§ 5 Het additietheorema voor
snelheden.
In het stelsel k dat met de snelheid v
langs de X-as van het stelsel K beweegt, bevindt
zich een bewegend punt dat zich verplaatst volgens de bewegingsvergelijkingen:
ξ = wξ . τ
η = wη . τ
ζ = 0
waarbij wξ en wη
constanten zijn.
De vraag is welke beweging het punt ten opzichte van het
stelsel K heeft.
Indien men in de bewegingsvergelijkingen van het
punt met behulp van de in § 3 afgeleide transformatieformules
de grootheden x
, y , z , t invult, verkrijgt men:
z = 0
Het optellen van de snelheden volgens de
parallellogrammethode geldt dus volgens onze theorie slechts in eerste
benadering. Als we schrijven:
w2 = wξ2 + wη2
en
 | Opmerking: we vinden een drukfout in de originele tekst, de indices y en
x in de laatste uitdrukking moeten eigenlijk η en ξ zijn |
dan moet α als de hoek tussen de snelheden
v en w worden gezien. Na een eenvoudige berekening
volgt dan:
Merk op dat v en w
symmetrisch in de uitdrukking voor de resulterende snelheid voorkomen. Indien w
dezelfde richting als de X-as (of ξ-as) heeft,
houden we over:
Uit deze vergelijking volgt dat uit het samenstellen van twee
snelheden, die kleiner zijn dan de lichtsnelheid, altijd een snelheid resulteert
die kleiner dan c is. Substitueert men namelijk v = c – s1
en w = c - s2
, waarbij s1
en s2
positief en kleiner dan c zijn , dan geldt:
< c
Verder volgt uit de vergelijking dat de lichtsnelheid niet
verandert in een samenstelling met een snelheid die kleiner is dan de
lichtsnelheid. In dat geval krijgt men:
Voor het geval v en w dezelfde
richting hebben, zouden we de formule voor U ook kunnen afleiden
door achtereenvolgens de transformaties van § 3 tweemaal toe te passen.
Als we naast de in § 3 optredende stelsels K en k
nog een derde, parallel aan k bewegend, coördinatenstelsel k*
invoeren waarvan de oorsprong zich langs de ξ – as met de
snelheid w voortbeweegt, dan verkrijgen we tussen de grootheden x
, y , z ,t en de overeenkomstige grootheden van k*
vergelijkingen, die zich van de in § 3 gevonden formules slechts in die zin
onderscheiden, dat in de plaats van "v" de uitdrukking
optreedt; men kan daaruit opmaken dat dergelijke parallelle
transformaties een groep vormen, zoals het hoort.
We hebben nu de benodigde formules
voor de bewegingsleer, in overeenstemming met onze twee principes,
afgeleid en we zullen nu hun toepasbaarheid in de elektrodynamica aantonen.
|
