsvergelijkingen die we te danken hebben aan Isaäc Newton .

We bekijken eerst welke formules er voor de beweging van een muntje gelden als we het stilstaand in het gras recht omhooggooien. Daarna onderzoeken we welke formules we op kunnen stellen die de beweging, zoals wij die waarnemen, beschrijven van het muntje dat door de passagier wordt opgeworpen. Tenslotte laten we zien dat we met de juiste omrekeningsformules de passagier aan een stel formules kunnen helpen die voor hem de beweging van het muntje op de juiste wijze beschrijven.

Hoe beschrijven we de beweging van het muntje dat door een stilstaand persoon langs de spoorbaan recht omhoog wordt gegooid? Daarvoor gebruiken we een assenstelsel: de x-as horizontaal langs de spoorbaan gericht, de y-as verticaal loodrecht op de x-as en de z-as naar ons gericht, zie fig. 3.02. Zo’n loodrecht stelsel wordt een cartesisch assenstelsel genoemd. In de vorige paragraaf (§2plus) hebben we er al ruimschoots gebruik van gemaakt.

Figuur 3.02 Een cartesisch assenstelsel

De plaats van de munt in verticale richting wordt gegeven door

                    y(t) = y(0) + v_y .t – ½ .g .t²

waarbij y(0) de hoogte is waarop de munt zich bevindt op het tijdstip t = 0 (vul voor t maar eens 0 in, dan zie je dat de twee laatste termen 0 worden, dus wegvallen),

v_y is de verticale snelheid omhoog die het voorwerp op het tijdstip t = 0 meekrijgt

en g is de versnelling van de zwaartekracht, waarvoor de afgeronde waarde g = 9,8 m/s² geldt.

Voor de laatste term ½ .g . t² staat een minteken omdat de versnelling naar beneden is gericht. De snelheid en de versnelling worden positief gerekend als ze omhoog gericht zijn.

(We laten verder alle krachten, die voor het proefje niet van belang zijn, buiten beschouwing).

Als we de munt, stilstaand langs de spoorbaan, opgooien op een hoogte van 1 meter, dat wil zeggen: de munt verlaat onze hand op het tijdstip t = 0 op een hoogte van 1 meter, dan is y(0) = 1 m. We geven het muntje een snelheid van v_y = + 3 m/s mee. Dat lijkt veel, want u denkt dat de proef dan niet in de trein herhaald kan worden omdat de munt tegen het plafond aanvliegt. We zullen zien dat dat meevalt, de zwaartekracht haalt in de kortste keren de snelheid uit de munt en trekt hem weer naar beneden.

De coördinaten van het bewegende muntje kunnen we, als we de proef uitvoeren terwijl we zelf met onze voeten in het nulpunt van het stelsel gaan staan, op de volgende manier als functie van de tijd geven:

x(t) = 0 (in de x–richting verandert de euro niet van plaats, dat wil zeggen de munt verplaatst zich niet met de trein mee of er tegenin)

y(t) = 1 + 3.t – ½ . 9,8 .t² meter (de bewegingsvergelijking in de y-richting)

z(t) = 0 (voor de z–richting geldt hetzelfde als voor de x-richting)

Samengevat in de "formules bij stilstand":

x(t) = 0

y(t) = 1 + 3.t – ½ . 9,8 .t²                     "formules bij stilstand"

z(t) = 0

We berekenen eerst na hoeveel tijd het muntje weer terug is in onze hand. Zijn hoogte is dan weer 1 meter. Dus y(t) = y(0) = 1 m. Ingevuld in de formule:

y(t) = y(0) + v_y.t – ½ .g .t² → y(t) = y(0) + 3.t – ½ . 9,8 .t² → 1 = 1 + 3.t – ½ . 9,8 .t²

De beginhoogte (= 1 m) valt tegen de eindhoogte (= 1 m) weg en we krijgen:
0 = 3.t – ½ . 9,8 .t² = als we t buiten haakjes brengen = (3 – ½ . 9,8 .t) . t

De laatste uitdrukking is dus gelijk aan nul. Als we deze vergelijking oplossen verkrijgen we de tijdstippen t waarbij y(t) gelijk is aan 1 meter, dat zijn de momenten waarop de munt onze hand verliet en weer terugkwam op onze hand. Oplossen betekent dus dat je de tijdstippen t vind waarbij de laatste uitdrukking nul wordt, want op die tijdstippen heeft het muntje de hoogte van 1 meter.

De uitdrukking wordt nul als:

t = 0 (dat was het moment dat we het muntje opgooiden) of

3 – ½ . 9,8 .t = 0 Als je dat uitrekent, komt er uit: t = 3/4,9 = 0,612 seconde.

Dus na 0,612 s is het muntje terug.

Vervolgens berekenen we op welk tijdstip de munt zijn hoogste punt had bereikt. Dat is niet moeilijk want het muntje beweegt even lang naar boven als naar beneden. De zaak is symmetrisch, dus na t = 0,612 / 2 = 0,306 seconde wordt de top bereikt.

Hoe hoog komt het muntje dan?

Daartoe vullen we alle bekende waarden in de formule y(t) = y(0) + v_y.t – ½ .g .t² in , dus

y(0,306) = 1 + 3 . 0,306 – ½ . 9,8 .0,306² = 1,459 meter. Dit is de gevraagde hoogte.

Vervolgens kijken we op een afstand van 30 meter van het midden van de rails naar de passerende trein, waar iemand op het middenpad ook een euro opgooit op 1 meter hoogte met een verticale beginsnelheid van + 3 m/s . De passagier bevindt zich hoger dan de toeschouwer in het gras omdat de vloer van de trein zich op 1,25 m hoogte bevindt. Voor de toeschouwer is de beginhoogte van de munt 2,25 m. De munt wordt tegelijkertijd met de trein in horizontale richting meegevoerd. De verticale baan voor de passagier in de trein wordt voor de toeschouwer uitgerekt in horizontale richting en hij ziet een kogelbaan.

De plaats van het muntje (gezien vanaf het gras) in horizontale richting, langs de x-as, kunnen we beschrijven vanaf het moment (t = 0) dat het werd opgegooid, met

x(t) = x(0) + v_x . t

met v_x = de horizontale snelheid van de trein, dat is gewoon de verplaatsing van de trein waarin die vent met dat muntje zich bevindt. Hierin is x(0) de plek (gezien vanaf het gras) waar de man zich bevond op het moment dat het muntje zijn kortstondige verticale reisje begon. Voor het gemak geven we die plek de waarde x(0) = 0 meter.

Als we eens aannemen dat de trein met een matige snelheid van 25 m/s (= 90 km/uur) passeert, dan is het muntje tijdens het opgooien (wat 0,612 s duurde) over een afstand van

v_x . t = 25 .0,612 = 15,3 meter in horizontale richting meegevoerd.

Fig. 3.03 Trein met baan van de munt

Voor de toeschouwer op het gras bestaat de beweging van het muntje van de passagier uit twee delen:

De toeschouwer stelt zich nu ten doel de onwetende passagier aan een formule te helpen opdat de laatste de beweging van het muntje dat hij in de trein opgooit, kan beschrijven.

De toeschouwer kan de beweging die hij ziet in drie formules weergeven. Voor de beweging langs de x–richting de net genoemde formule:

x(t) = x(0) + v_x . t , waarin x(0) = 0 meter en v_x = 25 m/s .

Voor de beweging langs de y–richting, de verticale richting:

y(t) = y(0) + v_y.t – ½ .g .t² met y(0) = 2,25 meter en v_y = 3 m/s en g = 9,8 m/s² .

In de z–richting de afstand van de toeschouwer tot de rails waarlangs de trein en het muntje bewegen:

z(t) = z(0) met z(0) = – 30 meter. Die afstand blijft constant.

Samengevat in de drie "toeschouwerformules":

x(t) = + 25 . t

y(t) = 2,25 + 3 . t – ½ . 9,8 . t²                 "toeschouwerformules"

z(t) = – 30 m

Als je van deze formules uitgaat, moet de redenatie van de toeschouwer nu de volgende zijn:

De passagier kiest natuurlijk een assenstelsel dat met hem meebeweegt en waarbij hij met zijn voeten in de oorsprong staat.
Van de beweging in de x–richting, de richting waarin de trein zich beweegt, trek ik dan de verplaatsing van de trein er af, want de passagier staat stil in de trein.
Tenslotte haal ik in de y–richting, de vloerhoogte van 1,25 meter er af omdat de passagier zich 1,25 meter hoger bevindt dan ik. Voor hem is het muntje minder hoog dan voor mij.
Bij de plaats in de z–richting tel ik die 30 meter er bij op omdat de passagier in de trein zich in de oorsprong van zijn stelsel bevindt .

