Alternatieve berekening bij §8 van de energieverhouding

Naar Uitleg §9 Elektrische stromen
Naar Uitleg §8 Lichtenergie  
Naar Uitleg Inhoud 
Naar Centrale Hal   

De methode met de abstracte bol levert een algemene oplossing. Daar hield Einstein van. Maar voor een beter begrip laten we een praktisch voorbeeld zien. . In dit voorbeeld komt de verwevenheid van ruimte en tijd sterk naar voren.We maken gebruik van het verschijnsel dat je via een bewegende koker een ster onder een andere hoek moet bekijken dan via een stilstaande koker. In de uitleg van §7 Uitleg §7 Sterren, en met name §7plus Begrijpelijke afleidingen , is dit uitvoerig onderzocht.

We bekijken door een zeer lange koker een ster (zie figuur 1). Het is een kijker zonder lenzen. Deze koker is precies c meter en het licht van de ster doet dus precies 1 seconde over de tocht door de kijker. De koker staat onder een hoek φ opgesteld. De hoogte van de kijker is c . sin φ meter en de horizontale afstand tussen D en E is c . cos φ meter. De hoeveelheid lichtenergie in de koker is gelijk aan het volume van de koker vermenigvuldigd met de energiedichtheid (in J/m³) van het licht.

We nemen een bundel in ogenschouw die precies de koker vult.
We zullen deze bundel ook vanuit een bewegend stelsel beschouwen en de energiehoeveelheid in de bundel in beide bewegingstoestanden met elkaar vergelijken.

Voor de energiedichtheid gebruiken we de uitdrukking van Maxwell: A² / 8π.
Hierin is A de amplitudo van de elektromagnetische golven. In §7 is al een uitdrukking gevonden voor de verhouding van de energiedichtheden in een bundel die beschouwd wordt vanuit twee verschillende stelsels. Die uitdrukking zullen we straks zien en gebruiken.

Figuur 1 Kokervormige kijker of kijkervormige koker.

Het volume V van de bundel in de koker is V = S . c . cos φ , waarbij S de oppervlakte is van een verticale doorsnede door bundel (zie figuur 2). De uitdrukking S . cos φ is de loodrechte doorsnede van de bundel en c . cos φ is de projectie van de bundel op de horizontale as. Het volume kan je dus op twee manieren vinden:

1.  door de lengte van de bundel te vermenigvuldigen met zijn loodrechte doorsnede
2.  door de projectie van de bundel op de x–as te vermenigvuldigen met de verticale doorsnede van de bundel.

De laatste zullen we gebruiken omdat de verticale doorsnede van de bundel onveranderd moet blijven als we de bundel vanuit een bewegend stelsel waarnemen. Immers alleen de afmetingen in de bewegingsrichting zijn aan krimp onderhevig.

De energiehoeveelheid in deze bundel is:

E = V . A² / 8π = S . c . cos φ . A² / 8π

Figuur 2 De verticale doorsnede S van de bundel blijft gelijk. De blauwe en de groene koker hebben hetzelfde volume

Vervolgens bekijken we de koker met de lichtbundel vanuit een passerend stelsel dat met een snelheid + v naar rechts beweegt (zie figuur 3). Vanuit dit stelsel gezien, zal de bundel een andere hoek maken met de x–as. De hoogte van de koker blijft hetzelfde, maar de horizontale projectie is gekrompen, gewoon omdat de koker een snelheid v heeft, gezien vanuit het stelsel dat naar rechts beweegt. De hoek φ* zal dus groter zijn dan de oorspronkelijke hoek φ.

Wij zullen zelf plaats nemen in het passerende stelsel en daarmee dit stelsel als het stelsel in rust beschouwen. We geven de coördinaten hierin aan met x en t.
Het stelsel waarin de koker staat, beweegt met een snelheid – v naar links. We geven de coördinaten in dat stelsel aan met ξ en τ.

Op t = τ = 0 vallen de stelsels even samen. Op dat moment komt de bundel aan bij D en schiet de koker in. In het ξ,τ–stelsel bereikt de voorkant van de bundel op het tijdstip t = 0 het punt D waarvan de ξ–coördinaat gelijk is aan ξ = 0. Op het tijdstip t = 1 bereikt de voorkant het punt E, waarvan de ξ–coördinaat gelijk is aan ξ = – c . cos φ. Op datzelfde moment t = 1 bereikt de achterkant van de bundel het punt D waarvan de ξ–coördinaat onveranderlijk gelijk is aan ξ = 0.

Welke coördinaten en tijdstippen horen bij deze momenten als je het bekijkt vanuit het x,t–stelsel?
Daarvoor moeten we onze toevlucht nemen tot de transformatieformules:

ξ = γ (x + v . t) en              τ = γ (t + .x )     met            

Omdat het stelsel met de koker naar links beweegt, is voor de snelheid –v ingevuld, waardoor de formules +tekens krijgen.
We bekijken vanuit het passerende stelsel de bundel als hij net in zijn geheel de koker in is geglipt. Dat moment was τ = 1 sec in het ξ,τ–stelsel.