De toeschouwer verkrijgt de volgende formules, waarbij hij voor de x, y en z–coördinaat van de passagier de symbolen ξ, η en ζ gebruikt .

	ξ(t) = x(t) – 25 . t meter
	η(t) = y(t) – 1,25 meter
	ζ(t) = z(t) + 30 meter

Het is een vervelend, maar niet te vermijden gebruik in de wetenschap en de techniek om zich te bedienen van symbolen, vaak Griekse letters en vaak wordt hetzelfde symbool ook nog eens voor verschillende begrippen gebruikt. Dat is verwarrend, akkoord, maar je kan het wel aan. De hier gebruikte Griekse letters hebben de volgende namen: ξ heet xi; η heet ètha en ζ heet dzèta, wat betreft de klank gelijkend op de x, y en z.

Als we de "toeschouwerformules" invullen, met de concrete waarden die erbij gegeven zijn, krijgen we:

ξ(t) = +25.t – 25.t = 0 meter

η(t) = 2,25 + 3.t – ½ .9,8 .t² – 1,25 = 1 + 3.t – ½ .9,8 .t² meter

ζ(t) = –30 + 30 = 0 meter

Samengevat :

	ξ(t) = 0
	η(t) = 1 + 3 .t – ½ .9,8 .t²
	ζ(t) = 0

Deze formules zien er net zo uit als de "formules bij stilstand". Ze hebben dezelfde vorm. Dat is ook de bedoeling, want de passagier ziet precies zo’n beweging in verticale richting als de toeschouwer in het gras die zijn muntje recht omhoog gooide: we hebben het goed omgerekend.

Je kan de omrekening ook de andere kant op maken. Dan ziet de passagier de toeschouwer in het gras met een snelheid van – 25 m/s achterblijven, op een hoogte van – 1,25 meter ten opzichte van zijn nulpunt (zijn voeten) en op een loodrechte afstand van + 30 meter. Als hij van zijn eigen formules uitgaat, zal hij uiteindelijk de "formules bij stilstand" vinden.

Dit voorbeeld geeft aan wat bedoeld wordt met een omrekening van het ene stelsel naar het andere stelsel. Deze manier van omrekenen wordt de Galileïtransformatie genoemd. Omdat deze omrekeningsmethode zo overtuigend is, ging men er argeloos vanuit dat daar niets mis mee kon zijn tot de wetenschap vastliep in zijn pogingen om de beweging van de aarde in de lichtether aan de tonen. Iedereen zat met zijn handen in het haar, wat aan Einstein jaren later nog te zien was, maar hij maakte een onverwachte  geestelijke reuzenzwaai door te concluderen dat onze omrekeningsformules niet klopten. Dat kwam hard aan in de wetenschap, die er echter hard aan toe was.

Na deze voorbereiding gaan we weer op pad. Wees alert op de valkuilen en draaikolken waar Einstein ons langs zal voeren. Doe het rustig aan. Zij met ervaring mogen af en toe een stukje voor de rest uit, de anderen zullen op dit glibberige pad vaak moeten wachten op een helpende hand. Onderweg vinden we rustplaatsen waar we op elkaar zullen wachten. Dat spreken we af!

De bewegende balk wordt vervangen door een bewegend coördinatenstelsel (zie figuur 304). Het stelsel–in–rust krijgt het symbool K en het stelsel–in–beweging krijgt het symbool k . Stelsel k beweegt met de snelheid v naar rechts. De assen blijven ondanks de snelheid v loodrecht op elkaar staan en parallel aan de assen van stelsel K. "Uit symmetrieoverwegingen", zoals Einstein zegt. Wat zit daarachter, wat bedoelt hij daarmee?

Daar zit een scherpe, logische redenering achter. Let op: De plaats en de richting van het stelsel K zijn willekeurig gekozen in de ruimte. De y– en z–as van K staan loodrecht op de x–as. Als de overeenkomstige assen van het stelsel k , dat met de snelheid v in de richting van de positieve x–as van het stelsel K beweegt, achterover, in de richting van de negatieve x–as zouden hellen, dan volgt er uit dat die assen, als de snelheid van richting wordt omgedraaid, achterover naar de positieve x–as zouden moeten hellen. Daar is de natuur consequent in. Wanneer je vervolgens een nieuw stilstaand stelsel K* introduceert, dat samenvalt met het eerste K, met dit verschil dat de positieve en de negatieve x–as verwisseld zijn, dan krijg je de situatie dat de assen van het bewegende stelsel gelijktijdig achterover (in stelsel K) en voorover (in K*) moeten hellen. Dat is in strijd met elkaar. Dat kan dus niet. De assen van k moeten loodrecht op de x–as blijven staan.

Zo simpel is dat.

 

 

Fig. 3.04 Het stelsel–in–rust K en het stelsel–in–beweging k

In ieder stelsel kunnen afstanden worden gemeten met onvervormbare meetstaven en tijden met onderling gelijklopende klokken. In het stelsel K wordt de plaats van een "gebeurtenis" aangegeven met de coördinaten (x, y, z ) . Het is een punt in de ruimte, maar bij dat punt hoort ook een tijdstip t van het waarnemen van het punt. Samen noemen we dat een "gebeurtenis". De waarde van x, de waarde van y, de waarde van z en de waarde van t kunnen worden samengevat als ( x , y , z , t ). Dit noemen we de coördinaten van een "puntgebeurtenis" in K.

De "puntgebeurtenis" in het stelsel K vinden we ook terug in het stelsel–in–beweging k (zie fig.305), want ieder coördinatenstelsel strekt zich over de gehele ruimte en alle tijd uit. In het stelsel k krijgt de puntgebeurtenis de plaats– en tijdaanduidingen ξ , η, ζ en τ . De "punt–gebeurtenis" krijgt in dit stelsel dus de coördinaten: (ξ , η, ζ , τ ). Er moet dus een relatie zijn tussen ( x, y, z, t ) en (ξ , η, ζ , τ ). Niet de voor de handliggende relatie zoals de Galileïtransformatie, maar één waarbij het merkwaardige gedrag van de ongelijklopende klokken en de te korte balk tot uiting komt.

Hoe zijn de coördinaten van het ene stelsel met die van het andere stelsel verstrengeld?

 

Figuur 3.05 Een "punt–gebeurtenis" P in twee stelsels waarvan de assen niet samenvallen

Om te beginnen, stelt Einstein, moeten de vergelijkingen lineair zijn omdat we ruimte en tijd als homogene grootheden zien.

Even een stukje toelichting.

Met homogeen wordt bedoeld dat afstand en tijd in de gehele ruimte gelijkmatig zijn verdeeld. Er zijn dus geen gebieden waar alles vlugger of langzamer gaat en er zijn geen gebieden waar alles kleiner of groter is. Overigens zou dat moeilijk te constateren zijn als je er zelf deel van uitmaakt en de veranderingen geleidelijk zouden verlopen. Het is dus een veronderstelling. Hoe het ook zij, in onze ervaring heeft niets de laatste eeuw op het tegendeel gewezen terwijl we toch een behoorlijke afstand door de ruimte en in de tijd hebben afgelegd. De komende afleiding is dus geldig voor ruimte en tijd die gelijkmatig zijn verdeeld.

Een beetje wantrouwen is op zijn plaats want we hebben al gezien dat afstand en tijd in een bewegend stelsel vreemd doen en met onze huidige kennis weten we ook dat nabij (zware) massa’s de tijd en de ruimte beslist niet homogeen zijn.

Het homogeen zijn betekent tevens dat als de tijd in het stelsel–in–beweging op een bepaald punt sneller of langzamer is dan de tijd in het stelsel–in–rust dat de tijd dan in het eerste stelsel overal in dezelfde mate sneller of langzamer moet zijn ten opzichte van het stelsel–in–rust, want dan alleen blijft de homogeniteit behouden. Hetzelfde geldt voor de ruimte. Maar voor dergelijke uniforme vergrotingen of verkleiningen heb je lineaire vergelijkingen nodig. Die zorgen voor een gelijkmatige omrekening van het ene stelsel naar het andere stelsel.

Een lineaire vergelijking; wat was dat ook weer?

De algemene vorm kan je schrijven als y = a.x + b . Als je dit in een grafiek weergeeft, verkrijg je een rechte lijn. De richtingscoëfficiënt van de lijn is het getal a, waarmee wordt aangegeven hoeveel y verandert als x met het getal één toeneemt. Het getal b geeft het snijpunt met de x-as. Voorbeeld: y = 0,5 . x + 1 (zie fig.3.06).

 

Fig. 3.06 Een lineaire functie

In de figuur is de functie y = 0,5 . x + 1 weergegeven. Bij iedere waarde van x hoort een waarde van y . Als je van een x–waarde uitgaat, trek je een verticaal lijntje tot je de schuine lijn snijdt en daarvandaan trek je een lijn in horizontale richting tot je de y–as snijdt. Het laatste snijpunt is de y–waarde die bij de x–waarde hoort. Wanneer je dit doet voor verschillende x–waarden die op gelijke afstanden van elkaar liggen, dan vind je y–waarden die ook op gelijke afstanden van elkaar liggen. In ons plaatje liggen de y–waarden dichter bijeen dan de x–waarden. Hier heb je te maken met een verkleining en die geldt overal, waar je de x–waarden ook kiest: de bijbehorende y–waarden liggen dichter bij elkaar.

Wanneer de schuine lijn onder een hoek van 45 º loopt, zijn de afstanden op beide assen gelijk en als de functie steiler loopt, liggen de y–waarden verder uiteen en kan je over een vergroting spreken. In ieder geval blijft de homogeniteit behouden!

Nu vlug terug naar Einstein want hij wil iets vertellen.

"Probeer je eens een stilstaand punt x′ in stelsel k voor te stellen", oppert hij.

Figuur 3.07 Hier heeft x′ een vaste plaats in stelsel k , maar het beweegt in stelsel K.

Je moet dus in gedachten meekijken met het stelsel k waarin x′ stilstaat. Welke waarde x′ heeft doet er helemaal niet toe.

Omdat het stelsel k met een snelheid v langs de x-as van het stelsel–in–rust K beweegt, geldt voor de x–waarde van dit punt in stelsel K, als je de blik op stelsel K gericht houdt:

x = v . t + x′

Deze formule geldt als je de twee oorsprongen op t = 0 laat samenvallen. Op t = 0 geldt dan x = x′.

 

Uit x = v . t + x′ volgt:    x′ = x – v . t . 
Omdat x′ constant is, het is een stilstaand punt in het stelsel k, kan de waarde x′ niet afhankelijk van de tijd zijn. De term "– v . t " wordt kennelijk gecompenseerd door de waarde van x . De y–waarde en de z–waarde van dat punt zijn eveneens constant (gelijk aan 0) omdat het punt geen beweging vertoont in die richtingen. Het stel coördinaten (x′ , y , z ) is dus onafhankelijk van de tijd. Houd dat in gedachten en knoop het in uw oren!

En nu komt er een stuk wiskunde. Wees niet bang, er kan niets gebeuren. Het duurt ook niet lang, één bladzijde maar, ….. bij Einstein.