Voor het punt D geldt dan met ξ = 0:

voor de plaats: 0 = γ (x + v . t) en
voor de tijd 1 = γ(t + .x )

Deze twee vergelijkingen met twee onbekenden ( x en t ) kunnen we oplossen:
Uit de eerste volgt na door γ te hebben gedeeld:   x =  – v. t.    Als we dat in de tweede invullen, krijgen we:

1 = γ (t + . –v. t ) = γ ( 1 – ) t =. t = . t       dus      t = γ sec.
Hiermee kunnen we x vinden:     x = – v . t = – v . γ = – γ . v

Dus vanuit het x,t–stelsel gezien, schiet het laatste eind van de bundel bij D de koker in op het tijdstip                             t_D = γ sec             
en op de plaats              x_D = – γ . v.

Zo kunnen we ook tijd en plaats in het x,t– stelsel uitzoeken voor het voorste punt van de bundel die op het tijdstip τ = 1 sec het punt E bereikt, dat in het ξ,τ–stelsel de ξ–coördinaat heeft:                 ξ = –c. cos φ              (zie figuur 1)

We krijgen de volgende vergelijkingen:

voor de plaats              –c . cos φ = γ ( x + v. t) en
voor de tijd                                 1 = γ (t + .x )

Uit de eerste volgt:            x + v. t = . ( –c. cos φ)        of               x = –. cos φ – v. t.

Dit vullen we in de tweede in: 1 = γ { t + . (–. cos φ – v. t) }    en we maken het wat 
netter:                                   1 = γ . t – . cos φ – γ . . t.           
Daaruit volgt:                       1 + . cos φ =     γ . ( 1 – ) . t    = . t

Met als resultaat:    t = γ .( 1 + . cos φ).
Dit kan je weer gebruiken in één van de twee vergelijkingen en je komt na enig 

rekenwerk op:         x = γ. ( – c. cos φ – v).   

Dus vanuit het x,t–stelsel gezien, bereikt de voorkant van de bundel het punt E op
 het tijdstip                             t_E = γ .( 1 + . cos φ).           
De plaats van E is              x_E = γ. ( – c. cos φ – v).

Nu komen we aan een moeilijke vraag: is dit dezelfde bundel?

Vanuit het x,t–stelsel kijken we naar een bundel die in D is op het tijdstip t_D = γ sec en in E op het tijdstip t_E = γ . ( 1 + . cos φ)

Wij beschouwen dus een bundel of een koker die zich in de tijd uitstrekt. Maar dat is ongebruikelijk, zelfs tegen de regels. We willen de energie weten van de bundel op één tijdstip. Als je de lengte wil weten van een rijdende trein ga je ook niet de plaats van de achterkant opmeten en een kwartier later de plaats van de voorkant. We moeten hiervoor corrigeren.

De bundel heeft zich tot E uitgestrekt in γ .( 1 + . cos φ) sec, dus op het eerdere

moment t = γ sec was de bundel nog niet zo ver. Hij was pas tot E* gekomen. De bundel DE* is de bundel die we op het moment t = γ sec moeten beschouwen. Hij heeft het eind van de koker nog niet bereikt. Omdat de beweging van de bundel recht evenredig met de tijd plaatsvindt, is zijn lengte DE* op dat moment pas       keer de volledige lengte DE.

De projectie van de bundel op de horizontale as is dus gelijk aan deze factor maal de projectie van de koker: . c. cos φ (zie figuur 3) op deze as.

We krijgen hiermee voor de lengte van de projectie van de bundel op de horizontale as:

Nu komen we terug op de vraag welk volume de hoeveelheid licht van de bundel inneemt. Zoals we bij figuur 2 hebben laten zien, is het volume van de lichtbundel evenredig met de lengte van de projectie op de horizontale as.

Het volume van de oorspronkelijke bundel was V = S . c . cos φ.

Het volume van de bundel die we vanuit het passerende stelsel waarnemen, wordt:

De verhouding van de volumina van de bundel die je waarneemt terwijl je er langs vliegt en van de bundel die je waarneemt in rust, is dus:

Figuur 3 Vanuit het stelsel x,t heeft de bundel op tijdstip γ sec pas E* bereikt

Dit is dezelfde formule die Einstein afleidde voor de met de lichtsnelheid voortijlende bol, op het teken in de noemer na. Zoals we ook in §7plus hebben gezien: in Einsteins afleidingen heeft c een negatief teken, zodat er in zijn formules komt te staan. In dit voorbeeld (en ook in de volgende formules) hebben we vervangen door .

Wanneer je ook rekening houdt met het feit dat de energiehoeveelheid evenredig is met de energiedichtheidsverhouding    ,    zoals in §7 is afgeleid, kom je op de verhouding van de energiehoeveelheid:

Zo komen we op hetzelfde resultaat als Einstein in §8: als je een lichtbundel tegemoet snelt, bevat de bundel méér energie dan wanneer je de andere kant op beweegt.

Terug