Hij wil dat twee klokken in het stelsel–in–beweging gelijk worden gezet, namelijk een klok die in de oorsprong wordt gezet van het stelsel–in–beweging en een klok bij het punt x′ . Terwijl onze trouwe cowboys op de balk al voorbereidingen treffen om via heen en weer gaande lichtstralen de klokken gelijk te zetten, laat Einstein weten dat we het probleem theoretisch aanpakken. Er zal worden gedifferentieerd. En niet zo zuinig. Hij wil ons zeker imponeren. "Maar moeten wij dat ook kunnen?" vraagt een teamlid timide. Niet twijfelen, wij kunnen het ook! Kop op, je krijgt de nodige aanwijzingen en je komt er wel door. We zullen langs afgronden gaan, we springen over rotsspleten en af en toe moeten we ons met een touw uit de nesten helpen. Maar het lukt je! Eerst moeten we begrijpen dat een gebeurtenis een gebeurtenis blijft, vanuit welk stelsel je het ook bekijkt. Bijvoorbeeld het terugkaatsen van een lichtsignaal tegen een spiegeltje. We hebben gezien dat je kunt discussiëren over het tijdstip en over de afstand, iemand uit het ene coördinatenstelsel geeft andere waarden aan de plaats en de tijd dan iemand uit het andere stelsel, maar de gebeurtenis zelf wordt niet betwijfeld. Van de twee stelsels is op ieder tijdstip precies bekend waar ze zich ten opzichte van elkaar bevinden. Daarom kunnen de plaats en tijd (= de coördinaten) van het ene stelsel uitgedrukt worden in de plaats en de tijd van het andere stelsel. Dat is wat we gaan doen. De coördinaten in het stelsel–in–rust K zijn x, y, z en t . De coördinaten ξ , η , ζ en τ in het stelsel–in–beweging k zijn, zoals gezegd, uit te drukken in die van K, met andere woorden: ξ is een functie van x, y, z en t , maar ook η is een functie van x, y, z en t , en ζ is een functie van x, y, z en t , en tenslotte is ook τ is een functie van x, y, z en t . We schrijven dit als : ξ (x, y, z, t ) η (x, y, z, t ) ζ (x, y, z, t ) τ (x, y, z, t ) In plaats van x gaan we x′ gebruiken, dat een vast punt in het stelsel–in–beweging k was. Dat kan omdat op ieder tijdstip t precies bekend is welke afstand er tussen x en x′ zit. Er geldt x = v . t + x′, dus x – x′ = v . t . Hieruit volgt dat als je de coördinaten in het stelsel k uit kan drukken in x , y , z en t , dan kan je ze ook in x′, y , z en t uitdrukken. Eigenlijk stappen we nu, in gedachten, over op een met k meebewegend stelsel, waarbij x′ de waarde behoudt die we waarnemen vanuit het stelsel-in-rúst. Zo bekijken we als het ware van dichtbij hoe de coördinaten van het ene en het andere stelsel van elkaar verschillen. We gaan nu de volgende functies onderzoeken: ξ (x′, y, z, t ) η (x′, y, z, t ) ζ (x′, y, z, t ) τ (x′, y, z, t ) De tijd τ is het tijdregiem van het bewegende stelsel en welke tijd er heerst wordt aangegeven door de klokken die daar gelijklopen. De klokken zijn identiek aan de klokken van het rustende stelsel dus voor iemand in het stelsel–in–beweging gaan ze even snel als zo’n zelfde klok in het stelsel–in–rust voor iemand uit het stelsel–in–rust. Ook een muntje valt in het stelsel–in–beweging even snel op de grond als in het stelsel–in–rust. Maar als iemand vanuit het stelsel–in–rust naar de klokken van het stelsel–in–beweging kijkt dan kan hij ze maar niet gelijk zien lopen. Hoe hij ook kijkt. Het is niet te verteren, maar het is waar. Het muntje valt evenmin op de normale wijze, maar dat accepteren we sneller omdat we bekend zijn met de kogelbaan van een vallend muntje in een rijdende trein, dat is zeker geen rechte verticale lijn.. We zullen eerst τ als functie van x′, y, z, t onderzoeken.  "Zet in het stelsel–in–beweging de klokken gelijk volgens de bekende procedure en zoek uit hoe de coördinaten van het ene stelsel samenhangen met die van het andere". Dat is de opdracht van Einstein. Daar moeten we het mee doen. We staan er helemaal alleen voor. Maar de cowboys hebben er zin in. Vanuit de oorsprong van het stelsel–in–beweging vuurt cowboy A op tijdstip τ0 langs de ξ –as een lichtsignaal naar x′ af, dat daar op het tijdstip τ1 door cowboy B wordt weerkaatst om op het tijdstip τ2 weer in de oorsprong aan te komen. Als de klokken gelijklopen, moet gelden: ½ (τ0 + τ2 ) = τ1 Dan doet het lichtsignaal (in het stelsel–in–beweging) even lang over de heenweg als over de terugweg. Zo zet je klokken gelijk. Wordt het je allemaal teveel, ga dan  Terug Einstein springt in zijn artikel als een berggeit over de problemen heen, maar laten wij het wat rustiger aan doen! Wij zullen de berekening met kleine tussenstapjes volgen. We bekijken eerst de tijdstippen van vertrek, weerkaatsing en aankomst van het lichtsignaal gezien vanuit het stelsel–in–rust. Omdat τ , zoals we hebben laten zien, een functie is van x′, y , z en t, kunnen we τ met deze coördinaten beschrijven, dat wil zeggen: zodra we de waarden van x′, y, z en t kennen, is de waarde van τ ook bekend. In de vergelijking ½ . (τ0 + τ2 ) = τ1 is τ0 de tijd die je krijgt als je de beginwaarden van x′, y , z en t invult, τ1 krijg je door de waarden van x′, y , z en t in te vullen op de plaats en de tijd van de weerkaatsing en τ2 wordt gevonden door de waarden van x′, y , z en t, in te vullen voor de plaats en tijd bij terugkomst van het signaal. We zoeken dus de waarden van x′, y , z en t, op die drie verschillende momenten. Om te beginnen noemen we het tijdstip waarop cowboy A de lichtstraal naar B zendt het tijdstip t. Op de klokken van de cowboys is dat het tijdstip τ0. Wat kunnen we over τ0 vertellen? Voor de oorsprong van het stelsel k geldt x′ = 0. Bedenk dat x′ een vast punt in het stelsel–in–beweging is. Als je voor dat vaste punt de plaats neemt waar het lichtsignaal vertrekt of aankomt, de oorsprong, dan geldt voor dat punt: x′ = 0 . Het punt waar het lichtsignaal wordt weerkaatst, noemen we voor het gemak gewoon x′. De waarden 0 en x′ zullen we gebruiken, plus de waarden van y en z die gewoon 0 zijn, omdat het hele gebeuren zich langs de x–as afspeelt. De tijd bij de start is eenvoudig t , zo hebben we het begintijdstip genoemd. De algemene vorm τ (x′, y, z, t ) kunnen we nu veel preciezer opschrijven voor het begintijdstip τ0 door gebruik te maken van de waarden voor x′ = 0, y = 0 en z = 0. Zo vinden we: τ0 = τ(0,0,0,t).                     (1ste term) Valt er over τ1 ook iets meer te zeggen? Bij de weerkaatsing heeft de tijd in ons stelsel de waarde t + x′/( c - v) , omdat het licht vanuit het stelsel–in–rust bezien er x′/(c - v) seconde over doet om van cowboy A naar cowboy B te gaan. De weerkaatsing vindt plaats in het punt x′, dat is de waarde op het moment τ1 van de eerste coördinaat. De x en y coördinaat blijven weer gewoon 0.  Zo mogen we voor τ1 schrijven:                  (3de term) We pakken τ2 op dezelfde manier aan. Voor de terugweg komt er nog eens x′/(c + v) aan tijd bij, zodat het tijdstip van terugkomst wordt: t + x′/( c - v) + x′/(c + v). De plaats is dan weer gewoon 0 omdat de lichtstraal terugkeert in de oorsprong. Zo kan τ2 worden geschreven als          (2de term) Dit zijn de termen op blz. 896 en 897 van Einsteins artikel. Wanneer je deze termen invult in de vergelijking voor de tijden in het stelsel–in–beweging ½ (τ0 + τ2 ) = τ1 krijg je: Dit noemen we de "vervaarlijke vergelijking" Dat ziet er niet lekker uit en wat kan je ermee? Wat deed Einstein? Einstein nam gewoon de afgeleide naar x′. Toe maar! Het moet niet gekker worden! Wie nog goed weet wat een afgeleide is, wacht op ons bij de volgende rustplek De afgeleide functie. Zoals je je herinnert had het begrip veel te maken met de richtingscoëfficiënt, de RC, en het werd ook wel het differentiequotiënt genoemd. Laten we het even in het kort doornemen. Het mag niet gebeuren dat één van ons straks zijn grip op de stof verliest en zonder hulp achter moet blijven! Als je een functie f hebt van een variabele x, geschreven als f(x), dan kan je voor twee vlak bijeen gelegen punten x1 en x2 de functiewaarden f(x1) en f(x2) uitrekenen. We geven met Δx (spreek uit: delta x) het verschil x2 – x1 aan en met Δf(x) het verschil f(x2) – f(x1) . Om de richtingscoëfficiënt te vinden, bereken je: Maar omdat de functie meestal een gebogen vorm heeft, mag je de twee punten x1 en x2 niet te ver uit elkaar nemen, anders wordt het resultaat te onnauwkeurig. In figuur 308 geeft de pijl ongeveer de richting aan van de kromme lijn tussen de twee punten x1 en x2 . Je ziet echter dat de richting van de pijl niet klopt bij x1 en evenmin klopt bij x2 . Pas als de twee punten zeer dicht bij elkaar liggen, valt de richting van de pijl samen met de richting van de kromme. Fig. 308 Het differentiequotiënt Je kan die punten net zo dicht bij elkaar nemen als je zelf wil. Je moet ze alleen niet boven op elkaar nemen, want dan heb je geen verschillen meer; dan valt er niets meer uit te rekenen. Over de vraag hoe dicht de punten uiteindelijk bij elkaar moeten worden genomen, maakt niemand zich druk, want ruim van tevoren zien we al aankomen waar het met het quotiënt Δf(x)/Δx op uit zal lopen. We nemen de limiet voor Δx gaat naar 0 (zo heet het als je Δx steeds kleiner maakt) met het volgende symbool:  Wanneer je de limiet neemt van het genoemde quotiënt ben je aan het differentiëren: De verkorte schrijfwijze hiervoor is: en de betekenis hiervan is de opdracht:    "Bepaal de afgeleide functie van f(x)". Denk niet dat de letter d  hier een functie is die met f   moet worden vermenigvuldigd. Het geheel is een symbolische schrijfwijze voor het nemen van de limiet van het genoemde quotiënt. De bedoeling van het differentiëren is altijd het bepalen van de mate waarin de functiewaarde f(x) verandert als de variabele x van waarde verandert. Op de flanken van de "bergen" in de figuur verandert de functiewaarde snel (= een grote waarde voor de richtingscoëfficiënt), maar in de buurt van de top en het dal bijna niet (= een kleine richtingscoëfficiënt) . Voorbeeld: Bepaal van de functie f(x) = 4 – x2 de richtingscoëfficiënt in het punt x = 1. Fig. 309 De richtingscoëfficiënt In dat punt heeft de functie een waarde f(1) = 4 – 12 = 3. We nemen, in gedachten, langs de x–as een tweede punt een klein stukje, symbolisch aangegeven met Δx , verderop. Dat wordt het punt 1 + Δx . De functiewaarde die daarbij hoort is: f(1+ Δx) = 4 – (1+ Δx)2 = 4 – {1 + 2. Δx +(Δx)2 } = 3 – 2. Δx – (Δx)2 . Nu stellen we de limiet op: Je ziet, je rekent de functiewaarden in de twee dicht bijeen gelegen punten gewoon uit, de getallen drie vallen tegen elkaar weg, je streept Δx zoveel mogelijk weg en die ene Δx die je overhoudt, daarvoor neem je de limiet naar nul, dat wil zeggen dat Δx nul wordt, zodat je –2 overhoudt. Dat is het antwoord. Negatief, de pijl wijst naar beneden. Oefening 9 Bepaal zelf de afgeleide van de functie in het punt x = –2 . Rustplek.  (terug) Hier treffen we de groep die het allemaal nog wel zo’n beetje wist. We gaan weer terug naar de "vervaarlijke vergelijking" voor τ die we onderhanden hadden. Hij bestaat uit drie termen en er doen maar liefst vier variabelen x′, y, z en t aan mee, waarbij y en z gelukkig constant de waarde 0 blijven houden. Uit de vergelijking willen we achterhalen hoe τ van x′ en van t afhangt. In onze beeldspraak van de cowboys op de balk: hoe kan τ even groot voor cowboy A zijn als voor cowboy B als de laatste op verschillende plaatsen op de balk gaat staan, waarbij voor ons zowel t (door het "te vlug geschoten" effect) als x′ verschillende waarden aannemen. We gaan de drie termen naar x′ differentiëren, waarbij we het pad volgen dat Einstein heeft uitgezet. De eerste term, het tijdstip van vertrek van het signaal τ ( 0, 0, 0, t ) is in deze vorm alleen maar afhankelijk van t. De x′, de y en de z hebben hier de vaste waarde 0. Het tijdstip t waarop het lichtsignaal werd uitgezonden, is volstrekt niet afhankelijk van de afstand x′ waar cowboy B zich bevindt ( t en x′ zijn helemaal onafhankelijk van elkaar) en dat maakt het differentiëren naar x′ heel gemakkelijk, τ verandert namelijk niet als x′ verandert: De tweede term, het tijdstip in het stelsel–in–beweging van terugkomst van het signaal in de oorsprong bij cowboy A, τ ( 0, 0, 0, { t + x′/(c–v) + x′/(c+v)}) is wél afhankelijk van x′, maar de afhankelijkheid zit niet in de eerste coördinaat, want die is 0, maar in de tijdcoördinaat, de laatste! Als x′ groter wordt, doet het signaal er langer over. Hoe kunnen we nu differentiëren? Dat vraagt enige uitleg. Voor de duidelijkheid geef ik de tijdcoördinaat t + x′/(c–v) + x′/(c+v) voor de duur van de uitleg met het symbool T aan.  Dus T = t + x′/(c–v) + x′/(c+v).  De vraag is: hoe verandert de tijd τ , die het tijdstip van terugkomst van het lichtsignaal aangeeft in het stelsel–in–beweging, als x′ verandert? Daarvoor moet je eerst weten hoe de tijd T verandert als x′ verandert om vervolgens te bezien hoe de tijd τ in het stelsel–in–beweging verandert als T verandert. We komen hier dus op de merkwaardige vraag hoe de tijd in het stelsel–in–beweging afhangt van de tijd in het stelsel–in–rust. Wiskundig, met de formules die we voor ons hebben, is dat niet zo’n groot probleem. Want hoe je een functie differentieert naar een variabele, die zelf weer verstopt zit in een andere functie, een zogenaamde samengestelde functie, daar is de kettingregel voor uitgevonden. Maar laten we proberen het te begrijpen, wat leuker is dan het domweg toepassen van formules. De mate waarin de tijd τ verandert, wordt gevonden door het effect van x′ op de tijd T te vermenigvuldigen met het effect van T op de tijd τ . Waarom vermenigvuldigen? Misschien dat oefening 10 dat duidelijk maakt. Oefening 10 Ieder uur dat de zon in het voorjaar extra schijnt, gaan er 100 mensen meer naar het plaatselijke strand. Verder is bekend dat als de temperatuur in het voorjaar gemiddeld 1 °C stijgt, de zon gemiddeld 50 uur extra schijnt. Wat wordt de stijging van het aantal bezoekers van het strand als de gemiddelde temperatuur 1,5 °C stijgt: 100 + 1,5 x 50 = 175 óf 100 x 1,5 x 50 = 7500? Je kijkt dus eerst naar het effect op het aantal uren zonneschijn en daarna naar het effect op het aantal bezoekers en je ziet, wat je ook al met je klompen aan voelde, dat het laatste antwoord goed is. Dus als we de tweede term naar x′ willen differentiëren, kunnen we het product nemen van een differentiatie van τ naar T en van T naar x′ . Dit wordt de "kettingregel" genoemd. We werken het uit: Je gebruikt hier een "kromme d" : de "∂" om duidelijk te maken dat bij het differentiëren naar één variabele, de andere variabelen constant worden gehouden. Je bekijkt dan alleen het effect van die éne variabele op de waarde van de functie. De snelheden c en v zijn in dit verband geen variabelen, c is constant en v hóuden we constant, dus daar hoeven we ons geen zorgen over te maken. Bij wat er nu komt, moet je je heel goed concentreren. Mobiele telefoon uit. Niet kletsen met elkaar! We kijken eerst naar de term . Ik beweer en ik leg het direct uit. (Terug) De bewering klopt vanwege het volgende: beschouw T = t + x′/(c–v) + x′/(c+v) . We houden x′ constant – dat is de bedoeling van de kromme d’s – en c en v zijn constant, dan kan een verandering van T alleen maar het gevolg zijn van een verandering van t , want de rest is constant. Onder een verandering van T wordt verstaan hoeveel T groter of kleiner wordt, dus niet hoeveel kéér T groter of kleiner wordt. Als bij t iets wordt opgeteld, komt er bij T evenveel bij. Als t anderhalf keer zo groot wordt, wordt T niet ook anderhalf keer zo groot. Dus T = t . Een verandering van t heeft eenzelfde verandering van T tot gevolg als de rest constant is. Vervolgens kijken we naar de term .   Deze werken we uit. De tijd T = t + x′/(c–v) + x′/(c+v) bestaat uit drie termen. We passen de regel uit de wiskunde toe dat de afgeleide van een som gelijk is aan de som van de afgeleiden en differentiëren de afzonderlijke termen. Het resultaat wordt: De eerste term wordt nul omdat t niet afhankelijk is van x′, zoals we eerder hebben gezegd. Die nul laten we verder natuurlijk weg. De uitkomst van de tweede en de derde term vind je door te differentiëren. Als je weet dat de afgeleide van x′ naar x′ gelijk is aan 1 (een verandering van x′ gaat gelijk op met een verandering van x′ , logisch) dan zie je het antwoord meteen, want x′/(c – v) verandert natuurlijk veel minder dan x′ omdat de verandering ook door (c – v) wordt gedeeld. De formule, die eerder "kettingregel" is genoemd, kunnen we nu met de gevonden resultaten uitwerken:   We schrijven dit in een andere volgorde om het in overeenstemming te brengen met het linker deel van de vergelijking bovenaan p. 899 van het origineel. Dus: Nu vergeten we de ingevoerde T weer omdat de uitleg is afgelopen. Dit was al lastig, maar nu komt het moeilijkste obstakel van het eerste deel van deze tocht. De derde term, na het = teken, van de "vervaarlijke vergelijking". Houd de concentratie vast! De derde term is het tijdstip τ waarop de lichtstraal bij cowboy B wordt weerkaatst. Daarin zit de variabele x′ zowel in de eerste plaatscoördinaat als in de (laatste) tijdcoördinaat: τ ( x′, 0, 0, t + x′/(c–v)) . Wat is hier de invloed van x′ op de tijd τ ? We halen de letter T weer tevoorschijn maar nu met een nieuwe inhoud: T wordt t + x′/(c–v) . We krijgen τ (x′, 0, 0, T). Je hebt nu te maken met een directe invloed van x′ op τ via de eerste coördinaat en een indirecte invloed via de laatste coördinaat. Hoe verandert τ als x′ verandert. Dat wordt weer aangepakt met de kromme d’s waarbij we differentiëren naar de ene variabele terwijl we de andere variabelen constant houden. Je kan ook zeggen dat je de verandering van τ bekijkt precies in één richting of langs één coördinaat. De afgeleide in de eerste richting langs de x–as, waarbij de andere coördinaten constant worden gehouden, dus ook  T = constant, schrijven we als: Hiermee wordt de invloed:  "te vlug geschoten"  beschreven. De y– en z–coördinaat zijn constant 0 , dus de afgeleide in die richting naar x′ is ook altijd 0. Als we de afgeleide naar de tijdcoördinaat T bekijken, houden we die natuurlijk niet constant. We nemen dan juist de eerste richting constant. We kijken op een bepaalde plaats x′ en we zoeken de invloed op τ als de tijd die de lichtstraal er over doet volgens ons om van A naar B te gaan verandert door een kleine verplaatsing van het punt x′ . Hier passen we de kettingregel opnieuw toe:   Met eenzelfde redenering over de gelijke invloed van T op τ en t op τ als bij de tweede term (zie aldaar)  mogen we weer stellen: . De term ¶T/¶x′ werken we uit, met in gedachten de opmerking dat x′ en t geheel onafhankelijk van elkaar zijn: De verandering van τ wordt de som van de directe verandering door x′ als plaatscoördinaat, namelijk , en de indirecte verandering, namelijk door zijn effect op de tijdcoördinaat. Waarom nu de som? Omdat je eerst de verandering van τ bekijkt als x′, de eerste coördinaat, verandert terwijl je de andere coördinaten constant houdt en vervolgens de verandering van τ bekijkt als de laatste coördinaat verandert als gevolg van een verandering van x′, terwijl je dan de eerste drie coördinaten constant houdt. De twee veranderingen hebben geen invloed op elkaar, ze werken allebei direct op τ. Het zijn twee onafhankelijke effecten op τ en daarom moet je ze optellen. Oefening 11 maakt die onafhankelijkheid verder duidelijk. Oefening 11 Als de temperatuur in Europa gemiddeld 1 °C stijgt, komt er via de Rijn 50 m3/s meer smeltwater uit de bergen van Zwitserland en als het in Europa gemiddeld 1 °C warmer wordt, valt er tegelijkertijd in het stroomgebied van de Rijn meer regen, zodat de Rijn als gevolg daarvan 400 m3/s meer regenwater afvoert. Hoeveel meer water voert de Rijn af als het in Europa gemiddeld 1 °C warmer wordt? 400 + 50 = 450 of 400 x 50 = 20 000 m3/s? Het eerste antwoord is goed. Het is niet zo dat het méér gaat regenen als er meer smeltwater uit de bergen komt, noch dat er meer smeltwater uit de bergen komt als het in het stroomgebied meer gaat regenen. De twee verschijnselen versterken elkaar niet, maar dragen wél beide mee, onafhankelijk van elkaar, aan een grotere waterstroom in de Rijn. Het resultaat van de differentiatie van de derde term levert een bruikbare nieuwe schrijfwijze: (We mogen de tijdelijke inhoud van T weer vergeten). We zetten de resultaten links en rechts van het =teken van de "vervaarlijke vergelijking" bij elkaar: Dit is precies de formule die Einstein kort door de bocht had opgeschreven bovenaan p. 899. Terug  De vergelijking wordt vervolgens herschikt om er een hanteerbare differentiaalvergelijking van te maken.We brengen alle termen links van het =teken en we tellen de twee ∂τ/∂t termen bij elkaar op. Let op de veranderingen van + en –tekens!               "differentiaalvergelijking" Dit is een zeer belangrijke formule. Alvorens we ermee verder gaan, maakt Einstein twee opmerkingen. De eerste is dat de lichtstraal niet perse uit de oorsprong had behoeven te worden verzonden om dit resultaat te bereiken. Dat de vergelijking dus voor iedere waarde van x, y, z geldig is. Hoe duiden we deze opmerking? Indien we voor de x-coördinaat in plaats van 0 een andere vaste waarde x0 kiezen en evenzo voor de y–coördinaat en de z–coördinaat de vaste waarden y0 en z0 kiezen, kunnen we dezelfde wijze van differentiëren op de vergelijking toepassen. Juist omdat x0 en y0 en z0 vaste waarden zijn, leveren ze geen bijdragen bij het differentiëren naar x′. De tweede is dat we tot nu toe de coördinaten y en z constant hielden. Daarom speelden ze geen rol. We onderzoeken toch even hoe de tijd τ van de coördinaten y en z afhangt door ook in die richtingen een lichtstraal af te vuren. "Die afhankelijkheid is nul komma nul", zegt Einstein. Dat willen we wel eens zien en we controleren het voor de verticale richting (zie figuur 310). We sturen een lichtsignaal langs de ζ–as van het stelsel–in–beweging naar een spiegeltje in het punt z en weer terug. Vanuit het stelsel–in–rust gezien, vormt de weg van het lichtsignaal een gelijkbenige driehoek. omdat het stelsel–in–beweging zich verplaatst tijdens de reis van het lichtsignaal. Bij de schuin staande benen van de driehoek hoort de snelheid c . De snelheid in de ζ–richting van het lichtsignaal is . Via dezelfde aanpak die tot de "vervaarlijke formule" leidde, verkrijgen we dan de vergelijking:     Fig. 3.10 Het lichtsignaal gaat van O naar z en weer naar O. Het stelsel beweegt met snelheid v . Differentiëren naar z levert: Als je tegen elkaar wegstreept wat links en rechts gelijk is aan elkaar, houden we over: Er is géén afhankelijkheid. Op identieke wijze vinden we: Einstein heeft gelijk, alweer!  De tijd τ hangt niet af van y of z. We gaan terug naar de "differentiaalvergelijking"       Einstein poneert vervolgens boudweg dat, vanwege de aanname dat de functie τ lineair was, de functie de volgende vorm moet hebben:                                   "een oplossing" Hoe komt hij daarbij? Hierin is a een constante factor, niet afhankelijk van v of van x´ .   Als je namelijk een functie voor τ hebt gevonden die aan de "differentiaalvergelijking" voldoet, "een oplossing",  dan voldoet een functie die a keer zo groot is ook omdat beide afgeleiden in de differentiaalvergelijking  dan a keer zo groot worden. Verder is het een kwestie van stomweg controleren of de oplossing voldoet door τ te differentiëren naar x′ en naar t en te onderzoeken of het klopt: Verdraaid, als je dat invult in de "differentiaalvergelijking" dan klopt het! Doe het even! Je ziet tevens dat a voor spek en bonen meedoet. Dus het klopt. Het is een oplossing van de vergelijking. Je ziet bovendien dat in de oorsprong (x′ = 0) op het tijdstip t = 0 ook geldt τ = 0. Dat is een keuze om de optredende integratieconstante gelijk aan nul te krijgen,  erg handig en dat mag omdat je ieder tijdstip altijd als nulpunt voor de tijd kan kiezen, behalve in de kosmologie.  Het absolute nulpunt van de tijd, de oerknal, is voor het dagelijks gebruik te onnauwkeurig en het rekent lastig.  Je bent geneigd te denken dat de factor a wel gelijk zal zijn aan één, zodat hij lekker makkelijk wegvalt, maar Einstein toont aan dat hij juist niet gelijk is aan één. Heel essentieel! Laten we eerst eens kijken waar Einstein naartoe wil. Zoals je weet was x′ een vast punt in het stelsel–in–beweging waarvan de plaats verder niet was vastgesteld. Er gold: x′ = x – v.t Als we dit in de formule van τ voor x′ invullen, verkrijgen we een uitdrukking voor τ (de tijd in het stelsel–in–beweging) die alleen nog maar afhangt van de coördinaten x en t uit het stelsel–in–rust. Daar moeten we naartoe, want dan hebben we een brug geslagen tussen de twee stelsels:    dus        We zien hoe de tijd τ afhangt van de tijd t en de plaats x in het stelsel–in–rust. De coördinaat voor de tijd τ in het stelsel–in–beweging is nu geheel uitgedrukt in de coördinaten voor tijd t en plaats x van het stelsel–in–rust. Dat is de bedoeling. De volgende stap is erachter te komen hoe de ξ–coördinaat in het stelsel–in–beweging afhangt van de coördinaten x, y, z, t in het stelsel–in–rust. Laten we Einstein volgen. Hij laat hier een prachtige gedachtegang zien voor de bepaling van de ξ–coördinaat. In het stelsel–in–beweging heeft de lichtstraal namelijk ook de snelheid c . Op het moment dat de lichtstraal uit de oorsprong van het stelsel–in–beweging vertrek, vallen de oorsprongen samen en er geldt in dat punt t = τ = 0 De plaats die de lichtstraal bereikt na een tijd τ (de tijd in het stelsel–in–beweging) is: ξ = c . τ Het tijdstip in het punt ξ is dan τ. Nemen we voor ξ het punt x′ dan mogen we voor τ schrijven , waarbij t de tijd is die de lichtstraal er volgens ons over doet om het punt x′ te bereiken. Zo krijgen we: Terug

We mogen t vervangen door de tijd die de lichtstraal er volgens ons over doet, namelijk: . Dat vullen we in en we werken het direct uit:

(Bedenk dat (c – v) . (c + v) = c² – v² )

Ook hier kunnen we x′ = x – v . t invullen, zodat ξ net als τ uitsluitend in coördinaten van het stelsel–in–rust is uitgedrukt, en dan rolt de volgende formule uit de bus:

Dat gaat goed! We hebben al twee van de vier coördinaten te pakken, namelijk τ en ξ en die andere twee, namelijk η en ζ , dat moet een makkie zijn. We komen er aan!

Als we in de η–richting een lichtstraal tot een bepaald punt η verzenden, dan geldt voor die afstand η = c . τ. Voor τ vullen we de formule in die x′ bevat en omdat x′= 0 (het is immers een beweging langs de η – as) volgt er uit:

Het punt η komt natuurlijk overeen met een of ander punt y in het stelsel–in–rust. Vanuit het stelsel–in–rust gezien is de tijd die het licht erover doet om dat punt y te bereiken (vergelijk figuur 310):

Dus, als we t invullen in de uitdrukken voor η , krijgen we:

Op dezelfde manier wordt de uitdrukking voor de ζ–richting verkregen:

We hebben ze! Alle vier! Er moet alleen nog wat aan worden geschaafd, maar we zijn door het moeilijkste heen. Gefeliciteerd. Wat een zware afleidingen! Het leek wel een bergetappe! We hebben Einstein goed kunnen volgen en we laten hem niet meer ontsnappen. We raken er steeds bedrevener in. Einstein moet niet denken dat wij hem niet zouden begrijpen. Dan kent ie ons nog niet! Hij is nog niet van ons af!

Op ons gemak zetten we de formules die we tot nu toe hebben gevonden bij elkaar. Om de overzichtelijkheid te bevorderen, schrijven we in de vorm .

De formules om de coördinaten van het stelsel–in–rust om te zetten in die van het stelsel–in–beweging zijn de transformatieformules. Hier zijn ze:

Je denkt dat je er al bent, maar de constante a moet nog worden bepaald. Einstein gaat ons al voor. Hij maakt een geniale gedachtesprong om de waarde van a te achterhalen. Hoogste tijd om de achtervolging in te zetten.

Uit de manier waarop de factor a bij de formule voor τ opdook, blijkt dat hij constant is voor tijd en plaats, maar hij zou een functie kunnen zijn van v , want bij de eerdere bewerkingen werd er niet naar v gedifferentieerd, zodat een dergelijke afhankelijkheid niet tot uiting kon komen. Einstein stelt ten bate van de overzichtelijkheid het volgende voor:

"Als je die term vervangt door het symbool γ (gamma) en je vervangt door de functie φ(v) , dus φ(v) = a . γ , dan worden de formules een stuk eenvoudiger".

Dus met              en      φ(v) = a . γ
verkrijg je:

De vraag over de betekenis van de factor a is nu verlegd naar de betekenis van φ(v) !

Voor we met φ(v) verder gaan, wil Einstein eerst even iets bewijzen, namelijk dat als je ervan uitgaat dat in het stelsel–in–rust iedere lichtstraal de snelheid c heeft, dat dan diezelfde lichtstralen in het stelsel–in–beweging ook de snelheid c hebben. Hij wil dit bewijzen, zegt hij, omdat het bewijs nog niet is geleverd dat het principe van de constantheid van de lichtsnelheid te verenigen is met het relativiteitsbeginsel.

Het merkwaardige is dat we daar eigenlijk helemaal niet aan twijfelden. Bovendien hebben we eerder in dit verhaal al gebruik gemaakt van een vaste lichtsnelheid c in het stelsel–in–beweging om de ξ–, η– en ζ–coördinaten te bepalen. Sterker, de afleiding van de τ–coördinaat berust geheel op het principe van een vaste lichtsnelheid c in ieder bewegend stelsel.

"Vervallen we niet in een cirkelredenatie?"

Jazeker, hier gleed Einstein uit! Hij had teveel haast. Hij schreef in dat jaar vijf baanbrekende artikelen en dan moet je niet verbaasd opkijken als ergens een slordigheidje opduikt. Dat zou jou ook kunnen overkomen, geef toe. Bovendien wist Einstein dat verschillende geleerden van naam ook weer met publicaties zouden komen over het onderwerp "Elektrodynamica", (hij kon niet vermoeden dat ze voorlopig nog niet op zijn spoor zaten), dus schreef hij in haastige spoed.

De vraag is wat Einstein wilde bewijzen en wat hij uiteindelijk bewees. Hij wilde bewijzen dat de beide grondbeginselen met elkaar te verenigen zijn. Dit slaat terug op zijn opmerking aan het eind van p. 891 over de schijnbare tegenspraak tussen het relativiteitsprincipe en de constante lichtsnelheid in ieder bewegend stelsel. Het is een schijnbare tegenspraak en omdat hij bij de afleiding van de transformatieformules volop gebruik heeft gemaakt van diezelfde constantheid van de lichtsnelheid, kan het volgende niet als een bewijs, maar uitsluitend als een illustratie worden gezien.

 Laten we de twee beginselen, de aannames, nog eens aangescherpt onder de loep nemen:

We volgen Einstein: hij neemt een lichtgolf in het stelsel–in–rust die zich in alle richtingen uitbreidt en op het tijdstip t een bol heeft gevormd met de straal c . t . Hij laat zien dat dezelfde lichtgolf in het stelsel–in–beweging gemeten ook een bol vormt, maar dan met de straal c . τ . Dus in het stelsel–in–beweging, met de daar geldende tijd, heeft het licht ook de snelheid c . Dat  vormt een mooie illustratie voor de theorie van de coördinatentransformaties.

Dat gaan we na. Maar wat is ook alweer een bol? Je zou van minder de kluts kwijtraken!

Voor een boloppervlak met een straal R , waarvan het centrum in de oorsprong van het assenstelsel met een x–as, een y–as en een z–as, ligt, geldt de volgende vergelijking:

x² + y² + z² = R² Formule voor een bol oppervlak

Daar kijken we even rustig naar. Wat heeft dat met een bol te maken?
Probeer het volgende eens: neem x = 0 en y = 0 . Dat kan, dat is bij de oorsprong, alleen z kan dan niet gelijk aan 0 zijn, anders zou x² + y² + z² ook gelijk zijn aan nul. Dat moest juist gelijk aan R² worden. Daarom moet voor z gelden z = R of wat ook kan: z = – R. Op dezelfde manier kijk je naar: x = 0 en z = 0, dan krijg je y = R (of – R) en tenslotte met y = 0 en z = 0, dan krijg je x = R (of – R). Die punten x = R , y = R en z = R liggen allemaal even ver weg van de oorsprong, evenals x = – R ; y = – R en z = – R. Met de formule worden niet alleen deze zes punten, maar alle punten aangegeven die op een afstand R van de oorsprong liggen. Dat is een bol!

Nu volgen we Einstein weer even op de voet: De bolvormige lichtgolf laten we ontstaan in de oorsprong van beide stelsels op het moment dat de oorsprong van het stelsel–in–beweging samenvalt met de oorsprong van het stelsel–in–rust. Voor dat moment laten we gelden t = 0 en τ = 0. Na enige tijd heeft in het stelsel–in–rust de lichtgolf zich bolvormig uitgebreid tot een straal R = c . t . Dan geldt:

x² + y² + z² = (c .t)²

Met behulp van de transformatieformules willen we dit omrekenen, maar daartoe moeten we eerst de gevonden transformatieformules van het stelsel–in–rust naar het stelsel–in–beweging omwerken tot transformatieformules van het stelsel–in–beweging naar het stelsel–in–rust. De andere kant op. Je voelt wel aan dat het sneller moet kunnen, dat de transformatie de ene kant op eigenlijk hetzelfde is als de andere kant op, maar dat is achteraf gepraat.
Einstein wil laten zien dat als de lichtsnelheid in het ene stelsel gelijk is aan c , en dat stelsel hebben we het stelsel–in–rust genoemd, de lichtsnelheid in het andere stelsel, het stelsel–in–beweging, ook c is. We mogen dus niet het stelsel–in–beweging als uitgangspunt nemen.
"Na een simpele berekening", zegt Einstein. Dat geeft de burger moed

De tocht is weliswaar eenvoudig, maar je maakt heel gemakkelijk kleine fouten waardoor je in de moeilijkheden komt en veel tijd verspeelt. Als je niet erg vaardig bent in de algebra en je hebt de tijd, dan is de komende omrekening een prachtige oefening in het toepassen van allerlei rekenregels uit de algebra. Gewoon doen! Veel succes, we zien elkaar straks weer.

Start met het herschrijven van de transformatieformules in de andere richting. Die zijn voor y en z gemakkelijk te vinden, gewoon door ze om te keren:

     en         

De x en de t zitten echter verstopt in de vergelijkingen voor ξ en voor τ. We moeten deze twee vergelijkingen tegelijkertijd aanpakken als twee vergelijkingen met twee onbekenden. We herschrijven ze zo dat we door optellen de tijd t er uit kunnen gooien (elimineren).

 
Delen door φ(v).γ geeft                      (1)

 
Delen door φ(v).γ.v geeft                    (2)

We tellen de termen links van het =teken van de formules (1) en (2) bij elkaar op. Dat moet gelijk zijn aan de som van de termen rechts van het =teken. Zo krijg je na enig gepuzzel:

Vermenigvuldig alle termen van de laatste regel met v en zet x buiten haakjes. Je krijgt:

Let op de term (1– v²/c²), want die is precies gelijk aan 1 / γ² .
Ter herinnering:        

Dus:                            

Aan beide kanten met γ² vermenigvuldigen en de boel iets overzichtelijker opschrijven,levert:

*dit is de transformatieformule voor x: als je ξ en τ weet, kan je hiermee x berekenen en als je x weet kan je x in ξ en τ uitdrukken.

Om vervolgens de transformatieformule voor t te vinden, vervangen we x in de vergelijking die met (1) is aangegeven door de net gevonden formule voor x met het gevolg dat we  t in τ en ξ kunnen uitdrukken. We werken dit in kleine stapjes uit.

Dus :          wordt met         :

We brengen t links van het = teken en alle andere termen naar rechts:

Eigenlijk zijn we klaar, maar voor de overzichtelijkheid fatsoeneren we alles wat achter het =teken staat door eerst 1 / φ(v) buiten haakjes te brengen:

Wat tussen de accolades staat werken we verder uit. Eerst de kleine haken wegwerken:

 
en dan weer buiten haakjes zetten:

De term     =      nemen we even apart:

De laatste term is precies γ² . Dat vullen we in voor :

Haal γ voor de haakjes en verander de volgorde :

 
*Dat is hem dan, dit is de transformatieformule voor t: als je ξ en τ weet, kan je hiermee t berekenen en als je t weet kan je t in ξ en τ uitdrukken.

Eindelijk, het kostte wat moeite, maar nu hebben we alle vier de transformatieformules van het stelsel–in–beweging naar het stelsel–in–rust. Dus met (ξ, η, ζ, τ) bereken je (x. y, z, t) .

Je ziet dat de formules inderdaad bijna hetzelfde als de uitgangsformules zijn. Als t vervangen wordt door τ, enzovoort, en als ook v wordt vervangen door –v komt het op hetzelfde neer. De enige afwijking is dat er in plaats van φ(–v) staat 1/φ(v).

Kennelijk is φ(–v) = 1/φ(v). Onthoud dat, dat gebruiken we nog bij de bepaling van φ(v).

Nu vullen we de vergelijking x² + y² + z² = (c .t)² in want het ging er om het bewijs te leveren dat het licht zich in het stelsel–in–beweging ook met de lichtsnelheid c voortbeweegt:

We verwijderen ogenblikkelijk φ(v) , die in alle termen voorkomt, want die heeft ons de hele tijd al in de weg gezeten. Dan krijgen we:

, en werken dit verder uit:

[ Ter herinnering : (a + b)² = a² + 2.a.b + b² ]

De dubbele producten (met die 2 ervoor) links en rechts vallen tegen elkaar weg (de rechterkant eerst vermenigvuldigen met c²):

We zetten dit in een andere volgorde: de termen met ξ² naar links en die met τ² naar rechts; even puzzelen:

                    γ² . (ξ² –. ξ²) + η² + ζ² = c² . γ² (τ² – . τ²)
en nu komt de factor γ² weer tevoorschijn als = (1–) als je ξ² respectievelijk τ² buiten haakjes zet:

Daar valt heel wat weg te strepen en je houdt plotseling over:

Hiermee hebben we bewezen dat als de lichtgolf in het stelsel–in–rust zich bolvormig uitbreidt hij zich ook in het stelsel–in–beweging bolvormig uitbreidt en dat de straal na τ seconde de waarde c . τ heeft, zodat de snelheid van het licht in het stelsel–in–beweging ook in alle richtingen de waarde c heeft.

Hier had Einstein ons goed te pakken genomen. "Een simpele berekening, ja, m’n grootje, die is simpel!". Het was een niet te onderschatten afleiding met het nodige risico de weg kwijt te raken. Moeilijkheidsgraad minstens 5, denken wij. Een rode route, mogelijk zelfs zwart! En bovendien overbodig!

Terug

Nu gaan we toch eindelijk uitzoeken wat φ(v) te betekenen heeft. Probeer je goed te concentreren! Als tip krijgen we mee er een derde (!) coördinatenstelsel K* in te betrekken. Toe maar! Met de coördinaten x*, y*, z* en t* . Op het tijdstip t = 0 laten we de drie oorsprongen samenvallen. Aan het laatste stelsel wordt ten opzichte van het tweede stelsel k een snelheid –v gegeven. Wat een kermis! Je zou jer duizelig van worden, ware het niet dat het derde stelsel de beweging van k juist opheft. Ten opzichte van het eerste stelsel K staat K* stil! De stelsels K en K* zijn eigenlijk hetzelfde (zie figuur 311).

Fig. 3.11 Drie stelsels: K, k en K*

De gang van zaken is nu de volgende: De coördinaten van K* worden uitgedrukt in de coördinaten van k en vervolgens worden de coördinaten van k uitgedrukt in de coördinaten van K. Bij de eerste transformatie wordt k als stelsel–in–rust opgevat en bij de tweede wordt K als stelsel–in–rust opgevat. En daar moeten we welgemoed de transformatieformules op loslaten. We drukken t* uit in τ en τ vervolgens weer in t. Logischerwijs moeten t* en t gelijk aan elkaar zijn, omdat stelsel K* identiek is aan stelsel K . Hetzelfde geldt voor x* , y* en z*.

We zullen één zo’n aan elkaar geregen transformatie volgen. Die voor de tijd. We schrijven de transformatie van k naar K* op en vullen dan de transformatieformules voor τ en ξ van K naar k in. Het lijkt een dingetje van niks, maar het valt toch nog wel tegen.

Om t* te vinden wordt dezelfde transformatieformule gebruikt als voor τ . Nu echter moeten we in de formule τ vervangen door t* , t vervangen door τ en x vervangen door ξ. Verder moeten we in plaats van de snelheid v nu de snelheid –v nemen. Doet iedereen even mee! Hier komt de uitwerking:

In deze uitdrukking vullen we de formules voor τ en ξ worden in en we werken dat uit:

Herinner je je dat     , 
dan zie je dat bij de laatste stap γ² precies wegvalt tegen .
Zoals eerder gezegd, moet t* gelijk zijn aan t.

Dus:         t* = φ(–v) . φ(+v) . t = t

Op dezelfde manier kan je laten zien dat :         x* = φ(–v).φ(+v). x = x

Zie je wel, na een kleine inspanning een mooi resultaat. Hiermee moeten we verder kunnen komen.

Omdat t* gelijk moet zijn aan t volgt daaruit dat φ(–v) . φ(+v) = 1. Zoiets hebben we eerder gezien. De identieke transformatie, zoals Einstein dat noemt, omdat vermenigvuldigen van de tijd t met φ(–v).φ(+v) weer t oplevert . Het zou lichtvaardig zijn om te denken dat φ(+v) én φ(–v) dan wel gelijk zullen zijn aan 1 .

We moeten ons afvragen wat de betekenis is van de functie φ(v) . Einstein besteedt er in het artikel verhoudingsgewijs veel ruimte aan. We blijven even in de buurt van Einstein, hij weet de weg en hij laat ons een mooi stukje logica zien.

Kijk naar het stuk van de ζ-as in het stelsel–in–beweging k dat zich uitstrekt vanaf de oorsprong tot een punt (zie figuur 312). 

De lengte van dit stuk as is dus   .

Uit de transformatieformule: ζ = φ(v) . z

volgt, met ζ =         

Uit de laatste formule zie je dat de functie φ(v) aangeeft in welke mate de lengte van dit stuk as (en dus eigenlijk iedere lengte loodrecht op de bewegingsrichting) kleiner of groter wordt waargenomen in het stelsel–in–rust dan in het stelsel–in–beweging. Als de lengte echter verandert, kan het uitrekken of krimpen van de lengte onmogelijk afhankelijk zijn van de bewegingsrichting. Stel je eens het volgende voor:

Figuur 312 De lengte ℓ of ℓ/φ(v) in de z–richting

Een balk passeert ons met grote snelheid van links naar rechts en we zien dat de rechtopstaande cowboys zijn gekrompen. We herhalen de proef, maar we gaan aan de andere kant staan, zodat voor ons de balk van rechts naar links beweegt. Het zou toch wel heel gek zijn als de cowboys ineens waren gegroeid. Het kan niet omdat er anders in de lege ruimte, in het heelal een voorkeursrichting zou bestaan. Dan zou je boven en onder in het heelal kunnen onderscheiden. Niets wijst daarop, dus als ze van links naar rechts bewegend gekrompen zijn, dan zijn ze ook van rechts naar links bewegend gekrompen. Een lengteverandering moet voor beide richtingen + v of – v in dezelfde mate gelden. Maar dat betekent:

of:             φ(–v) = φ(+v)

Als je dit combineert met: φ(–v) . φ(+v) = 1

kan je er van maken: φ(+v) . φ(+v) = 1

dus                    φ(+v) = 1

en ook              φ(–v) = 1 .

De oplossing φ(+v) = –1 en φ(–v) = –1 voldoet niet omdat dan alles wat zich in beweging zet op zijn kop zou moeten staan. Dat verschijnsel doet zich simpelweg niet voor!

Ha, ha, ha, er komt toch het getal één uit. De cowboys waren dus gekrompen noch gegroeid! De afmetingen loodrecht op de bewegingsrichting blijven onveranderd!

Te gek, zo’n logische redenering!